2022年从算术到代数 .pdf

第十讲 从算术到代数（二）在上一讲中我们着重讲了在许多问题中算术方法是不可缺少的；在这一讲中，我们将通过一些例子看到代数方法不可取代的巨大优越性和强大威力，同时说明一元一次方程，多元一次方程组，不定方程的一般解法. 例 1 一个学生做 25道数学题，对一题得4 分，不答不给分，答错一题倒扣 1 分. 他有 3 道题未做，得了 73 分. 问他共答对了几道题？解：设对了 x 道题，则答错 25-3-x 道题. 依题意列方程：4x- （25-3-x ）=73 4x-22+x=73 5x95 x19. 答：这个学生答对了19 道题. 例 2 某水池装有甲、乙两个注水管，单放甲管需12 小时注满，单放乙管需 24 小时注满 . 现在要求 10 小时注满水池，并且甲、乙两管合开的时间尽可能少，那么甲、乙两管最少需要合放多少小时？解：分析一下，由于要求甲、乙两管合放的时间尽可能少，所以必须让注水快的甲管在10 个小时中全开着 . 其余的由乙管补足 . 设甲、乙两管最少需合放x 小时，则：答：甲、乙两管最少需要合放4 小时. 例 3 甲、乙两队学生参加郊区夏令营，但只有一辆车接送，坐不下.甲队学生坐车从学校出发的同时，乙队学生开始步行. 车到途中某处让甲队学生下车步行， 车立即返回接乙班学生并直开到夏令营，两班学生正好名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 同时到达 . 已知学生步行速度为4 千米/ 小时，汽车载学生时速度为40 千米/ 小时，空车时速度为50 千米/ 小时，问甲班学生应步行全程的几分之几？解：如图：设全程为 x 千米，甲、乙两队分别步行 a、b 千米. 要使两队学生同时到达夏令营，只有他们两队步行的路程相等才行，故a=b. 等量关系是：乙队走 a 千米路程的时间正好等于汽车送完甲队又原路返回时遇到乙队的时间，即：去分母，两端同乘200，得5x-5a+4x-8a=50a 9x63a 例 4 一个矩形长 33厘米，宽 32 厘米，用正方形如下图分割，已知最小正方形边长为1 厘米，第二个小正方形边长为4 厘米，请在图中填出其余正方形的边长 . 解：设如图中第个小正方形边长为x，则其余每个正方形的边长都可以用 x 的代数式表达出来，如图所示. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 再由大长方形的长为33 厘米可得关系式：2x1+x+11=33 3x=21 x=7（厘米） . 于是图中所有正方形的边长均可将x7 代入，得如图所填的值 . 还可以用大正方形的宽为32 厘米来验证所求值的正确性：2x+1+x+1+x+2=15+8+9=32 （厘米） . 例 5 小明每天定时从家到学校，若小明每分钟走30 米，则迟到 3 分钟；若小明每分钟走40 米，则早到 5 分钟. 求小明家到学校的距离 . 解：设小明家到学校的距离为S米，则去分母，方程两端同乘以120：4S-360=3S600 S=960. 答：小明家离学校960 米. 有的问题必须用两个或更多的未知数才能列出方程，而且方程的个数也往往不只一个， 我们称含有两个未知数并且未知数所在项的次数都是1次的这种方程为二元一次方程. 例如 x+y=5. 适合这个二元一次方程的每一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解. 如：方程 x+y=5 的正整数解有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - x=1，y=4；x=2，y=3；x3，y=2，x=4，y=1 这四个解 . 如果一个问题的两个未知数必须满足两个二元一次方程，这两个方程联立在一起就叫做二元一次方程组. 同时适合这两个二元一次方程的每一对未知数的值叫做这个二元一次方程组的一个解. 多个未知数的方程组也可以类似地定义，解法也类似， 在这里举两个最简单的例子来介绍二元一次方程组的解法. 常用的有代入消元法和加减消元法 . 总之都是先设法消去一个未知数. 代入消元法：例 6 解二元一次方程组把（2）中的 y 用（1）中的 3x 代替，就可以消去一个未知数y，得：x3x=8 4x=8 x=2. 再把 x=2 的值代入（ 1）或（ 2），得： y=6. 这个方程组的解为加减消元法：例 7 解方程组（2）- （1）得： 6x=54 x9. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 原方程组的解为再看几个二元一次方程组的例子. 例 8 一条路从甲地到乙地是下坡，从乙地到丙地是平路，一人骑车以每小时 12 千米的速度下坡，而以每小时9 千米的速度通过平路到达丙地，共用了 55 分钟；回来时以每小时8 千米的速度行至乙地，又以每小时 4 千米的速度行到甲地，共用了1.5 小时. 问从甲地到丙地共有多少千米？解：设从甲地到乙地为x 千米，从乙地到丙地为 y 千米，依题意可得下列方程组：去分母，（1）两端同乘以 36 得：3x+4y=33. （2）两端同乘以 8 得：y+2x=12. 原方程组与下面方程组同解. 由（4）得 y=12-2x，代入（ 3）消去 y 得：3x+4（12-2x）=33 3x+48-8x33 5x=15 x=3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 将 x=3 代入（ 4）得：y12-23 y6. 原方程组的解为x+y=9. 答：从甲地到丙地共9 千米. 例 9 有甲、乙两个桶，甲桶里装了一些水，乙桶里装了一种纯农药，按下面方法来调配农药溶液： 第一次甲桶倒进乙桶里的水的数量与原来乙桶中农药数量相同， 调匀；第二次把乙桶里的农药溶液倒进甲桶里，倒回的数量与甲桶里剩的水的数量相同，调匀；第三次再把甲桶中的农药溶液倒回乙桶，数量与此时乙桶中的溶液数量相同，这时两个桶中的农药溶液数量相同 . 请你算一算：开始时水与纯农药的比 . 最后在甲桶里的水与纯农药的比. 最后在乙桶里的水与纯农药的比. 解：设甲桶里原有x 千克水，乙桶里有 y 千克纯农药 . 每次倒动后甲、乙两桶中溶液的总量变化如下：第一次 甲桶剩 x-y （千克）乙桶有： 2y（千克）第二次 甲桶有 2 （x-y ）（千克）乙桶剩 2y- （x-y ）=3y-x（千克）第三次 甲桶剩 2（x-y ）- （3y-x ）=3x-5y（千克）乙桶有 2（3y-x ）（千克） . 第三次倒完后两桶中液体重量相同名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3x-5y 2（3y-x ）3x-5y=6y-2x 5x11y xy=115. 在第一次操作后甲桶中的x-y 千克都为水 . 由乙桶倒入的 x-y 千克溶液中有一半是水， 另一半是纯农药， 故甲桶中最后水与纯农药的比为31. 纯农药的比为：答：开始时水与纯农药的比为115. 最后甲桶溶液中水与纯农药的比为31. 而乙桶溶液中水与纯农药的比为53. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -