2022年中考数学压轴题型研究.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 中考数学压轴题型争论动态问题动态几何问题是近几年北京市中考数学和各区模拟考试中压轴题的一大热 点和难点, 考察的学问点特别多, 几乎涉及到代数和几何的各个学问点,如坐标 系中的运算,一次函数和二次函数的图象和性质,全等三角形,相像三角形,平 移、翻折、旋转三种几何变换等等； 对同学对学问的娴熟运用以及弄清本质下进行迁移和转化的才能要求特别高,同时,对函数与方程、 分类争论和数形结合三大数学思想的考查也是必考的内容； 由于这种问题既留意对常见学问点的考查又能表达同学思维和才能上的区分,所以一般都在压轴题的位置显现；许多同学也对这类问题比较头疼,感觉很难把握要领,真正取得突破；新年华数学教研组的各位老师经过长期的深化争论,发觉了其内在的规律,最终我们给出这类问题的一套解决方案,难题；从而帮忙许多初三同学完全克服了这类这套方案的内容可以这么表述：一个方针,两种思想,三个关键点；一个方针就是“ 以静制动”,不管题目中是点在动仍是线在动甚至是一个几何图形在动,每个问题的解决都是某种静态的情形,只要把这种情形分析清晰,做出相应图形,利用自己把握的代数和几何的学问进行求解就行了；两种思想是分类争论思想和函数与方程的思想,先说分类争论, 在动态问题中一般有两种分类的类型, 一种是存在性问题, 此时要依据几何图形本身的性质 和特点进行分类, 比如等腰三角形就按哪个是顶角分成三类,平行四边形按谁和 谁是对边进行分类；一种是函数关系类问题, 一般依据运动的不同阶段进行分类,常见的是求某个图形的面积和变量之间的函数关系；再说函数与方程的思想, 动态题的本质就是含字母的运算题, 只要找到跟要求目标相关的等量关系然后写出 方程（组）进行求解即可；三个关键点是：审题（看清问题中运动的起始位置,何时终止,是在直线上 仍是线段上运动等）、作图（每一种情形都要分别作图） 、标图（把题目中的基本 数量和各种位置关系标清晰,特殊是特殊的角度和特殊的数量和位置关系）另外,作为综合题, 一般会分成好几问, 把握好特殊和一般情形之间的联系和区分也是解题中特殊要留意的地方；一般第一问会比较简洁, 但是对后面的问题会有肯定的提示和铺垫作用,要留意分析；下面结合详细问题进行分析；【例 1】（2022 北京中考 24 题）在ABCD中,过点 C作 CECD交 AD于点 E,将线段 EC绕点 E 逆时针旋转 90° 得到线段 EF（如图 1）.（1）在图 1 中画图探究：当 P 为射线 CD上任意一点（1P不与 C 点重合）时【审题时要留意这句话中的射线和 P 不与 C 点重合】,连结 EP ,将线段 EP 绕点 E 逆时针旋转 90° 得到线段 EG . 判定直线 FG 与直线 CD的位置关系并加以证明；名师归纳总结 当P 点为线段 DC的延长线上任意一点时, 连结EP ,将线段EP 绕点 E第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 逆时针旋转 90° 得到线段EG . 判定直线G G 与直线 CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论.SP FG 11 = y,求 y（2）如 AD=6,tanB4, AE =1,在的条件下,设CP =x,3与 x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范畴 .图 1 图 2（备用）【分析】这是 09 北京中考倒数其次题, 综合考查了几何中的三角形全等,平行四边形的性质,旋转变换,三角函数,以及面积问题；既要求具备对证明题的严密的推理才能,也要求对于较复杂运算题的处理才能；【参考答案和点评】 ：（1）直线FG 与直线 CD 的位置关系为相互垂直证明：如图 1【留意单独作图】,设直线FG 与直线 CD的交点为 H名师归纳总结 线段 EC 、EP 分别绕点 E逆时针旋转 90° 依次得到线段 EF 、EG ,图 1 第 2 页,共 9 页PEG 11CEF90,EG1EP , EFEC G EF 190PEF ,PEC 190PEF ,G EFPEC G EF P EC 【这里实质是旋转变换的一种基本模型】G FE 1PCE ECCD ,PCE 190G FE 190- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - EFH90FHC90G G 与直线 CD的位置关系为相互垂直FG CD按题目要求所画图形见图 1,直线（2） 四边形ABCD是平行四边形,BADC B4, AD=6,AE =1 ,tan3DE5,tanEDCtanB43可得CE=4 由（1）可得四边形 FECH为正方形 CH=CE=4【这里的函数关系跟动点的位置有关,所以要分不 同阶段进行分类争论】 如图 2【仍旧需要单独作图, 用以静制动的想法处理】,当1P 点在线段 CH的延长线上时,图 2 FG1CP 1x ,PH 1x4,SP FG 111FG1PHx x422y1x22x （x4）2 如图 3【仍旧需要单独作图, 用以静制动的想法处理】,当 P 点在线段 CH上（不与 C、H两点重合）时,名师归纳总结 FG11CP 1x ,PH 14x ,图 3 第 3 页,共 9 页SP FG 11FG1PHx4x 22y1x22x （0x4）2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当P 点与 H 点重合时,即x4时,P FG 不存在y1x2综上所述, y 与 x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范畴是2x （x4）2或y12 x2 x （0x4）2【 例 2 】（ 2022 北 京 中 考 24 题 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y中 , 抛 物 线ym12 x5mxm23 m2与 x 轴的交点分别为原点O 和点 A ,点B 2,n44在这条抛物线上（1） 求 B 点的坐标；（2） 点 P 在线段 OA 上,从 O 点动身向 A 点运动,过 P 点作 x 轴的垂线,与直线 OB 交于点 E ,延长 PE 到点 D ,使得 ED PE ,以 PD 为斜边,在PD 右侧作等腰直角三角形PCD（当 P 点运动时,C 点、D 点也随之运动） 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时, 求OP的长； 如 P 点从 O 点动身向 A 点作匀速运动,速度为每秒 1 个单位,同时线段OA上另一个点 Q 从 A 点动身向 O点作匀速运动,速度为每秒 2 个单位（当 Q 点到达 O 点时停止运动,P 点也同时停止运动）过 Q 点作 x 轴的垂线,与直线 AB 交于点 F ,延长 QF 到点 M ,使得 FM QF ,以 QM 为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形 QMN （当 Q 点运动时,M 点、 N点也随之运动）如 P 点运动到t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一名师归纳总结 条边恰好落在同一条直线上,求此刻t 的值第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【分析】这是 10 北京中考倒数其次题, 在平面直角坐标系的背景下考察动态问题,综合考查了一次函数和二次函数的图像和性质,等腰直角三角形,平移变换,含参数问题的运算；同时对于分类争论的思想的考查也是此题的重点；【参考答案和点评】：（1） 抛物线 y m 1x 2 5 mx m 23 m 2 经过原点,4 4m 23 m 2 0解得 m 1 1,m 2 2由题意知 m 1,【留意审题,不要忘了 a 0】m 2 抛物线的解析式为 y 1x 2 5 x 4 2 点 B 2, 在抛物线 y 1 x 2 5 x 上,4 2n 4B 点的坐标为 2 4, （2） 设直线OB的解析式为 y k x 求得直线OB的解析式为 y 2 x A 点是抛物线与 x 轴的一个交点,可求得 A 点的坐标为 10 0, 设 P 点的坐标为 a,0,就 E 点的坐标为 a,2 依据题意作等腰直角三角形 PCD ,如图 1【该作图时肯定要作图】可求得点C的坐标为 3 a,2 由 C 点在抛物线上,得 2 a 13 2 53 a 4 2即 9 a 2 11 a 04 2解得 a 1 22,a 2 0（舍去）9 图 1 OP 229【留意点的坐标和函数解析式以及线段长度之间的相互转化】 依题意作等腰直角三角形QMN y1x5设直线 AB 的解析式为yk xb 由点A10, ,点B2 4,求得直线 AB 的解析式为2当 P 点运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情形：【依据几何关系进行分类争论,由于题中对于哪条边共线没有明确指出,所以要分三种情形进行争论】名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第一种情形：CD与 NQ 在同一条直线上, 如图 2 所示【单独作图,以静制动】可证 DPQ 为等腰直角三角形此时OP、DP、AQ 的长可依次表示为 t、4 t、2t 个单位PQ DP 4 t 图 2 t 4 t 2 t 10t 107其次种情形：PC与MN在同一条直线上,如图 3 所示可证 PQM 为等腰直角三角形此时OP、AQ 的长可依次表示为 t、2t 个单位OQ 10 2 t F 点在直线 AB 上,图 3 FQ t MQ 2 t PQ MQ CQ 2 t t 2 t 2 t 10t 2第三种情形：点 P、Q 重合时, PD、 QM 在同一条直线上,如图4 所示此时 OP、AQ 的长可依次表示为 t、2t 个单位t 2 t 10t 103综上,符合题意的 t 值分别为10, ,2 107 3图 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【 小 试 身 手 】（09济南 中考）如图,在梯形ABCD中,ADBC,AD3,DC5,AB4 2,B45动点M从B点动身沿线段BC以D C 每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动； 动点N同时从C点动身沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（1）求BC的长（2）当MNAB时,求t的值（3）摸索究：t为何值时,MNC为等腰三角形【参考答案】 ：（ 1）如图,过A、D分别作AKBC于K,DHBC于H,就四边形ADHK是矩形KHAD3在RtABK中,AKABsin 452 4 224BKABcos454 2242在RtCDH中,由勾股定理得,HC522 43BCBKKHHC43310（2）如图,过D作DGAB交BC于G点,就四边形ADGB是平行四边形MNABMNDG3A BGADGC1037H 由题意知,当M、N运动到t秒时,CNt,CM102 tDGMNNMCDGCB K 又CC（图）MNCGDCD C CNCMA CDCGN 即t1072 tB G M 5解得,t50（图）17（3）分三种情形争论：名师归纳总结 当NCMC时,如图,即t102t第 7 页,共 9 页t103- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A D A D B MNM N C NEB 于E（图）M N C H E 当（图）N作MCNC时,如图,过解法一：由等腰三角形三线合一性质得ECt1MC1 10 22t5t2在RtCEN中,coscEC5tNC3又在RtDHC中,coscCHCD55tt35解得t258解法二：C ,DHCNEC90MFCN于F点.FC1NC1tNECDHCtNCEC即t53DCHC5作t258时,如图,过M当MNMC22解法一：（方法同中解法一）cos CFC1t3解得t60B A H D N F 2MC2 t517M 10解法二：DHC90C ,MFCC MFCDHC（图）名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - FCMC即1 2t1052 tt60HCDC173名师归纳总结 综上所述,当t10、t25或t60时,MNC为等腰三角形第 9 页,共 9 页3817- - - - - - -