2022年中考数学专题几何三大变换问题之轴对称问题.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -专题 20 几何三大变换问题之轴对称（折叠）问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换；由一个平面图形变为另一个平面 图形,并使这两个图 形关于某一条直线成轴对称,这样的图形转变叫做图形的轴对称变换；轴对称具有这样的重要性质：（ 1）成轴对称的两个图形全等；（ 2）假如两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线；中 考压轴题中轴对称 折叠 问题,包括有关三角形的轴对称性问题；有关四边形的轴对称性问题；有关圆的 轴对称性问题；有关利用轴对称性求最值问题；有关平面解析几何中图形的轴对称性问题；1.一.有关三角形的轴对称性问题E,F,连接 EF,交 AD于点 G,求证：如图, AD是 ABC的角平分线, DEAB,DFAC,垂足分别是点AD EF2.如图, 在 Rt ABC中, C=90 0, B=30 0,BC=2 3 ,点 D是 BC边上一动点（不与点B、C重合）,过点 D作 DE BC交 AB边于点 E,将 B沿直 线 DE翻折,点 B 落在射线 BC上的点 F处,当AEF为等腰三 角形时, BD的长为；AE细心整理归纳 精选学习资料 CFDB 第 1 页,共 13 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【答案】3 ；【考点】 翻折问题,轴对称的性质,锐角 形的判定,分类思想的应用；二. 有关四边形的轴对称性问题三角函数定义,特别角的三角函数值,勾股定理,等腰三角3. 如图是 3× 3 菱形格,将其中 两个格子涂黑,并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形,商定绕菱形 ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种,例中四幅图就视为同一种,就得到不同共有【】 A 4 种 B5 种 C6 种 D 7 种【答案】 B；【考点】 利用旋转的轴对称设计图案；【分析】 依据轴对称的定义及题意要求画出全部图案后即可得出答案：得到的不同图案有：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -共 5 个；应选 B；4.如图,ABC中,已知 BAC=45° , ADBC于 D,BD=2,DC=3,求 AD的长；小萍同学敏捷运用了轴对称学问,将图形进行翻折变换,奇妙地解答了此题；（1）分别以 AB、AC为对称轴,画出ABD、 ACD的轴对称图形,D、 C点的对称点分别为 E、F,延长 EB、FC相交于 G点,求证：四边形 AEGF是正方形；（2）设 AD=x,利用勾股定理,建立关于 x 的方程模型,求出 x 的值；【答案】（ 1）由翻折变换可得E ADB90° , EBBD2,CFCD3, F ADC 90° , AEAD,AF AD,再结合可得四边形 AEGF为矩形,再有 AEAFAD,即可证得结论； （ 2）6 【解析】据勾股定理即可列方程求得结果 . 在 Rt BGC中,x22x3252解得x 16,x 21（不合题意,舍去）ADx=6. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -考点：翻折变换,正方形的判定,勾股定理点评：解答此题的关键是娴熟把握翻折变换的性质：翻折前 后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形 . 5. 菱形 ABCD中, ABC=45 0,点 P 是对角线 BD上的任一点,点 P 关于直线 AB、AD、CD、BC的对称点分别是点 E、F、G、H, BE 与 DF相交于点 M,DG与 BH相交于点 N,证明 : 四边形 BMDN是正方形；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【答案】 四边形 ABCD是菱形, ABD=DBC=ADB=BDC； ABC=45 0,点 P关于直线 AB、AD、CD、BC的对称点分别是点 E、F、G、 H,0； MBN=MDN=90 0, MBC=MDB=45 BDM是等腰直角三角形； BMD=90 0,BM=DM；四边形 BMDN是正方形；【考点】 菱形的性质,轴对称的性质,正方形的判定,等腰直角三角形的判定和性质；三. 有关圆的轴对称性问题 6. 如图, 已知 O的直径 CD为 4,弧 AC的度数为 120° ,弧 BC的度数为 30° ,在直径 CD上作出点 P,使 BP+AP的值最小,如 BP+AP的值最小,就 BP+AP的最小值为；【答案】6 2 ；【考点】 圆的综合题,轴对称（最短路线问题）,弧、圆心角和圆周角的关系,等边三角形的性质,锐 角三角函数定义,特别角的三角函数值,相像三角形的判定和性质,配方法的应用；【分析】 如图,过 B 点作弦 BECD,连接 AE交 CD于 P 点,连接 PB,就点 P 即为使 BP+AP的值最小的 点；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -7.已知 A, B,C为 O上相邻的三个六等分点,点E 在劣弧 AC上 不与 A,B,C重合 ,EF为 O的直径,将 O沿 EF折叠,使点A 与 A 重合,点B 与 B 重合,连接EB , EC,EA ；设 EB=b,EC=c,EA=p；摸索究b,c, p 三者的数量关系；【 答案】 如图 1,如点 E 在弧 AB上,连接 AB、AC、 BC,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由题意,点 A、 B、C为圆上的六等分点,0AB=BC,ACB 1 360 30 0；2 6在等腰ABC中,过顶点 B 作 BNAC于点 N,就 AC=2CN=2BC.cos ACB=2cos30 0.BC,AC 3；BC连接 AE、BE,在 CE上取一点 D,使 ED=EA,连接 AD,c = p + 3b ；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - ABC= CED, ABC与 CED为顶角相等的两个等腰三角形； ABC CED；AC BCCD, ACB=DCE；EC ACB= ACD+BCD, DCE=BCE+BCD, ACD= BCE；在 ACD与 BCE中,AC BCCD, ACD=BCE, ACD BCE；ECDA EBAC；DAACEB3EB；BCBCEA=ED+DA=EC+3EB ；由折叠性质可知, p=EA=EA,b=EB=EB,c=EC；p=c+3b ；【考点】 圆 的综合题,折叠问题,圆周角定理,等腰三角形的性质,相像三角形的判定和性质,锐角 三角函数定义,分类思想的应用；【分析】 分点 E在弧 AB上和点 E在弧 BC上两种情形争论, 分别依据折叠的性质,综合应用圆周角定理,等腰三角形的性质,相像三角形的判定和性质,锐角三角函数定义求解即可；四.有关利用轴对称性求最值问题3,且 b 与 c 之间的距离为1,点 A 到直线 a 的距8.如图,已知直线a b c,且 a 与 b 之间的距离为离为 2,点 B 到直线 c 的距离为 3,AB=2 30 试在直线且 AM+MN+NB 的长度和最短,就此时AM+NB=【】a 上找一点 M,在直线 c 上找一点 N,满意 MNa细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A12 B10 C 8 D6 【答案】 C；【考点】 轴对称的应用（最短线路问题）,平行线之间的 距离,平行四边形的判定和性质,勾股定理；【分析】 MN表示直线 a 与直线 c 之间的距离,是定值,只要满意 AM+NB的值最小即可,如图,作点 A关于直线 a 的对称点 A ,连接 A B 交直线 c 与点 N,过点 N作 NM直线 a,连接 AM,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -9.已知抛物线C：yx2m1x1的顶点在坐标轴上（1）求m的值；c关于y轴对称,且C 1过（2）m0时,抛物线C向下平移nn0个单位后与抛物线C 1：yax2bx点n 3,求C 1的函数关系式；Q（3）3m0时,抛物线C的顶点为M,且过点P,1 y0问在直线x1上是否存在一点使得QPM的周长最小,假如存在,求出点Q的坐标,假如不存在,请说明理由【答案】解：当抛物线C的顶点在x轴上时m1240解得m1或m-3 1 分当抛物线C的顶点在y轴上时m10m1 2 分综上m1或m-3a1,b2,c1n 3 分抛物线C 1：yx22x1n4 分 第 10 页,共 13 页 C 1过点n 3,n3,即n2n20 n22n1解得n 1,1n 22（由题意n0,舍去）n1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -抛物线C 1：yx22x 5 分【解析】略五. 有关平面解析几何中图形的轴对称性问题10. 将矩形 OABC置于平面直角坐标系中,点 A 的坐标为（ 0,4）,点 C的坐标为（ m,0）（ m0）,点 D（m,1）在 BC上,将矩形 OABC沿 AD折叠压平,使点 B 落在坐标平面内,设点 B 的对应点为点 E,当 ADE是等腰直角三角形时,m= ,点 E 的坐标为；【答案】 3；（0,1）；【考点】 折叠问题,矩形的性质,折叠的对称性质,正方形的判定和性质；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -11.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c（a 0）的顶点坐标为（4,2 3）,且与 y 轴交于点C（0,2 ）,与x 轴交于 A, B 两点（点 A在点 B 的左边）；（1）求抛物线的解析式及A, B两点的坐标；P,使 AP+CP的值最小？如存在,求AP+CP的最小值,如（2）在（ 1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点不存在,请说明理由；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）存在；如图,由（ 1）知：抛物线的对称轴 l 为 x=4,由于 A、B 两点关于 l 对称,连接CB交 l 于点 P,就 AP=BP,所以 AP+CP=BC的值最小；B（6,0）,C（0,2）, OB=6,OC=2； BC=2 10 ；AP+CP=BC=210 ；AP+CP的最小值为 2 10 ；【考点】 二次函数综合 题,待定系数法的应用,曲线上点的坐标与方程的 关系 ,二次函数的性质,轴对称的应用（最矩线路问题）,勾股定理； 第 13 页,共 13 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -