2022年不等式恒成立问题的基本类型及常用解法.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型 1：设 fx=ax+b fx 0 在 xm,n上恒成立f m 0x 的取值范畴；f n0fx 0 在 xm,n上恒成立fm 0. fn 0例1. 设 y=log2x2+t-2log2x-t+1,如 t 在-2,2上变化, y 恒取正值,求实数解：设 ft=y=log2x-1t+log2x2-2log2x+1, t-2,2 问题转化为： ft0 对 t -2,2恒成立f2 0f2 0log2x24log2x30log2x2100x1 或 x8；2故实数 x 的取值范畴是（0,1 ）（ 8,+）；2例 2. 对于 -1a1, 求使不等式 1 x2 ax<2解：原不等式等价于 x 2+ax<2x+a-1 在 a-1,112xa1恒成立的 x 的取值范畴；2上恒成立 . 设 fa=x-1a+x2-2x+1,就 fa是 a 的一次函数或常数函数,要使 fa>0 在 a-1,1上恒成立 ,就须满意f100x2x00x>2 或 x<0f 1x23x2故实数的取值范畴是- ,0 2,+. 类型 2：设 fx=ax2+bx+c a 0 fx 0 在 xR上恒成立a 0 且 0; fx 0 在 xR上恒成立a 0 且 0. 说明： .只适用于一元二次不等式.如未指明二次项系数不等于0,留意分类争论. m的取值范畴；例 3. 不等式2x222mxm1 对一切实数x 恒成立,求实数4x6x3解：由 4x 2+6x+3=2x+ 3 2+ 3 0, 对一切实数2 42x 2+2mx+m4x 2+6x+3, x R x 恒成立,从而,原不等式等价于即： 2x 2+6-2mx+3-m0 对一切实数 x 恒成立；就 =（6-2m）2-83-m 0 解得： 1m3 故实数 m的取值范畴是（1,3）； 第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - 类型 3：设 fx=ax2+bx+c a 0 （ 1）当 a0 时细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 fx 0 在 xm,n上恒成立bm或mbn或bn2 a2 a2 afm 0ofn 0bm或 0 或bn. 2 a2 afm 0fn0 fx 0 在 xm,n上恒成立f m 0. f n 0（ 2）当 a0 时 fx 0 在 xm,n上恒成立fm 0fn 0 fx 0 在 xm,n上恒成立bm或mbn或bn2 a2 a2 afm 0ofn 0bm或 0 或bn. 2 a2 afm 0fn0说明：只适用于一元二次不等式. 类型 4：afx 恒成立对 xD恒成立afx max ,afx对 x D恒成立afx m in .说明： . fx 可以是任意函数.这种思路是：第一是-分别变量,其次用-极端值原理；把问题转化为求函数的最值,如fx不存 第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - 在最值,可求出fx 的范畴,问题同样可以解出；例 4.（2000.上海）已知fx=x22xa0 在 x,1上恒成立,求实数a 的取值范畴；x分析 1：当 x1 ,时, fx 0 恒成立,等价于x2+2x+a 0 恒成立 , 只需求出gx= x2+2x+a 在,1上的最小值,使最小值大于0 即可求出实数a 的取值范畴；解法 1： fx=x22xa0 对 x ,1恒成立x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - x2+2x+a0 对 x ,1恒成立；学习必备欢迎下载设 gx= x2+2x+a x1 ,1问题转化为： gxm in0gx= x2+2x+a=x+12+a-1, xgx 在,1上是增函数；gxm in=g1=3+a 3+a0 a -3 即所求实数 a 的取值范畴为 a -3；分析 2 ：分别变量,转化为 afx或 afx恒成立问题,然后利用极端值原理：afx 恒成立 afx m axafx 恒成立 afx m in . 2解法 2： fx= x 2 x a0 对 x ,1 恒成立x x 2+2x+a0 对 x,1 恒成立；a -（x 2+2x）对 x,1 恒成立；设 x= -（x 2+2x） x ,1问题转化为： ax m axx= -（x 2+2x）=-x+1 2+1 x,1x 在 ,1 上是减函数；x max= 1=-3 a -3 即所求实数a 的取值范畴为a -3；2.4x 0 恒成立,求实数a 的取值范畴； 第 3 页,共 5 页 例 5.已知 x1,时, 不等式 1+2 x+a-aa 的不等式是关键,利用分别变量的方法可达到目的；分析：要求a 的取值范畴,如何构造关于解：设 2x=t, x1, t,02原不等式可化为：a-a2t21. t要使上式对t,02恒成立,只需：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a-a2（t21） m ax . t0 2,3学习必备欢迎下载tt21=-11 2+1tt24由11,（t21） m a x=-t2t4a-a 2-34即： 4a 2-4a-30 从而 -1 a232类型 5： .fxgx 对任意 xD恒成立. f x1gx2 对任意 x1、x 2D恒成立例 6 已知 fx=-x3+ax,其中 aR,gx=-03 1 x 22,且 fxgx 在 x1,0上恒成立,求实数a 的取值范畴；分析：有的同学把“fxgx 在 x1,上恒成立” 转化为： “ 当 x01,时, fx m ax g（x） m in ,” 然后求出a 的取值范畴；这种方法对吗？121 时,fx m ax =0, g（x） min = - 1 ,并不满意 2fx m ax g（x）fx=-2x2 gx=-x+12我们先来看一个例子,如图,当x0 ,1m in明显这种转化方式是不对的；错在哪里呢？缘由在于用分别变量方法得到的不等式一边是参数,另一边是 x 的函数关系式；而此题解法中的不等式,两边都是关于x 的函数关系式,所以上面这种转化方式是错的；正确的方法是先分别变量,再利用极端值原理；解： fxgx 在 x01,上恒成立 第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - -x3+ax+3 1 x 220 对 x01,恒成立 a x2-1 1 x 22对 x01,恒成立设 hx= x2-1 1 x 22 x 0 1,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -问题转化为： ahx min学习必备欢迎下载h/x=2x-41x=2x1.4xx2x141 4递减；由 h / x=0 ,得 x=1 4当 x0,1时hx 0,hx在0,4当 x11,时hx 0,hx 在11,递减；44 hx 在 x= 4 1时取最小值, hx m in=16 3a316例 7. 已知两个函数 fx=8x 2+16x-k,gx=2x 3+5x 2+4x, 其中 k R （1）如对任意的 x -3,3, 都有 fx gx 成立,求 k 的取值范畴；（2）如对任意的 x 1, x 2 -3,3, 都有 fx 1 gx 2 ,求 k 的取值范畴；方法： .“ fx gx 对任意 xD恒成立” 可通过分别变量,极端值原理可求得；.“f x 1 gx2 对任意 x1、x 2D恒成立”fx mingxmax 第 5 页,共 5 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -