2022年三角函数的最值.docx
名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载三角函数的最值（专题）一、学问要点1、 配方法求最值主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性,转化为二次函数在闭区间上的最值 问 题 , 如 求 函 数y2 s i nxs i n的 最 值 , 可 转 化 为 求 函 数 1yt2t1,t1,1上的最值问题；2、化为一个角的三角函数（利用帮助角公式）,再利用有界性求最值：asinxbcoxa2b2sinx,其中 tan=b . ax| 1（或3、yasinxb（或yacosxb）型,解出 sin x （或 cosx ）利用 | sincsinxdccosxd| cosx| 1）去解；或用分别常数的方法去解决. 4、 数形结合形如：y a sin x b（或 y a cos x b）型,可化归为 sin x g y 去处理；c cos x d c sin x d或用万能公式换元后用判别式法去处理；当 a c 时,仍可以利用数形结合的方法去处理 .常用到直线斜率的几何意义,例如求函数 y sin x 的最大值和最小值；函数 y sin xcox 2 cox 2的几何意义为两点 P 2,0, Q cos ,sin x 连线的斜率 k ,5、 换元法求最值sin对 于 表 达 式 中 同 时 含 有sinx+cosx , 与sinxcosx的 函 数 , 运 用 关 系 式xcosx212sinxcosx,一般都可采纳换元法转化为t 的二次函数去求最值,但必需要留意换元后新变量的取值范畴；* 特殊说明留意变换前后函数的等价性,正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响,含参数函数的最值,解题要留意参数的作用和影响；二、题型剖析1、化为一个角的三角函数,再利用有界性求最值；例 1：求函数ysin2x3 sinxcosx1的最值,并求取得最值时的x 值；练习： 1、已知函数f x 2 3sinxcosx2cos2x1xR ；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（）求函数精品资料0,2欢迎下载f x 的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；2已知函数f x 3 sin 2x2sin2x （）求函数f x 的最大值；3已知函数f x 4cosxsinx61；（）求f x 的最小正周期； （）求f x 在区间6,4上的最大值和最小值；2、转化为闭区间上二次函数的最值问题；例 2 已知函数fx2cos 2xsin2x4cosx ；（） 求f3的值；（） 求fx的最大值和最小值；练习： 1、求函数 f（x）=cos2x+sinx 在区间 ,4 上的最小值？42、函数ysin2x3cosx3的最小值为（） . A2 B . 0 C . 1D . 643、求函数 y=5sinx+cos2x 的最值4、是否存在实数a,使得函数ysin2xacosx5a3在闭区间0,2上的最大82值是 1？如存在,求出对应的a 值？如不存在,试说明理由；例题 3； y=2sinxx的最大值是 _,最小值是 _. 第 2 页,共 5 页 sin细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -练习： 1 函数 y=3sinx1精品资料欢迎下载的最大值是 _,最小值是 _.sinx22、求函数y2 2sinxx0x的值域 _ sin cos x3、求函数1 1的值域 _ y2cosx例 4 求函数 y=2 2sinx的最大值和最小值. cosx1、y=2cosx（0x ）的最小值是 _. sinx2、求函数y2sinxx0xx的最大值 _. cos3、换元法解决sinxcosx ,sincosx同时显现的题型；例 5求函数y43sinx43cosx的最小值练习： 1、求 y=1+sin x+cosx+sinxcosx 的值域 . 2、函数y1sin 1cos x 的最大值为 _ 最小值为 _ 思维点拨 ：遇到sinxcosx与sinxcosx相关的问题,常采纳换元法,但要留意 第 3 页,共 5 页 sinxcos x的取值范畴是2,2,以保证函数间的等价转化细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载小结：求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元,化归为基本类的三角函数或代数函数,利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理 . 基本类型2 2（1）y a sin x b sin x c （或 y a cos x b cos x c ）型,可令 t sin x（或t cos x ）, | | 1,化归为闭区间上二次函数的最值问题 . （2）y a sin x b cos x 型,引入帮助角,化为 y a 2b 2 sin x ,利用函数 | sin x | 1 即可求解 . （3）y a sin x b（或 y a cos x b）型,解出 sin x（或 cosx ）利用 | sin x | 1c sin x d c cos x d（或 | cos x | 1）去解；或用分别常数的方法去解决 . （4）y a sin x b（或 y a cos x b）型,可化归为 sin x g y 去处理；c cos x d c sin x d或用万能公式换元后用判别式法去处理；当 a c 时,仍可以利用数形结合的方法去处理 . （ 5 ） 对 于 含 有 sin x cos ,sin x cos x 的 函 数 的 最 值 问 题 , 常 用 的 方 法 是 令sin x cos x t ,| t | 2, 将 sin x cos x 转化为 t 的关系式,从而化归为二次函数的最值问题. （6）在解含参数的三角函数最值问题中,需对参数进行争论 . 三、巩固练习：1、当0x2时,函数fx 1cos2x28sin2x的最小值为（） 第 4 页,共 5 页 sinx（A）2 （B）23（C）4 （D）432、已知 k 4,就函数 y cos2xkcosx1的最小值是 A 1 B 1 C 2k1 D 2k 1 3、设a0,对于函数fxsinxxa0x,以下结论正确选项（sin A有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值）C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值4、已知函数f x 1sinxcos 1sinxcosx ,就f x 的值域是（22A1,1B 2 ,1 2C 1,2D 1,222细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -5、函数 y=1 sin2+4sin 22 x,x精品资料（欢迎下载R 的值域是）A-1, 3 B-3, 1 C2 1, 2 1D2 1, 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 26、设函数 y a cos x b a b 为常数）的最大值为 1,最小值为 -7,那么 y a cos x b sin x的最大值是 . 7、设实数 x,y,m,n 满意 m 2+n 2=a,x 2+y 2=ba,b 是常数,且 a b,那么 mx+ny 的最大值是 . 8、已知函数 f x sin 2x 2sin x cos x 3cos 2 x , x R.求: I 函数 f x 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合； II 函数 f x 的单调增区间 . 9、求函数 y 2 cos x cos x 3 sin 2 x 的值域和最小正周期4 4细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - -
