2022年人教版高数选修-第讲：合情推理与演绎推理 .pdf

1 合情推理与演绎推理1.推理根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类. 2.合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步骤(1) 通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题 (猜想 ) (1)找出两类事物之间相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质， 得出一个明确的命题 (猜想 ) 3.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：“三段论”的结构大前提 已知的一般原理；小前提 所研究的特殊情况；结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断.“三段论”的表示大前提 M 是 P. 小前提 S是 M. 结论 S是 P. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2 题型一归纳推理例 1设 f(x)13x3，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明 . 思维启迪解题的关键是由f(x)计算各式，利用归纳推理得出结论并证明. 解f(0)f(1)1303131311313331233633，同理可得： f(1)f(2)33，f(2)f(3)33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x1x21 时，均为 f(x1) f(x2)33. 证明：设x1x21，f(x1)f(x2)131x3132x331x3 32x331x3 32x331x32x23321xx3 31x32x331x 32x233 31x32x2331x32x233 31x32x2 333. 思维升华(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围 . (2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用. (1)观察下列等式11 2349 3456725 4567891049 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 3 照此规律，第五个等式应为_. (2)已知 f(n)112131n(nN*)，经计算得f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，则有 _. 答案(1)567891011121381 (2)f(2n)n22(n2，nN*) 解析(1)由于 112,234932,345672552,456789104972，所以第五个等式为56789101112139281. (2)由题意得f(22)42，f(23)52，f(24)62，f(25)72，所以当 n2 时，有 f(2n)n22. 故填 f(2n)n22(n2，nN*). 题型二类比推理例 2已知数列 an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，则 amnnbmanm.类比等差数列 an的上述结论，对于等比数列bn( bn0，nN*)，若 bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn_. 思维启迪等差数列 an 和等比数列 bn 类比时， 等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算 . 答案nmdncm解析设数列 an的公差为 d，数列 bn的公比为 q. 因为 ana1(n1)d，bnb1qn1，amnnbmanm，所以类比得bmnnmdncm思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. (2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等. (3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；找对应元素的对应关系，如：两条边(直线 )垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 4 (1)给出下列三个类比结论： (ab)nanbn与(ab)n类比，则有 (ab)nanbn； loga(xy)logaxlogay 与 sin( )类比，则有sin( )sin sin ； (a b)2a22abb2与(ab)2类比，则有 (ab)2a22a bb2. 其中结论正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 (2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径ra2b22(其中 a，b 为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R_. 答案(1)B(2)a2b2c22解析(1) 错误， 正确. (2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径. 题型三演绎推理例 3已知函数f(x)aaxa(a0，且 a1). (1)证明：函数yf(x)的图象关于点 (12，12)对称；(2)求 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值. 思维启迪证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数yf(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上.小前提是 f(x)aaxa(a0 且 a1)的图象关于点(12，12)对称 . (1)证明函数 f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点 (12，12)对称的点的坐标为(1x，1y). 由已知得yaaxa，则 1y1aaxaaxaxa，f(1x)aa1xaaaaxaa axaa axaxaxa，1yf(1x)，即函数yf(x)的图象关于点 (12，12)对称 . (2)解由(1)知 1f(x)f(1x)，即 f(x)f(1x)1. f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1) 1. 则 f( 2)f( 1)f(0)f(1)f(2)f(3) 3. 思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 5 结论成立的充分条件作为大前提. 已知函数 yf(x)，满足：对任意a，bR，ab，都有 af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明： f(x)为 R 上的单调增函数. 证明设 x1，x2R，取 x1x1f(x2)x2f(x1)， x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0 ，f(x2)f(x1)(x2x1)0， x10，f(x2)f(x1). 所以 yf(x)为 R 上的单调增函数. 高考中的合情推理问题典例： (1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第 n 个三角形数为n n 1212n212n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分k 边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)12n212n，正方形数N(n,4)n2，五边形数N(n,5)32n212n，六边形数N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_. 思维启迪从已知的部分k 边形数观察一般规律写出N(n，k)，然后求N(10,24). 解析由 N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k 为偶数时， N(n，k)k22n24k2n， N(10,24)2422100424210 1 1001001 000. 答案1 000 (2)(5 分)若 P0(x0，y0)在椭圆x2a2y2b21(ab0)外，过 P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦 P1P2所在的直线方程是x0 xa2y0yb21，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线x2a2y2b2 1(a0， b0)外，过 P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 6 程是 _. 思维启迪直接类比可得 . 解析设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 P1，P2的切线方程分别是x1xa2y1yb21，x2xa2y2yb21. 因为 P0(x0，y0)在这两条切线上，故有x1x0a2y1y0b21，x2x0a2y2y0b21，这说明 P1(x1， y1)，P2(x2，y2)在直线x0 xa2y0yb21 上，故切点弦P1P2所在的直线方程是x0 xa2y0yb21. 答案x0 xa2y0yb21 (3)(5 分)在计算“ 1223 n(n1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：k(k1)13k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得1213(123012)，2313(234123)，n(n1)13n(n1)(n2)(n1)n(n1). 相加，得1223 n(n1)13n(n1) (n2). 类比上述方法，请你计算“123234 n(n1) (n2)”，其结果为_. 思维启迪根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证. 解析类比已知条件得k(k1)(k2)14k(k1)(k2)(k3)(k1)k(k1)(k2)，由此得 12314(12340123)，23414(23451234)，34514(34562345)，n(n1)(n2)14n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 7 以上几个式子相加得：123234n(n1)(n2) 14n(n1)(n2)(n3). 答案14n(n1)(n2)(n3) 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确. () (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. () (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. () (4)“所有 3 的倍数都是9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数”， 这是三段论推理，但其结论是错误的. () (5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN). () (6) 223223，338338，44154415，6ba6ba(a，b 均为实数 )，则可以推测a35，b6. () 2.数列 2,5,11,20，x,47，中的 x 等于() A.28 B.32 C.33 D.27 答案B 解析523,1156,20119，推出 x2012，所以 x32. 3.观察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，则 52 011的后四位数字为() A.3 125 B.5 625 C.0 625 D.8 125 答案D 解析553 125,5615 625,5778 125,58390 625,591 953 125 ，可得 59与 55的后四位数字相同， ，由此可归纳出5m4k与 5m(kN*，m5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 01145017，所以 52 011与 57后四位数字相同为8125，故选 D. 4.(2013陕西)观察下列等式121 1222 3 1222326 1222324210 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 8 照此规律，第n 个等式可为 _. 答案12223242 (1)n1n2(1)n1n n12解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(1)n1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，.设此数列为 an，则 a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即 an123nn n12.所以第n 个等式为 12223242 (1)n1n2(1)n1n n12. 5.设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列 .类比以上结论有设等比数列 bn的前 n 项积为 Tn，则 T4，_，_，T16T12成等比数列 . 答案T8T4T12T8解析对于等比数列，通过类比，有等比数列 bn的前 n 项积为 Tn，则 T4a1a2a3a4，T8a1a2a8，T12a1a2a12，T16a1a2a16，因此T8T4a5a6a7a8，T12T8a9a10a11a12，T16T12a13a14a15a16，而 T4，T8T4，T12T8，T16T12的公比为 q16，因此 T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列 . _ _ 基础巩固一、选择题1.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于() A.28 B.76 C.123 D.199 答案C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 9 解析观察规律，归纳推理. 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123. 2.定义一种运算“* ”：对于自然数n 满足以下运算性质：(1)1*1=1 ， （2） （n+1）*1= n*1+1，则 n*1 等于() A.nB.n1 C.n1 D.n2答案A 解析由(n1)*1n*11，得 n*1(n1)*11(n2)*121*1+( n1). 又1*1=1 ， n*1n3.下列推理是归纳推理的是() A.A，B 为定点，动点P满足 |PA|PB|2a|AB|，则 P 点的轨迹为椭圆B.由 a11，an3n1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和 Sn的表达式C.由圆 x2y2r2的面积 r2，猜想出椭圆x2a2y2b21 的面积 S abD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案B 解析从 S1，S2，S3猜想出数列的前n 项和 Sn，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选 B. 4.已知 ABC 中， A30 ， B60 ，求证： ab. 证明： A30 ， B60 ， AB. a0)， 且 f1(x)f(x)xx2， 当 nN*且 n2时， fn(x) ffn1(x)， 则 f3(x)_，猜想 fn(x)(nN*)的表达式为 _. 答案x7x8x2n1 x2n解析f1(x)xx2，fn(x)ffn1(x)(n2)， f2(x)f(xx2)xx2xx22x3x4. f3(x) ff2(x) f(x3x4)x3x4x3x42x7x8. 由所求等式知，分子都是x，分母中常数项为2n，x 的系数比常数项少1，为 2n1，故 fn(x)x2n1 x2n. 8.在平面几何中，ABC 的内角平分线CE 分 AB 所成线段的比为AEEBACBC，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD 中(如图所示 )，平面 DEC 平分二面角ACDB 且与 AB 相交于点E，则类比得到的结论是 _. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 11 答案BEEASBCDSACD解析易知点 E 到平面 BCD 与平面 ACD 的距离相等，故VEBCDVEACDBEEASBCDSACD. 三、解答题9.已知等差数列 an 的公差 d2，首项 a15. (1)求数列 an的前 n 项和 Sn；(2)设 Tnn(2an5)，求 S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与 Tn的大小规律 . 解(1)由于 a15，d2， Sn 5nn n122n(n4). (2)Tnn(2an5)n2(2 n3)54n2n. T15，T2 422218，T3432339，T4 442468，T54525105. S15，S22(24)12，S33(34)21，S44(44)32，S55(54)45. 由此可知S1T1，当 n2 时，SnTn. 归纳猜想：当n1 时，SnTn；当 n2，nN 时， Sn0? ab”类比推出“若a，bC，则 ab0? ab”. 其中类比结论正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 答案C 解析 正确， 错误.因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小. 2.设是 R 的一个运算， A 是 R 的非空子集 .若对于任意a，bA，有 abA，则称 A 对运算封闭 .下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零 )四则运算都封闭的是() A.自然数集B.整数集C.有理数集D.无理数集答案C 解析A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭； D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭. 3.平面内有n 条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为 _. 答案n2n 22解析1 条直线将平面分成11 个区域； 2 条直线最多可将平面分成1(12)4 个区域； 3 条直线最多可将平面分成1(123)7 个区域； ，n 条直线最多可将平面分成1(123n)1n n12n2n22个区域 . 4.数列 an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1n2nSn(nN*).证明：(1)数列 Snn 是等比数列；(2)Sn14an. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 13 证明(1)an1Sn1Sn，an1n2nSn， (n 2)Snn(Sn1Sn)，即 nSn12(n1)Sn. 故Sn1n12Snn，(小前提 ) 故 Snn 是以 2 为公比， 1 为首项的等比数列. (结论 ) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知Sn1n14Sn1n1(n2)， Sn14(n1) Sn1n14n12n1 Sn14an(n2). (小前提 ) 又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提 ) 对于任意正整数n，都有 Sn14an. (结论 ) 5.对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)， 给出定义：设 f(x)是函数 yf(x)的导数，f(x)是 f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点 (x0，f(x0)为函数 yf(x)的“拐点”. 某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心 .若 f(x)13x312x23x512，请你根据这一发现，(1)求函数 f(x)13x312x23x512的对称中心；(2)计算 f(12 013)f(22 013)f(32 013)f(42 013) f(2 0122 013). 解(1)f(x)x2x3，f(x)2x1，由 f(x)0，即 2x10，解得 x12. f(12)13(12)312(12)23125121. 由题中给出的结论，可知函数f(x)13x312x23x512的对称中心为 (12，1). (2)由(1)，知函数f(x)13x312x23x512的对称中心为 (12，1)，所以 f(12x)f(12x)2，即 f(x)f(1x)2. 故 f(12 013) f(2 0122 013)2，f(22 013)f(2 0112 013)2，f(32 013)f(2 0102 013)2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 14 f(2 0122 013)f(12 013)2. 所以 f(12 013)f(22 013) f(32 013)f(42 013)f(2 0122 013)1222 0122 012. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -