2022年上海市高考数学试卷.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -20XX 年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共 14 小题,满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否就一律零分）21（ 4 分）（2022.上海）函数 f（x）=1 3sin x 的最小正周期为2（4 分）（2022.上海）设全集 U=R 如集合 A=1 ,2,3,4 ,B=x|2 x3 ,就 A（CUB）=3（ 4 分）（2022.上海）如复数 z 满意 3z+ =1+i ,其中 i 是虚数单位,就 z=4（4 分）（2022.上海）设 f 1（x）为 f（x）= 的反函数,就 f 1（2） =5（ 4 分）（2022.上海）如线性方程组的增广矩阵为 解为,就 c1c2=1,就6（4 分）（2022.上海）如正三棱柱的全部棱长均为a,且其体积为16,就 a=7（ 4 分）（2022.上海）抛物线y2 =2px（ p0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为p=8（ 4 分）（2022.上海）方程log 2（9x 1 5）=log2（3x 1 2）+2 的解为9（4 分）（2022.上海）如 x,y 满意,就目标函数z=x+2y 的最大值为10（4 分）（2022.上海）在报名的3 名男老师和6 名女老师中,选取5 人参与义务献血,要求男、女老师都有,就不同的选取方式的种数为（结果用数值表示） 11（4 分）（2022.上海）在（ 2x+）6 的二项式中,常数项等于（结果用数值表示）12（4 分）（2022.上海）已知双曲线C1、C2的顶点重合, C1的方程为 y2 =1,如 C2的 第 1 页,共 22 页 一条渐近线的斜率是C1 的一条渐近线的斜率的2 倍,就 C2 的方程为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -13（4 分）（2022.上海）已知平面对量、满意,且 |,|, | |=1 ,2,3 ,就| + + |的最大值是14（4 分）（2022.上海）已知函数 f（ x）=sinx 如存在 x1,x2,xm满意 0x1x2 xm6,且 |f（x1） f（x2）|+|f（x2） f（ x3）|+|f（ xm 1） f（xm）|=12（ m0,mN * ）,就 m 的最小值为二、挑选题（本大题共 4 小题,满分 21 分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否就一律零分 .15（6 分）（2022.上海）设 z1、z2C,就 “ z1、z2均为实数 ”是“z1 z2是实数 ”的（）A 充分非必要条件 B 必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件16（5 分）（2022.上海）以下不等式中,与不等式2 解集相同的是（）2 2A （x+8 ）（x +2x+3 ） 2 B x+82（x +2x+3 ）CD17（5 分）（2022.上海）已知点 A 的坐标为（ 4,1）,将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转至 OB,就点 B 的纵坐标为（）A BCD18（5 分）（2022.上海）设 Pn（xn,yn）是直线 2x y=（nN*）与圆 x2+y 2=2 在第一象限的交点,就极限 =（）A 1 B C1 D2三、解答题（本大题共有 5 题,满分 74 分）解答以下各题必需在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.P,底面圆为O,底面的一条直径为AB ,C 第 2 页,共 22 页 19（12 分）（2022.上海）如图,圆锥的顶点为为半圆弧的中点, E 为劣弧的中点,已知PO=2,OA=1 ,求三棱锥P AOC 的体积,并求异面直线PA 和 OE 所成角的大小细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -20（14 分）（2022.上海）已知函数f（x）=ax2+,其中 a 为常数（1）依据 a 的不同取值,判定函数f（x）的奇偶性,并说明理由；（2）如 a（1,3）,判定函数 f（x）在 1,2上的单调性,并说明理由21（14 分）（2022.上海） 如图, O,P,Q 三地有直道相通,OP=3 千米, PQ=4 千米, OQ=5千米,现甲、乙两警员同时从 O 地动身匀速前往 Q 地,经过 t 小时,他们之间的距离为 f（t）（单位：千米） 甲的路线是 OQ,速度为 5 千米 /小时,乙的路线是 OPQ,速度为 8 千米/小时,乙到达 Q 地后在原地等待设 t=t 1 时乙到达 P 地, t=t2 时乙到达 Q 地（1）求 t1 与 f（ t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米,当 t1tt2 时,求 f（t）的表达式,并判断 f（t）在 t 1,t2上的最大值是否超过x3？说明理由l1和 l2分别与椭圆交于22（16 分）（2022.上海）已知椭圆2+2y2=1,过原点的两条直线点 A 、B 和 C、D,记 AOC 的面积为 S（1）设 A（ x1,y1）,C（x2, y2）,用 A、 C 的坐标表示点S=|；, S=,求 k 的值；（2）设 l1： y=kx ,C 到直线 l1 的距离,并证明（3）设 l1 与 l2 的斜率之积为m,求 m 的值,使得无论l1 和 l2 如何变动,面积S 保持不变23（18 分）（2022.上海）已知数列an 与 b n 满意 an+1 an=2（ bn+1 bn）,nN*（1）如 bn=3n+5,且 a1=1,求 an 的通项公式；（2）设 an 的第 n0 项是最大项,即an0an（ nN* ）,求证： b n 的第 n0 项是最大项；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（3）设 a1=30,bn= n（nN*）,求 的取值范畴,使得对任意m,nN*,an0,且细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -20XX 年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 14 小题,满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否就一律零分）21（ 4 分）（2022.上海）函数 f（x）=1 3sin x 的最小正周期为 考点 ：三 角函数的周期性及其求法专题 ：三 角函数的图像与性质分析：由 条件利用半角公式化简函数的解析式,周期再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正解答：解：函数f（x）=1 3sin2x=1 3=+cos2x,函数的最小正周期为=,故答案为： 点评：本 题主要考查半角公式的应用,余弦函数的周期性,属于基础题2（4 分）（2022.上海）设全集 U=R 如集合 A=1 ,2,3,4 ,B=x|2 x3 ,就 A（CUB）=1 ,3,4考点 ：交 、并、补集的混合运算专题 ：集 合分析：本 题考查集合的运算,由于两个集合已经化简,故直接运算得出答案即可解答：解 ：全集 U=R ,集合 =1 ,2,3, 4 ,=x|2 x3 ,（ .UB）=x|x 3 或 x2 , A（.UB）=1 , 3,4 ,故答案为： 1 ,3,4 点评：本 题考查集合的交、并、补的混合运算,娴熟把握集合的交并补的运算规章是解此题 的关键此题考查了推理判定的才能3（ 4 分）（2022.上海）如复数z 满意 3z+=1+i ,其中 i 是虚数单位,就z=考点 ：复 数代数形式的乘除运算专题 ：数 系的扩充和复数分析：设 z=a+bi,就 =a bi（ a,bR）,利用复数的运算法就、复数相等即可得出解答：解 ：设 z=a+bi,就 =a bi（a, bR）,又 3z+ =1+i , 3（a+bi） +（a bi）=1+i ,化为 4a+2bi=1+i , 4a=1,2b=1,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解得 a= ,b= z=故答案为：点评：本 题考查了复数的运算法就、复数相等,属于基础题4（ 4 分）（2022.上海）设 f 1（x）为 f（x）=的反函数,就f 1（2）=考点 ：反 函数专题 ：函 数的性质及应用x 用含有 y 的代数式表示,x,y 互换求出原函数的反函数,就f 1分析：由 原函数解析式把（ 2）可求解答：解：由 y=f （x）=,得,x,y 互换可得,即 f 1（x） =故答案为：点评：本 题考查了函数的反函数的求法,是基础的运算题5（4 分）（2022.上海）如线性方程组的增广矩阵为解为,就 c1 c2=16考点 ：二 阶行列式与逆矩阵专题 ：矩 阵和变换分析：依据增广矩阵的定义得到,是方程组的解,解方程组即可解答：解：由题意知,是方程组的解,即,就 c1 c2=21 5=16,故答案为： 16点评：本 题主要考查增广矩阵的求解,依据条件建立方程组关系是解决此题的关键细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -6（ 4 分）（2022.上海）如正三棱柱的全部棱长均为a,且其体积为16,就 a=4考点 ：棱 锥的结构特点专题 ：空 间位置关系与距离分析：由题意可得（.a.a.sin60°）.a=16,由此求得 a 的值解答：解：由题意可得,正棱柱的底面是变长等于 a 的等边三角形,面积为 .a.a.sin60°,正棱柱的高为 a,（.a.a.sin60°）.a=16, a=4,故答案为： 4点评：本 题主要考查正棱柱的定义以及体积公式,属于基础题7（ 4 分）（2022.上海）抛物线y2 =2px（ p0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1,就p=2考点 ：抛 物线的简洁性质专题 ：计 算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利 用抛物线的顶点到焦点的距离最小,即可得出结论1,解答：解 ：由于抛物线2 y=2px（p0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为所以=1,所以 p=2故答案为： 2点评：本 题考查抛物线的方程与性质,考查同学的运算才能,比较基础8（ 4 分）（2022.上海）方程log 2（9x 1 5）=log 2（3 x 1 2）+2 的解为2考点 ：对 数的运算性质专题 ：函 数的性质及应用分析：利 用对数的运算性质化为指数类型方程,解出并验证即可解答：解 ： log2（9x 1 5）=log 2（3x 1 2）+2, log2（9x 1 5）=log 24×（3 x 1 2）, 9x 1 5=4（3x 1 2）,化为（ 3 x）2 12.3 x+27=0 ,因式分解为： （3x 3）（3x 9）=0, 3x=3,3 x=9,解得 x=1 或 2经过验证： x=1 不满意条件,舍去 x=2故答案为： 2点评：本 题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法,考查了运算才能,属于基础题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -9（ 4 分）（2022.上海）如 x,y 满意,就目标函数z=x+2y 的最大值为3考点 ：简 单线性规划专题 ：不 等式的解法及应用分析：作 出不等式对应的平面区域,利用线性规划的学问,通过平移即可求 z 的最大值解答：解 ：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=x+2y 得 y=x+ z,平移直线 y= x+ z,由图象可知当直线 y=x+ z 经过点 B 时,直线 y=x+ z 的截距最大,此时 z 最大由,解得,即 B（1,1）,代入目标函数 z=x+2y 得 z=2×1+1=3 故答案为： 3点评：本 题主要考查线性规划的应用,利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法10（4 分）（2022.上海）在报名的 3 名男老师和 6 名女老师中,选取 5 人参与义务献血,要求男、女老师都有,就不同的选取方式的种数为 120（结果用数值表示） 考点 ：排 列、组合的实际应用专题 ：计 算题；排列组合分析：根 据题意,运用排除法分析,先在9 名老师中选取5 人,参与义务献血,由组合数公式可得其选法数目,再排除其中只有女老师的情形；即可得答案解答：解 ：依据题意,报名的有 3 名男老师和 6 名女老师,共 9 名老师,在 9 名老师中选取 5 人,参与义务献血,有 C9 5=126 种；5其中只有女老师的有 C6 =6 种情形；就男、女老师都有的选取方式的种数为 126 6=120 种；故答案为： 120细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -点评：本 题考查排列、组合的运用,此题相宜用排除法（间接法）化运算,可以防止分类争论,简11（4 分）（2022.上海）在（ 2x+）6 的二项式中,常数项等于240（结果用数值表示）考点 ：二 项式系数的性质专题 ：二 项式定理分析：写 出二项绽开式的通项,由 解答：解：由（ 2x+）6,得由 6 3r=0,得 r=2x 的指数为 0 求得 r 值,就答案可求=常数项等于故答案为： 240点评：本 题考查了二项式系数的性质,关键是对二项绽开式通项的记忆与运用,是基础题12（4 分）（2022.上海）已知双曲线C1、C2的顶点重合, C1的方程为 y2 =1,如 C2的一条渐近线的斜率是C1 的一条渐近线的斜率的2 倍,就 C2 的方程为考点 ：双 曲线的简洁性质专题 ：计 算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求 出 C1 的一条渐近线的斜率,可得C2 的一条渐近线的斜率,利用双曲线C1、C2 的顶点重合,可得C2 的方程解答：解： C1 的方程为2 y =1,一条渐近线的方程为y=,由于 C2 的一条渐近线的斜率是C1 的一条渐近线的斜率的2 倍,所以 C2 的一条渐近线的方程为y=x,由于双曲线C1、C2 的顶点重合,所以 C2 的方程为故答案为：点评：本 题考查双曲线的方程与性质,考查同学的运算才能,比较基础细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -13（4 分）（2022.上海）已知平面对量、满意,且 |,|, | |=1 ,2,3 ,就|+|的最大值是3+考点 ：平 面对量数量积的运算专题 ：平 面对量及应用分析：分别以所在的直线为x,y 轴建立直角坐标系,分类争论： 当 |,|=1 ,2 ,|=3,设,就 x2+y2 =9,就+=（ 1+x,2+y）,有|=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=9 上点（ x,y）与定点（1, 2）的距离的最大值；其他情形同理,然后求出各种情形的最大值进行比较即可解答：解：分别以所在的直线为x,y 轴建立直角坐标系,x2+y2=9 上点（ x, 当|,| |=1 ,2 ,| |=3,就,设,就 x2 +y2=9,+=（1+x,2+y）, |=的最大值,其几何意义是圆y）与定点（1, 2）的距离的最大值为=3+； 且|,| |=1 ,3 ,| |=2,就, x2+y2=4,x2+y2=4 上点（ x,+=（1+x,3+y） |=的最大值,其几何意义是圆y）与定点（1, 3）的距离的最大值为2+=2+, |,|=2 ,3 , ,|=1,就,x2+y2=1 设,就 x2+y2=1 +=（2+x,3+y） |=的最大值,其几何意义是在圆上取点（ x,y）与定点（2, 3）的距离的最大值为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1+ =1+|的最大值为3+,故 |故答案为： 3+点评：本 题主要考查了向量的模的求解,解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点,使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r 为该圆的半径,d 为该点与圆心的距离） 14（4 分）（2022.上海）已知函数 f（ x）=sinx 如存在 x1,x2,xm满意 0x1x2 xm6,且 |f（x1） f（x2）|+|f（x2） f（ x3）|+|f（ xm 1） f（xm）|=12（ m0,mN * ）,就 m 的最小值为 8考点 ：正 弦函数的图象专题 ：函 数的性质及应用；三角函数的图像与性质分析：由 正弦函数的有界性可得,对任意xi,xj（ i,j=1,2,3,m）,都有 |f（xi ） f（xj）|f（x） max f （x）min=2,要使 m 取得最小值,尽可能多让 xi（i=1,2,3,m）取得最高点,然后作图可得满意条件的最小 m 值解答：解 ： y=sinx 对任意 xi,xj（i,j=1 ,2, 3,m）,都有 |f（xi） f（xj）|f（x）max f（x） min=2,要使 m 取得最小值,尽可能多让xi（i=1 ,2, 3,m）取得最高点,考虑 0x1x2 xm6, |f（x1）f（x2）|+|f（x2） f（x3）|+|f（xm 1）f（ xm）|=12,按下图取值即可满意条件, m 的最小值为 8故答案为： 8点评：本 题考查正弦函数的图象和性质,考查分析问题和解决问题的才能,考查数学转化思想方法,正确懂得对任意xi,xj（i,j=1,2,3,m）,都有 |f（xi） f（xj）|f（ x）max f（x）min=2 是解答该题的关键,是难题二、挑选题（本大题共4 小题,满分21 分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸） 第 11 页,共 22 页 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5 分,否就一律零分.15（6 分）（2022.上海）设 z1、z2C,就 “ z1、z2均为实数 ”是“z1 z2是实数 ”的（A 充分非必要条件B 必要非充分条件细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -C充要条件 D既非充分又非必要条件考点 ：必 要条件、充分条件与充要条件的判定专题 ：简 易规律；数系的扩充和复数分析：根 据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判定即可解答：解 ：如 z1、z2 均为实数,就z1 z2 是实数,即充分性成立,当 z1=i,z2=i,满意 z1 z2=0 是实数,但 z1、z2均为实数不成立,即必要性不成立,故 “z1、z2 均为实数 ”是 “z1 z2 是实数 ”的充分不必要条件,应选： A点评：本 题主要考查充分条件和必要条件的判定,依据复数的有关概念是解决此题的关键16（5 分）（2022.上海）以下不等式中,与不等式2 解集相同的是（）A （x+8 ）（x2 +2x+3 ） 2 B x+82（x2+2x+3 ）CD考点 ：其 他不等式的解法专题 ：不 等式的解法及应用分析：依据 x2 2+2x+3=（x+1）+20,可得不等式2,等价于 x+8 2（ x2+2x+3 ）,从而得出结论解答：解： 由于 x2 2+2x+3= （x+1 ）+20,不等式22,等价于 x+82（ x+2x+3 ）,应选： B点评：本 题主要考查不等式的基本性质的应用,表达了等价转化的数学思想,属于基础题17（5 分）（2022.上海）已知点A 的坐标为（ 4,1）,将 OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至 OB,就点 B 的纵坐标为（）DA BC考点 ：任 意角的三角函数的定义专题 ：三 角函数的求值分析：根 据三角函数的定义,即可求出 xOA 的三角函数值, 利用两角和差的正弦公式进行求解解答：解 ：点A 的坐标为（ 4,1）,至 OB,=,cos=, 第 12 页,共 22 页 设 xOA= ,就 sin=将 OA 绕坐标原点O 逆时针旋转细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -就 OB 的倾斜角为+,就 |OB|=|OA|=,就点 B 的纵坐标为y=|OP|sin（+）=7（sincos+cossin）=7（× +）=+6=,应选： D点评：本 题主要考查三角函数值的运算,决此题的关键依据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解18（5 分）（2022.上海）设Pn（xn,yn）是直线 2x y=（nN*）与圆 x2+y2=2 在第一象限的交点,就极限=（）D2A 1 B C1考点 ：极 限及其运算专题 ：导 数的综合应用分析：当 n+时,直线 2x y=趋近于 2x y=1,与圆 x2+y2=2 在第一象限的交点无限靠近（ 1,1）,利用圆的切线的斜率、斜率运算公式即可得出解答：解：当 n+时,直线 2x y= 趋近于 2x y=1,与圆 x 2+y 2=2 在第一象限的交点无限靠近（ 1,1）,而 可看作点 Pn（xn, yn）与（ 1,1）连线的斜率,其值会无限接近圆 x2+y 2=2 在点（ 1,1）处的切线的斜率,其斜率为1= 1应选： A点评：本 题考查了极限思想、属于中档题圆的切线的斜率、 斜率运算公式, 考查了推理才能与运算才能,三、解答题（本大题共有5 题,满分 74 分）解答以下各题必需在答题纸相应编号的规定区 第 13 页,共 22 页 - - - - - - - - - 域内写出必要的步骤.19（12 分）（2022.上海）如图,圆锥的顶点为P,底面圆为O,底面的一条直径为AB ,C为半圆弧的中点, E 为劣弧的中点,已知PO=2,OA=1 ,求三棱锥P AOC 的体积,并求异面直线PA 和 OE 所成角的大小细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -考点 ：异 面直线及其所成的角专题 ：空 间角分析：由 条件便知 PO 为三棱锥 P AOC 的高,底面积 S AOC 又简洁得到,从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积依据条件能够得到 OE AC ,从而找到异面直线 PA,OE 所成角为 PAC,可取 AC 中点 H,连接 PH,便得到 PHAC ,从而可在Rt PAH 中求出 cos PAC,从而得到 PAC解答：解 ： PO=2,OA=1 ,OC AB ；的中点；E 为劣弧 BOE=45 °,又 ACO=45 °； OE AC ； PAC 便是异面直线 PA 和 OE 所成角；在 ACP 中, AC=,；如图,取 AC 中点 H,连接 PH,就 PHAC ,AH=；在 Rt PAH 中, cosPAH=；异面直线 PA 与 OE 所成角的大小为 arccos点评：考 查圆锥的定义,圆锥的高和母线,等弧所对的圆心角相等,能判定两直线平行,以及异面直线所成角的定义及找法、求法,能用反三角函数表示角细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -20（14 分）（2022.上海）已知函数f（x）=ax2+,其中 a 为常数（1）依据 a 的不同取值,判定函数f（x）的奇偶性,并说明理由；（2）如 a（1,3）,判定函数 f（x）在 1,2上的单调性,并说明理由考点 ：利 用导数争论函数的单调性；函数奇偶性的性质专题 ：函 数的性质及应用；导数的概念及应用分析：（ 1）依据函数的奇偶性的定义即可判定,需要分类争论；（ 2）依据导数和函数的单调性的关系即可判定解答：解：（1）当 a=0 时, f（x）=,明显为奇函数,当 a0 时, f（1）=a+1,f（1）=a 1,f（1） f （ 1）,且 f（1）+f（ 1）0,所以此时 f （x）为非奇非偶函数（ 2） a（1, 3）,f（x）=ax2+, f（x）=2ax=, a（1,3）,x1,2, ax1, ax31, 2ax3 1 0, f（x） 0,函数 f（x）在 1,2上的单调递增点评：本 题考查了函数的奇偶性和单调性,属于基础题21（14 分）（2022.上海） 如图, O,P,Q 三地有直道相通,OP=3 千米, PQ=4 千米, OQ=5千米,现甲、乙两警员同时从 O 地动身匀速前往 Q 地,经过 t 小时,他们之间的距离为 f（t）（单位：千米） 甲的路线是 OQ,速度为 5 千米 /小时,乙的路线是 OPQ,速度为 8 千米/小时,乙到达 Q 地后在原地等待设 t=t 1 时乙到达 P 地, t=t2 时乙到达 Q 地（1）求 t1 与 f（ t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米,当 t1tt2 时,求 f（t）的表达式,并判断 f（t）在 t 1,t2上的最大值是否超过 3？说明理由考 函数与方程的综合运用细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -点：专 函数的性质及应用题：分 析：解 答：（1）用 OP 长度除以乙的速度即可求得t1=,当乙到达P 点时,可设甲到达A 点,连接 AP,放在 AOP 中依据余弦定理即可求得AP,也就得出f（ t1）；（2）求出 t2=,设 t,且 t 小时后甲到达B 地,而乙到达 C 地,并连接 BC,能够用 t 表示出 BQ,CQ,并且知道cos,这样依据余弦定理即可求出BC,即 f（t）,然后求该函数的最大值,看是否超过3 即可解：（1）依据条件知,设此时甲到达A 点,并连接 AP,如下列图,就 OA=；在 OAP 中由余弦定理得,f（t1）=AP=,设 t 小时后,且=,甲到达了（千米）；（2）可以求得B 点,乙到达了C 点,如图所示：就 BQ=5 5t, CQ=7 8t；在 BCQ 中由余弦定理得,f（t）=BC=；细