2022年不等式推理与证明知识点.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -课题名称学习必备欢迎下载不等式1、不等式的性质2、一元二次不等式及其解法同步教学学问内容3、二元一次不等式与平面区域 4、线性规划问题教学目标 5、基本不等式定理及重要的不等式6、各类型不等式的解法重视对基本定义、概念的懂得,把握基本的运算公式,掌个性化学习问题解决握中等难度的常规题目的解题思路与方法并进行归纳总 结；1、线性规划问题的求解教学重点2、基本不等式的敏捷用 3、把握各类型不等式的解法4、不等式的证明教学难点线性规划问题的求解；敏捷运用不等式的性质、基本不等定理及重要不等式证 明不等式教务部主 办审批一、基本学问点讲解1、实数 a 、 b 大小的比较：ab0ab ；ab0ab ；ab0ab 比较两个数的大小可以用相减法 、相除法 、平方法 、开方法 、倒数法 等；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载2、不等式的性质：对称性abba1acbc传递性ab bcac加法单调性abacbc乘法单调性ab c0acbc；ab c0同向不等式相加ab cdacbd异向不等式相减ab,cdacbd同向不等式相乘ab0,cd0acbd异向不等式相除ab1,01dc00a1bcd倒数关系ab0;ababab平方法就ab0a nb nnN ,n10nanb n,n1开方法就ab3、一元二次不等式及其解法：（1）定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式；（2）二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系判别式b24 ac数000 第 2 页,共 10 页 二次函yax2bxc程有两个相异实数有两个相等实数没有实数根a0的图象一元二次方ax2bxc0根a0的根x 1,2b2a根x 1x2b2aax2bxcx 1x 2Rx xb 2 a0x xx 1 或xx 2一元二次a20不等式的axbxc0解集x x 1xx 2a0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载4、线性规划问题：（1）二元一次不等式1 定义：含有两个未知数,并且未知数的次数是 1的不等式2 二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组3 二元一次不等式（组）的解集：满意二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ,x y ,全部这样的有序数对 ,x y 构成的集合（2）在平面直角坐标系中,已知直线 x y C 0,坐标平面内的点 x 0 , y 01 如 0,x 0 y 0 C 0,就点 x 0 , y 0 在直线 x y C 0 的上方2 如 0,x 0 y 0 C 0,就点 x 0 , y 0 在直线 x y C 0 的下方（3）在平面直角坐标系中,已知直线 x y C 01 如 0 , 就 x y C 0 表 示 直 线 x y C 0 上 方 的 区 域 ；x y C 0 表示直线 x y C 0 下方的区域2 如 0 , 就 x y C 0 表 示 直 线 x y C 0 下 方 的 区 域 ；x y C 0 表示直线 x y C 0 上方的区域（4）线性规划相关概念线性约束条件：由x , y 的不等式（或方程）组成的不等式组,是x , y 的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x , y 的解析式线性目标函数：目标函数为 x , y 的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满意线性约束条件的解 x y 可行域：全部可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解（5）解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；其次步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值；5、基本不等式细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）设 a、 b 是两个正数,就a2学习必备欢迎下载ab 称为正数 a、bb 称为正数 a 、b 的算术平均数 ,的几何平均数 （2）均值不等式：a b如 a 0,b 0,就：ab（当且仅当 a=b时取等号）2留意：“ 一正二定三相等,和定积最大,积定和最小” 这 17 字方针（3）基本不等式定理的形式1 整式形式：2 ab22 ab a bR ；aba22b2a bR ；Raba2b2a0,b0；a 22b2a2b2a b2 根式形式：a2bab （a0,b0）a+b（a2b23 分式形式：b + aa2（a、b 同号）b4 倒数形式： a>0a+12 ；a<0a+1-2 aa（4）极值定理：设 a 、 b 都为正数,就有1 如abs（和为定值）,就当ab时,积 ab 取得最大值2 s 42 如abp（积为定值）,就当ab时,和ab取得最小值 2p （5）均值不等式的推广：1 如a,b,cR,就abc3abc（当仅当abc时等号成立）b时取等号）32 公式：a22b2a2bab1212 aba ,bR（仅当aab平方平均ab算术平均几何平均调和平均（a, 为正数）特殊地,aba2b2a22b2（当 a = b 时,a2b2a22b2ab）3a2b2c2abbcca a,bR当且仅当abc时取等号；6、不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）. 步骤：1 正化：分解成如干个一次因式的积, 并使每一个因式中最高次项的系数为正；2 标轴：将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载每一点画曲线；并留意奇穿过偶弹回；3 穿线：依据曲线显现f x 的符号变化规律,写出不等式的解集；注：用“ 穿轴法” 解高次不等式“ 奇穿,偶切”,从最大根的右上方开头如： x1x12x230特例 一元一次不等式ax>b 解的争论；一元二次不等式ax 2+bx+c>0a 0解的争论 . （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化,就：fx0fx gx0；fx0fx gx0gxgxgx 0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解fxgxfx 0fxgxfx0x2或fx 0gx0gx0gx02fx gxfxgfxgxfx0gx0fxgx （4）.指数不等式：转化为代数不等式afxagx fx gx a11afxbfxlgalgba0 ,b0 fx gx 0a（5）对数不等式：转化为代数不等式log af x log ag x a1f x 0;logaf x logag x 0a1f x 0g x 0g x 0f x g x f x g x （6）含肯定值不等式应用xa,a0应用分类争论思想去肯定值；应用数形思想； 第 5 页,共 10 页 xaaxaa化归思想等价转化xa,a0,或x公式法fxgxfxg x,或fxg x细心整理归纳 精选学习资料 fxgxgxfxgxabababa1a2ana1a2an平方法fxg xf2xg2x划分区域争论法：适合于两个或两个以上肯定值号的不等式 - - - - - - - - - - - - - - -利用肯定值的几何意义: - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载（7）含参不等式解法求解的通法是“ 定义域为前提,函数增减性为基础,分类争论是关键”注:1, 解完之后要写上：“ 综上,原不等式的解集是 ”；2, 按参数争论, 最终应按参数取值分别说明其解集；但如按未知数争论, 最后应求并集二、基础训练 A 1如 b<0,ab>0,就 ab 的值 A大于 0 B小于 0 C等于 0 D不能确定2已知 Mx 2y 24x2y,N5,如 x 2 或 y 1,就 AM>N BM<N CMN D不能确定3不等式 x2x3>0 的解集是 A3,2 B2, C, 32, D, 23, 4函数 yx x1 x的定义域为 A x|x0 B x|x1 C x|x1 0 Dx|0x1 5不论 x 为何值,二次三项式 ax 2bxc 恒为正值的条件是 Aa>0,b 24ac>0 Ba>0,b 24ac0 Ca>0,b 24ac<0 Da<0,b 24ac<0 6以下命题中正确选项 A不等式 x 2>1 的解集是 x|x>±1 C不等式 44xx 20 的解集是空集B不等式 44xx 20 的解集是 RD不等式 x 22axa5 4>0 的解集是 R 7如关于 x 的不等式 2x1>ax2的解集是 R,就实数 a 的取值范畴是 第 6 页,共 10 页 Aa>2 Ba2 Ca<2 Da 不存在8已知点 Mx0,y0与点 A1,2在直线 l：3x2y80 的两侧,就 A3x02y0>10 B 3x02y0<0 C3x02y0>8 D3x02y0<8 9不等式组xy1 xy1 0,表示的平面区域的面积是 0x2A2 B4 C6 D8 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载10 在 直 角 坐 标 系 内 , 满 足 不 等 式 表示 是 x 2 y 20 的 点 x , y 的 集 合 用 阴 影11一个两位数个位数字为 a,十位数字为 b,且这个两位数大于 50,可用不等关系表示为 _12已知 x<1,就 x 22 与 3x 的大小关系为 _13设集合 Ax|x1 2<3x7,xR ,就集合 AZ 中有 _个元素14不等式x1 x2>0 的解集是 _15原点 O0,0与点集 A x,y|x2y10,yx2,2xy50 所表示的平面区域的位置关系是 _,点 M1,1与集合 A 的位置关系是 _三、基础训练 B 1如2x25x20,就4x24 x12x2等于（）2 b 第 7 页,共 10 页 A4x5B3C 3D54 x2以下各对不等式中同解的是（）A2x7与2xx7xBx1 20与x10Cx31 与x31Dx1 3x3与x111x3如2x 211x2,就函数y2x的值域是（）4A1 8,2B1 8, 2C, 18D 2,4设a1b1,就以下不等式中恒成立的是 A11B11Cab2Da2abab5假如实数,x y 满意x2y21,就 1xy1xy 有 A最小值1 和最大值 1 23 而无最大值 4B最大值 1 和最小值3 4C最小值D最大值 1 而无最小值6二次方程x2a21 xa20,有一个根比 1大,另一个根比1小, 就a的取值范畴是 A3a1B2a0C1a0D 0a2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载_；且实数 n_；7如方程x22m1x3 m24mn4n220有实根,就实数 m8一个两位数的个位数字比十位数字大2 ,如这个两位数小于30 ,就这个两位数为_；9设函数f x lg3xx2,就f x 的单调递减区间是；410当 x_时,函数yx22x2有最 _值,且最值是 _；11如f n n21n g n , nn21, 1 nN*,用不等号从小到大2n连结起来为 _；12解不等式（1）log2x3x230（2）41x2x322213不等式2 mxx28 xx2040的解集为 R ,求实数 m 的取值范畴；2 m19 myx,14（1）求z22xy的最大值,使式中的x 、 y 满意约束条件xy.1 ,y11（2）求z2xy的最大值,使式中的x 、 y 满意约束条件x2y2251615已知a,求证：loga1alogaa1四、综合训练1一元二次不等式ax2bx20的解集是1 1 , 2 3,就 ab 的值是（）； 第 8 页,共 10 页 A. 10B. 10C. 14D. 14细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - 2设集合Ax|12,Bx|x1,就AB等于（）x3A1,13 2B1,2C,11,D,11,33323关于 x 的不等式k22k5xk22k51 x的解集是 22Ax1Bx1Cx2Dx2224以下各函数中,最小值为2 的是 Ayx1Bysinx1x,x0,2xsinCy2 x23Dyx21x2x5假如x2y21,就 3 x4y 的最大值是 A 3B1C 4D 556已知函数y2 axbxc a0的图象经过点 1,3 和 1,1两点 , 如 0c1 ,就 a 的取值范畴是 A 1,3B 1,2C 2,3D 1,37设实数,x y 满意2 x2xy10,就 xy 的取值范畴是 _；8如Ax xabab3, , a bR,全集 IR ,就C A_；9如a1log1xa 的解集是1 1 ,4 2,就 a 的值为 _；210当 0x2时,函数f x 1cos2x8sin2x的最小值是 _；sin 2x11设x yR且1 x91,就 xy 的最小值为 _. y12不等式组2 x2x32 x2x3的解集为 _；x2x20细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -13已知集合学习必备欢迎下载x2log 62 , Ax| 22 x2x313x1,Bx| log 92又AB33x x2axb0,求 ab 等于多少？14函数yx25的最小值为多少？x2415已知函数ymx2x4 3 xn的最大值为 7 ,最小值为1,求此函数式；2116设0a,1解不等式：logaa2x2 ax20细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - -