2022年三角函数的图像与性质知识点及习题.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载三角函数 的图象与性质 基础梳理1“ 五点法 ” 描图 1ysin x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为0,0 2,1 ,0 3 2, 1 2 ,02ycos x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为0,1,2,0 , , 1, 3 2,0 ,2 ,1 2.三角函数的图象和性质函数ysin x ycos x ytan x性质定义域RR x|xk 2,kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴： _ x k 2对称轴：对称中心：_ k 2,0 第 1 页,共 24 页 - - - - - - - - - xk kZ_；kZ_ _；对称中心：对称中心：_k 2, 0 kZ_ kZ _ _ k,0kZ_ _周期2_ 2单调性单 调 增 区 间 _2k单调增区间 2k ,单调增区间 _k 2,2,2k 2kZ_；2k kZ _；单调减区间 2k 2,单调减区间 2k, 2kk 2kZ_ kZ_ 2k3 2 k Z _ 奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数fx,假如存在一个非零的常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有 fx Tfx,那么函数fx就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期,把全部周期中存在的最小正数,叫做最小正周期函数的周期一般指最小正周期 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载对函数周期性概念的懂得周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义域范畴的每一个x 值都满意 fxTfx,其中 T 是不为零的常数.假如只有个别的x 值满意 fxTfx,或找到哪怕只有一个x 值不满足 fxTfx,都不能说T 是函数 fx的周期 . 函数 yAsin x和 yAcos x的最小正周期为2,|ytan x的最小正周期为. |4.求三角函数值域最值 的方法：1利用 sin x、cos x 的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是1,1,因此对于 . xR,恒有 1sin x1,1cos x1,所以 1叫做 ysin x,ycos x 的上确界, 1 叫做 y sin x,y cos x 的下确界 . 2形式复杂的函数应化为 y Asin x k 的形式逐步分析 x 的范畴,依据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题,要争论参数对最值的影响 . 3换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域 最值 问题利用换元法求三角函数最值时留意三角函数有界性,如：ysin 2x4sin x5,令 tsin x|t|1,就 yt2 211,解法错误 . 5.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如yAsin x >0的形式,再依据基本三角函数的单调区间,求出 x 所在的区间 .应特殊留意,应在函数的定义域内考虑 .留意区分以下两题的单调增区间不同 ;利用换元法求复合函数的单调区间 要留意 x 系数的正负号 1y sin 2x4；2ysin 42x . 热身练习 : 1函数 ycos x 3, xR 第 2 页,共 24 页 - - - - - - - - - A 是奇函数B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数D既是奇函数又是偶函数2函数 ytan 4x 的定义域为 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A . x xk 4,kZ B. x x 2k学习必备欢迎下载 4, kZC. x xk 4,kZD. x x 2k 4,kZ 第 3 页,共 24 页 - - - - - - - - - 3函数 ysin2x 3的图象的对称轴方程可能是 A xBxCxDx612612【解析】 令 2x 3k 2,就 xk 2 12kZ 当 k0 时, x 12,选 D. 4ysin x 4的图象的一个对称中心是A ,0 B.3 4,0C. 3 2,0D. 2, 0解析ysin x 的对称中心为 k,0kZ,令x 4 k kZ ,xk 4kZ,由 k 1,x3 4 得 ysin x 4的一个对称中心是3 4,0 . 答案B 5以下区间是函数y2|cos x|的单调递减区间的是 A.0 , B. 2,0C. 3 2,2D. , 26已知函数fxsin2x,其中 为实数,如 fx | 6|对任意 xR 恒成立,且 f 2> f ,就 fx的单调递增区间是 A k3,k 6 kZ Bk,k 2 kZ Ck 6,k2 3 kZ D k,k kZ 2【解析】 当 xR 时, fx|f 6|恒成立, f 6sin 3±1 可得 2k 6或 2k5 6,k Zf 2sin sin>f sin2sinsin<0 2k5 6由 22k 2x5 622k 得 x k 6,k2 3 k Z,选 C. 7.函数 fx3cos2 4 xR 的最小正周期为_4_8.y 23cos x4的最大值为 _5_,此时 x_3 42k,k Z _. 9函数 ysinxa2 1,当 sinx1 时, y 取最大值；当sinxa 时, y 取最小值,就实数细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载1a0. 10函数 fxsin2x3sinxcosx 在区间 4, 2上的最大值是.【解析】 fx1cos2x3 2 sin2x3 2 sin2x1 2cos2x122sin2x61 2,又 4x2, 32x 566 . 当 2x6 2即 x 3时, fx取最大值 3 2. 题型一与三角函数有关的函数定义域问题例 1求以下函数的定义域：1ylgsincos x；2ysin xcos x. 解1 要使函数有意义,必需使sincos x>0. 1cos x1, 0<cos x1. 利用单位圆中的余弦线OM,依题意知0<OM 1,OM 只能在 x 轴的正半轴上,其定义域为x| 22k <x< 22k,kZ. . 2,2 要使函数有意义,必需使sin xcos x0. 利用图象 .在同一坐标系中画出0,2 上 ysin x 和 ycos x 的图象,如下列图在0,2 内,满意 sin xcos x 的 x 为 4,5 4,再结合正弦、余弦函数的周期是所以定义域为x| 42kx 5 42k, kZ . 变式训练 1 1求函数 ylg2sinx18tanx1的定义域；cosx 2解1 要使函数有意义,就2sin x1>0sin x>1 2,tan x10.tan x1,cosx 2 8 02 8 k 2.图如图 利用单位圆得：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2k 6<x<2k5 6,学习必备欢迎下载k 2<x k3 4,函数的定义域为 x|2k 2<x<2k3 4,kZ.x 2k3 4 kZ .tanx 的定义域 . 2求函数 y2log 1x2要使函数有意义2log1 2x0,.0<x4,kZ .就x>0,tan x0,kx<k2x k 2,kZ利用数轴可得图图函数的定义域是 x|0<x< 2或 x4. 题型二 、三角函数的五点法作图及图象变换例 2 已知函数 fx4cosxsinx 61. 第 5 页,共 24 页 - - - - - - - - - 1用五点法作出fx在一个周期内的简图；2该函数图象可由ysinxxR的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？【解析】 1y fx4cosxsinx 61 4cosx2 sinx 1 2cosx13sin2x2cos2x 1 3sin2xcos2x2sin2x 6 2x032622x 258111212121212y 02020 函数 yfx在 12,11 12 上的图象如下列图细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【点评】 “五点法作图 ”应抓住四条： 化为 yAsin xA0,0或 yAcos xA0,0的形式；求出周期 T2 ；求出振幅 A；列出一个周期内的五个特殊点当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间的特殊点题型 三 三角函数图象与解析式的相互转化例 3 函数 fxAsin xxR, A>0,>0,0<< 2的部分图象如下列图1求 fx的解析式；2设 gxfx12 2,求函数 gx在x6, 3上的最大值,并确定此时 x 的值【解析】 1由图可知 A2,T 4 3,就 2 4× 3 2. 又 f 62sin 32×6 2sin40 sin 40 0<< 2, 4<4< 4 40,即 4fx2sin3 2x4 3 3 2由 1可得 fx12 2sin 2x1242sin 2x8 gxfx 12 24×12 x422cos3x 4 x 6, 3 43x 45 4,当 3x 4,即 x 4时, gxmax 4. 【点评】 依据 yAsin x K 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑：A 的确定：依据图象的最高点和最低点,即A最高点最低点；2K 的确定：依据图象的最高点和最低点,即 的确定：结合图象,先求出周期,然后由最高点最低点 K；2T2 >0来确定 ；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 的确定：由函数 y Asin x K 最开头与 x 轴的交点 最靠近原点 的横坐标为即令 x0,x 确定 . 例 4 如方程 3sinxcosxa 在0,2 上有两个不同的实数根求此时 x1 x2 的值【解析】 3sinxcosx2sinx 6,x0,2 作出 y2sinx 6在0,2 内的图象如图由图象可知,当 1a2 或 2a1 时,直线 ya 与 y2sin x6有两个交点,故 a 的取值范畴为 a2,11,2当 1a2 时, x1 6x2 6 . x1 x22 3 . 当 2a1 时, x1 6x2 63,x1x28 3 . x1,x2,求 a 的取值范畴,并【点评】利用三角函数图象形象直观,可使有些问题得到顺当、简捷的解决,因此我们 必需精确把握三角函数“ 形” 的特点例 4 已知函数 fxAsin x,xR其中 A0,0,0 2的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 2,且图象上一个最低点为 M2 3, 21求 fx的解析式； 1 2将函数 fx的图象向右平移 12个单位后, 再将所得图象上各点的横坐标缩小到原先的 2,纵坐标不变,得到 ygx的图象,求函数 ygx的解析式,并求满意 gx 2且 x0, 的 实数 x 的取值范畴【解析】 1由函数图象的最低点为M2 3, 2,得 A2,细心整理归纳 精选学习资料 由 x 轴上相邻两个交点间的距离为2,得 T 2 2,即 T,gx 第 7 页,共 24 页 2 2.又点 M 2 3, 2在图象上,得2sin2 ×2 3 2,即 sin4 3 1,故4 32k 2,k Z,2k11 6,又 0, 2, 6.综上可得 fx2sin2x 62将 fx2sin2x 6的图象向右平移 12个单位,得到 f1x2sin2 x 12 6,即 f1x2sin2x 的图象,然后将f1x2sin2x 的图象上各点的横坐标缩小到原先的1 2,纵坐标不变,得到2sin2·2x,即 gx2sin4x. 0x0x由gx2sin4x 2得sin4x2. 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载0x 0x就2k 44x2k3kZ即k 2 16xk 2 3k Z. 第 8 页,共 24 页 - - - - - - - - - 4故 16x316或9 1116x16 .题型 四、三角函数的奇偶性与周期性及应用例 1 已知函数 fxsin x,其中 0, | 2. 1如 cos 4cossin3 4 sin0,求 的值；2在 1的条件下,如函数fx的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 3,求函数fx的解析式；并求最小正实数m,使得函数 fx的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数【解析】 1由 cos 4cossin3 4 sin0 得 cos 40. |< 2, 4. 2由已知得T 2 3, T2 3,3 fxsin3x 4设函数 fx的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为gx,就 gx sin3xm 4sin3 x3m 4 gx是偶函数当且仅当3m4 k 2kZ 即 mk 3 12kZ 最小正实数m 12. 题型五三角函数的单调性与周期性例 2写出以下函数的单调区间及周期：1ysin2x 3；2y|tan x|. 解1ysin 2x 3,它的增区间是ysin 2x 3的减区间,它的减区间是ysin 2x 3的增区间 . 由 2k 22x 32k 2,kZ ,得 k 12x k5 12,kZ . 由 2k 22x 32k 3 2,k Z,得 k5 12xk11 12,kZ. 故所给函数的减区间为k12,k5 12,kZ；增区间为k5 12, k11 12,kZ.最小正周期T2 2 .2观看图象可知,y|tan x|的增区间是k,k 2, kZ,减区间是细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -k学习必备欢迎下载 2,k ,kZ.最小正周期： T .探究提高 1求形如 yAsin x或 yAcos x 其中 A 0,>0的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答 . 列不等式的原就是：把“ x >0” 视为一个 “ 整体 ” ； A>0 A<0时,所列不等式的方向与 ysin xxR,ycos xxR的单调区间对应的不等式方向相同 反. 2 对 于 y Atan x A、 、 为 常 数 ,其 周 期 T |, 单 调 区 间 利 用 x k2,k 2,解出 x 的取值范畴,即为其单调区间 . 3求含有肯定值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图象,结合图象判定 . 变式训练 2 1求函数 ysin 3 4x cos 4x2已知函数 fx4cos xsin x61. 6的周期、单调区间及最大、最小值；求 fx的最小正周期；求 fx在区间 6, 4上的最大值和最小值. 第 9 页,共 24 页 - - - - - - - - - 解: ysin 34x cos 4x3cos4x1sin 4x3cos4x1sin 4x62222sin 4x3 cos4x2sin4x31周期为 T=22k4x322k,kZ2函数的递增区间为5 24k 2, 24kk Z；22k4x332k,kZ 函数的递减区间为24k 2,7 24k 2 k Z 2ymax2；ymin 2 2 fx 4cos xsin x 614cos 3sinx1cos 12 3sinxcosx2cos2x122细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3 sin 2xcos2x2sin2x6学习必备欢迎下载x 6, 4 ,2x66,2最大值为 2；最小值为 1 3题型 六、三角函数的对称性与单调性及应用例 2 已知向量 m 3sin2x 1,cosx, n 1,2cosx,设函数 fx m n ,xR. 1求函数 fx图象的对称轴方程；2 求函数 fx的单调递增区间【解析】 1 fxm·n3sin2x12cos 2x3sin2xcos2x2sin2x 6 对称轴方程为：2x 6k 2,即 xk 2 6kZ2由 22k 2x 62 2k 得 3 k xk6fx的单调递增区间为k 3,k 6 kZ【点评】 对于 fxAsin xA>0,>0：如求 yfx的对称轴,只需令 xk 2kZ,求出 x；如求 yfx的对称中心的横坐标,只零令 xk kZ ,求出 x；如求 yfx的单调增区间,只需令 如求 yfx的单调减区间,只需令题型七 三角函数的对称性与奇偶性2k 2 x2k2,求出 x；2k 2 x2k32,求出 x. 例 31已知 fx sin x3cos xxR,函数 yfx | 2的图象关于直线x0 对称,就 的值为 _. 2假如函数 y 3cos2x的图象关于点4 3,0 中心对称,那么|的最小值为 A . B.C.D. 26431 6f x2sinx, yfx2sinx3图象关于 x0 对称,3即 fx为偶函数 3 2k,kZ,即 k 6,k Z,所以当 k0 时, 6. 2A细心整理归纳 精选学习资料 3cos 24 33cos2 323cos2 30, 第 10 页,共 24 页 2 3k 2,kZ,k 6,kZ, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -取 k0,得 |的最小值为 6.应选学习必备欢迎下载探究提高 如 fxAsin x为偶函数,就当 x0 时, fx取得最大或最小值 . 如 fxAsin x为奇函数,就当 x0 时, fx0. 假如求 fx的对称轴,只需令 x 2k kZ,求 x. 假如求 fx的对称中心的横坐标,只需令 xk kZ即可 . 变式训练 3 1已知函数 fxsinxacos x 的图象的一条对称轴是 x5 3,就函数 gxasin xcos x 的最大值是 2 2 2 3 4 2 6A. 3 B. 3 C. 3 D. 3由题意得 f0 f 103 , a2a 2. a3 , gx3 3 sin xcos x2 3 sin 3 x 23 ,gxmax2 3 3 . 2如函数 fxasin xbcos x 0<<5,ab 0的图象的一条对称轴方程是 x4,函数 f x的图象的一个对称中心是 8,0 ,就 fx的最小正周期是 _. 1B 2 由题设,有 f 4 ±a 2b 2,即 2 ab±2a 2b 2,由此得到 ab. 又 f 8 0,所以 a cos 8 sin 8 0, 从而 tan 81,8k 4,kZ,即 8k2,k Z,而 0<<5,所以 2,于是 fx asin 2xcos 2x2asin2 x 4故 fx 的最小正周期是 .题型八 三角函数的值域与最值的求法及应用例 31 求函数 y2sinxcos 1sinx的值域；2x2求函数 ysinxcosxsinxcosx 的最值；细心整理归纳 精选学习资料 3如函数 fx1cos2xasinx 2·cos x 2的最大值为2,试确定常数a 的值 第 11 页,共 24 页 4sin2x【解析】（） y=2sinx1sin2x1sinx2sinx1sinx2sinx2sin2x 2sinx1 221 2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载1sinx 0,1sinx1. 4y1 2. 2sinxcos 2x 1 故函数 y1sinx 的值域为 4,2t 212令 tsinxcosx,就 sinxcosx2,且 |t| 2. y1 2t 21t1 2t 1 21,当 t 1 时, y min 1；当 t2时, ymax21 2. 3fx4cosxasinx 2x 2cos 21 2cosxa 2sinx24a 4sinx,其中 tan1 a 2由已知得 4a 42,解得 a±15. 【点评】 求三角函数的最值问题,主要有以下几种题型及对应解法1yasinx bcosx 型,可引用辅角化为ya 2b 2sinx其中 tanb a2yasin 2xbsinxcosx ccos 2x 型,可通过降次整理化为3yasin 2xbcosxc 型,可换元转化为二次函数4sinxcosx 与 sinx±cosx 同时存在型,可换元转化yAsin2x Bcos2xC. 5yasinx b 或 ycsinx dacosx b 型,可用分别常数法或由 ccosx d|sinx|1或|cosx|1来解决,也可化为真分式去求解6yasinxb 型,可用斜率公式来解决ccosxd例 4 已知函数 fxsin2x acos 2xa R, a 为常数 ,且 4是函数 y fx的一个零点1求 a 的值,并求函数fx的最小正周期； 第 12 页,共 24 页 - - - - - - - - - 2当 x 0, 2时,求函数fx的最大值和最小值及相应的x 的值【解析】 1由 4是 yfx的零点得f 4sin 22 acos 40,求解 a 2,就 fxsin2x2cos 2xsin2x cos2x12sin2x 41,故 fx的最小正周期为T2 2 .2由 x 0, 2得 2x4 4,3 4 ,就2 2sin2x 41,因此 2 2sin2x 41 21,故当 x0 时, fx取最小值 2,当 x3 8时, fx取最大值21. 设 aR,fxcosxasinxcosxcos 2 2x满意 f 3f0,求函数 fx在4,11 24 上的最大细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载值和最小值【解析】 fxasinxcosxcos 2xsin2xa 2sin2xcos2x1,最由 f 3f0得2·a 21 2 1,解得 a23. fx3sin2xcos2x2sin2x 6 当 x 4, 3时, 2x6 3,