2022年上海市向东中学高三数学立体几何测试卷及答案3.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载高三立体几何测试一、填空1、正方体 ABCD A1B 1C1D1中, E 是 AB 中点,就异面直线 DE 与 BD 1 所成角的大小为. 分析： 取 CD 中点 F,就 BF/DE. 那么 D 1BF 是异面直线 DE 与 BD 1所成的角（或补角）.设正方体的棱长为 2,可求得：BD 1 2 3 , BF 5 , D 1 F 5 .在 BFD 1中,求得15 15cos D 1BF,所以异面直线 DE 与 BD 1所成角的大小为 arccos5 52、设 A、B、C、D 分别表示以下角的取值范畴：（ 1）A 是直线倾斜角的取值范畴；（2）B 是锐角；（3）C 是直线与平面所成角的取值范畴；（4）D 是两异面直线所成角的取值范畴 .用“” 把集合 A、B、C、D 连接起来得到. 分析： 直线倾斜角的范畴是 0 , ,锐角的范畴是 0 , .由此：B D C A . 23、如图是一正方体的平面绽开图,在这个正方体中：（1）AF 与 CN 所在的直线平行；（2）CN 与 DE 所在的直线异面； （ 3）CN 与 BM 成 60° 角；（4）DE 与 BM 所在的直线垂直 . 以上四个命题中正确的命题序号是；分析： 将此绽开图仍原成正方体（如图）.可以看出：（2）、（3）、（4）是正确命题 . N N M D C M E F E A B D C F A B /4、已知平面 ,直线 a, b .有以下命题：（1）a /；（2）a /a aa / b a / b（3）a /；（ 4）a / .其中正确的命题序号是. b b分析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点,基本上每年的高考在挑选或填空题中都会有涉及,要充分懂得符号语言所表达的几何意义 .（1）表达的是两平面平行的一个性质：如两平面平行,就一个平面内的任始终线与另一平面平行 .（2）要留意的是直线 a 可能在平面 内.（3）留意到直线与平面之间的关系：如两平行直线中的一条与一个平面垂直,就另一条也与这个平面垂直 .且垂直于同始终线的两个平面平行 .（4）依据两平面平行的判定知,一个平面内两相交直线与另一个平面平行,两平面才平行 .由此知：正确的命题是（1）与（ 3）. 5、已知线段 AB 长为 3,A、B 两点到平面 的距离分别为 1 与 2,就 AB 所在直线与平面 所成角的大小为；分析： 要留意到点 A、B 是平面 同侧仍是在平面 的两侧的情形 .当 A、B 在平面 的同侧时, AB 所在直线与平面 所成角大小为 arcsin 1；当 A、B 在平面 的两侧时, AB 所在直线与平面 所成角为 . 3 26、侧棱长为 2cm,底面边长为 3cm 的正三棱锥的体积为 _ 3 3_ cm . 3 C B 14 A 17、如图,在体积为 1 的直三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中,ACB 90 , AC BC 1C BA细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载求直线 A1 B 与平面 BB 1 C 1 C 所成角的大小 .（结果用反三角函数值表示）. 命题立意 此题考查直线与平面所成角的大小 . 思路分析 此题可通过几何法找到直线在平面上的射影,利用直角三角形求出直线与平面所成角的大小 .也可以利用空间向量,借助向量与向量所成的角进行求解 . 试题解析 解法一 由题意可得体积 V CC 1 S ABC CC 1 1 AC BC 1 CC 1 1 , AA 1 CC 1 22 2连接 BC AC 1 B C 1,AC 1 CC 1,A 1C 1 平面 BB 1 C 1 C,A 1BC 1 是直线 A1 B 与平面 BB 1 C 1 C 所成的角BC 1 CC 1 2BC 2 5,A 1 C 1 1 5t a n A 1 BC 1,就 A 1BC 1arctanBC 1 5 538、如一正三棱锥的底面边长是 a ,体积为 3 a,就此三棱锥的侧棱与底面所成角的大小为；侧面与底面12所成二面角的大小为；此三棱锥的侧面积为. A 分析： 如图,设正三棱锥 ABCD 的高为 h .由题知：1 3a 2h 3a 3,就 h a .3 4 12设 BC 中点为 E,顶点 A 在底面上的射影为 O.留意三角形 ADO 中含有侧棱与底面所 B D 成角即 ADO 与侧面底面所成二面角的平面角即 AEO .由底面是正三角形且边长为 E O a 知 EO 3a , DO 3a,就 tg ADO 3 , tg AEO 2 3 .所以侧棱与底面所成 C 6 3角大小为,侧面与底面所成二面角大小为 arctg 2 3 .由 AE 39 a 知,可求得侧面积为 39 a .求侧面积也可3 6 4以利用面积射影定理,由侧面与底面所成二面角正切值为 2 3,就此二面角的余弦值为 1,正三棱锥各侧面与13底面所成的二面角都相等,就 S 底 1,所以 S侧 39 a 2. S 侧 13 49、三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清晰 . 外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等（充要条件）；内心：三侧面与底面所成的二面角相等（充要条件）；垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）. 举例 三棱锥的“ 三侧棱与底面所成的角相等且底面是正三角形” 是“ 三棱锥为正三棱锥” 的（）A 、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件； D、既不充分又不必要条件 . 分析： 三侧棱与底面所成的角相等,就顶点在底面上的射影是底面三角形的外心,又底面是正三角形,就外心就是中心,知此三棱锥是正三棱锥 .反之也成立,选 C. 10、ABCD A 1B1C1D 1是单位正方体, 黑、白两只蚂蚁从点 A 动身以相同速度沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为 “ 爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是 AA 1 A 1 D 1,黑蚂蚁爬行的路线是 AB BB 1,在爬行过程中它们都遵循如下规章：所爬行的第 n 2 段与第 n 段所在直线必需是异面直线（其中 n N）.设黑、白两只蚂蚁都爬细心整理归纳 精选学习资料 第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载完 2007 段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白两个蚂蚁的距离是（）A 、1；B、2 ；C、3 ；D、0. 分析： 留意到它们的运动规律,都是呈周期运动,运动周期为 6. D 1 4 C 1 D 1 3 C 1经过 2007 次运动,由它们运动后所停位置就是第 20073 次运动后所停位置 6 334 3 知,. A 15 B 1 3 A 1 2B 14就它们都到达 C1 点,所以这两蚂蚁之间的距离为 0,选 D. D 2C 1 D C6 5二、解答题：A 1 B A 6 B11、已知平行六面体 ABCD A 1B1C1D 1中,A1A平面 ABCD ,AB=4 ,AD=2. 如 B1DBC,直线 B 1D 与平面 ABCD所成的角等于 30° ,求平行六面体 ABCD A1B 1C1D1 的体积 . 解：连结 BD,由于 B 1B平面 ABCD ,B 1DBC,所以 BCBD. 在 BCD 中, BC=2,CD=4 ,所以 BD=23.又由于直线B1D 与平面 ABCD 所成的角等于30° ,AF与 CE 所所以 B1DB=30 ° ,于是 BB 1=1BD=2. 312、如图,在棱长为2 的正方体ABCDABCD中,E、F分别是AB和 AB 的中点,求异面直线成角的大小结果用反三角函数值表示）. 解：连接 EB ,AE/BF,且AEBF,AFBE是平行四边形,就AF/EB,异面直线AF与 CE 所成的角就是CE 与 EB 所成的角 . 由 CB平面AB BA,得CBBE. 在 Rt CEB 中,CB,2BE5,就tanCEB255,CEBarctan255. 异面直线AF与 CE 所成角的大小为arctan25513、正三棱柱ABC A 1B1C1的底面边长是2,BC 1 与平面 ACC 1A 1 所成角为 30° . 试求：（1）三棱柱 ABC A 1B 1C1 的体积；（2）点 C 到平面 BAC 1 的距离 . 分析 ：（ 1）求三棱柱的体积, 只要求出其高即可 .由 BC1 与平面 ACC 1A 1 所成角为 30° ,就要作出 BC 1 在平面 ACC 1A 1上的射影 .取 AC 中点 E,就 BE AC ,所以 BE 平面 ACC 1A 1,就 EC1 是 BC 1 在平面 ACC 1A1 上的射影 .有BC1 E =30° .由 BE 3,知 C 1E 3,所以 CC 1 2 2 .就三棱柱的体积 V= CC 1 S ABC = 2 6 . （2）如直接求点 C 到平面 BAC 1 的距离,就需要作垂线、定垂足,比较麻烦 .利用体积转化就比较简洁 .留意到三棱锥 CABC 1 即为三棱锥 C1ABC ,其体积为 2 6,设 C 到平面 BAC 1 的距离为 h ,就 2 6 1 h S ABC 1 .简洁求3 3 3得 S ABC 1 11,所以点 C 到平面 BAC 1的距离为 211 66. P 14、在四棱锥 PABCD 中,底面是边长为 2 的菱形, DAB 60,对角线E D AC 与 BD 相交于点 O,PO平面 ABCD ,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60（1）求四棱锥 PABCD 的体积；（2）如 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 A O C B PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载命题立意 此题考查四棱锥及其体积,直线与平面所成角,异面直线所成的角,或能正确建立空间直角坐标系,空 间向量以及两个向量所成的角 . 思路分析 此题可利用四棱锥的体积公式求出体积,再利用几何法找平行关系,把求异面直线所成的角转化为求平 面角的问题,利用余弦定理加以求解；也可以利用空间向量,借助向量与向量所成的角进行求解 . 试题解析 解答：（1）在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO平面 ABCD, 得 PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角 , PBO=60° . 在 Rt AOB 中 BO=ABsin30°=1, 由 POBO, 3 . 于是 ,PO=BOtan60° =3 ,而底面菱形的面积为2四棱锥 P-ABCD 的体积 V=1×23 ×3 =2. 3（2）解法一 以 O 为坐标原点 ,射线 OB 、OC OP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系. 3,0, 3, AP =0, 3 , 3 . 在 Rt AOB 中 OA=3 ,于是 ,点 A、B、D、P 的坐标分别是A0, 3 ,0, B 1,0,0, D 1,0,0, P 0,0, 3 . E 是 PB 的中点 ,就 E1,0,3 于是 DE =22223332 42 , =arccos4设DE 与AP的夹角为 ,有 cos =92344异面直线DE 与 PA 所成角的大小是arccos2. 4解法二 取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点 ,得 EF PA, FED 是异面直线 DE 与 PA 所成 角或它的补角 ,在 Rt AOB 中 AO=ABcos30°=3 =OP,于是 , 在等腰 Rt POA 中,细心整理归纳 精选学习资料 PA=6 ,就 EF=6 . 23 ,2. 第 4 页,共 4 页 在正 ABD 和正 PBD 中,DE=DF=cosFED=1 2EF6=2, 4DE34arccos异面直线DE 与 PA 所成角的大小是4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -