2022年八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 初二数学第十一章全等三角形综合复习切记：“ 有三个角对应相等” 和“ 有两边及其中一边的对角对应相等” 的两个三角形不肯定全等；例 1.如图,A F E B 四点共线,ACCE , BDDF , AEBF , ACBD ；求证：ACFBDE ；思 路 ： 从 结 论A C FB D E入 手 , 全 等 条 件 只 有A C B D；由 AE BF 两边同时减去 EF 得到 AF BE ,又得到一个全等条件；仍缺少一个全等条件,可以是 CF DE ,也可以是 A B ；由条件 AC CE ,BD DF 可得 ACE BDF 90,再加上 AE BF ,AC BD ,可以证明 ACE BDF ,从而得到 A B ；证明 AC CE , BD DFACE BDF 90在 Rt ACE 与 Rt BDF 中AEBFRt BDF HL BEACBD Rt ACEABBFEF ,即 AFAEBFAEEF在ACF 与BDE 中AFBEBDE SAS ABACBDACF摸索 ：此题的分析方法实际上是“ 两头凑” 的思想方法：一方面从问题或结论入手,看仍需要什么条件；另一方面从条件入手,看可以得出什么结论；再对比“ 所需条件” 和“ 得出结论” 之间是否吻合或具有明显的联系,从而得出解题思路；小结： 此题不仅告知我们如何去查找全等三角形及其全等条件,一个题目,得出解题思路；而且告知我们如何去分析名师归纳总结 例 2.如图,在ABC 中, BE 是 ABC的平分线,ADBE,垂足为D；求证：第 1 页,共 9 页21C ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 思路：直接证明21C 比较困难, 我们可以间接证明, 即找到,证明2且 1 C ；也可以看成将 2 “ 转移” 到；那么 在哪里呢？角的对称性提示我们将 AD 延长交 BC 于 F ,就构造了FBD ,可以通过证明三角形全等来证明2=DFB,可以由三角形外角定理得DFB= 1+C；证明 ：延长 AD 交 BC 于 F在ABD 与FBD 中ABD1FBD ASA 2DFBABDFBDBDBD又ADBFDB902C ；DFB1C摸索 ：由于角是轴对称图形,所以我们可以利用翻折来构造或发觉全等三角形；例 3. 如图,在 ABC 中, AB BC ,ABC 90；F 为 AB 延长线上一点, 点 E 在 BC 上,BE BF ,连接 AE EF 和 CF ；求证： AE CF ；思路： 可以利用全等三角形来证明这两条线段相等,关键是要找到这两个三角形；以线段AE 为边的ABE 绕点 B 顺时针旋转90 到CBF 的位置,而线段CF 正好是CBF 的边,故只要证明它们全等即可；证明 ：ABC 90, F 为 AB 延长线上一点ABC CBF 90在 ABE 与 CBF 中AB BCABC CBFBE BFABE CBF SAS AE CF ；摸索 ：利用旋转的观点,不但有利于查找全等三角形,而且有利于找对应边和对应角；小结： 利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法,但有时不简单找到需证明的三角形；这时我们就可以依据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来查找或利用帮助线构造全等三角形；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4. 如图, AB / CD , AD / BC ,求证： AB CD ；思路： 关于四边形我们知之甚少,通过连接四边形的对角线,可以把原问题转化为全等三角形的问题；证明 ：连接 ACAB / CD , AD / BC1 2 ,3 4在 ABC与 CDA中1 2AC CA4 3ABC CDA ASA AB CD ；摸索 ：连接四边形的对角线,是构造全等三角形的常用方法；例 5. 如图,AP CP 分别是 ABC 外角 MAC 和 NCA 的平分线,它们交于点 P ；求证：BP为 MBN 的平分线；思路： 要证明“BP为 MBN 的平分线” ,可以利用点 P 到 BM BN 的距离相等来证明,故应过点 P 向 BM BN 作垂线；另一方面,为了利用已知条件“AP CP 分别是 MAC 和NCA 的平分线” ,也需要作出点 P 到两外角两边的距离；证明 ：过 P 作 PD BM 于 D , PE AC 于 E , PF BN 于 FAP 平分 MAC , PD BM 于 D , PE AC 于 EPD PECP 平分 NCA , PE AC 于 E , PF BN 于 FPE PFPD PE , PE PFPD PFPD PF ,且 PD BM 于 D , PF BN 于 FBP 为 MBN 的平分线；摸索 ：题目已知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时,常过角平分线上的一点向角的两边作垂线,利用角平分线的性质或判定来解答问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6. 如图, D 是ABC 的边 BC 上的点,且 CDAB ,ADBBAD,AE是ABD的中线；求证：AC2AE ；2AE的线段,然后证其等于AC ；因思路： 要证明“AC2AE ” ,不妨构造出一条等于此,延长 AE 至 F ,使 EF AE ；证明 ：延长 AE 至点 F ,使 EF AE,连接DF在 ABE与 FDE中AE FEAEB FEDBE DEABE FDE SAS B EDFADF ADB EDF ,ADC BAD B又 ADB BADADF ADCAB DF , AB CDDF DC在 ADF 与 ADC 中AD ADADF ADCDF DCADF ADC SAS AF AC又 AF 2 AEAC 2 AE ；摸索 ：三角形中倍长中线,可以构造全等三角形,明两条直线平行；继而得出一些线段和角相等,甚至可以证名师归纳总结 例7. 如 图 , 在ABC 中 , A BA C,12,P为AD上 任 意 一 点 ； 求 证 ：第 4 页,共 9 页ABACPBPC ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 原图法一图法二图思路： 欲证 AB AC PB PC ,不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明；由于结论中是差, 故用两边之差小于第三边来证明,从而想到构造线段 AB AC ；而构造 AB AC可以采纳“ 截长” 和“ 补短” 两种方法；证明 ：法一：在 AB 上截取 AN AC ,连接 PN在 APN 与 APC 中AN AC1 2AP APAPN APC SAS PN PC在 BPN 中, PB PN BNPB PC AB AC ,即 AB AC>PB PC；法二：延长 AC 至 M ,使 AM AB ,连接 PM在 ABP 与 AMP 中AB AM1 2AP APABP AMP SAS PB PM在 PCM 中, CM PM PCAB AC PB PC ；摸索 ：当已知或求证中涉及线段的和或差时,一般采纳“ 截长补短” 法；详细作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段,称为“ 截长”；或者将一条较短线段延长,使其等于另外的较短线段,然后证 明这两条线段之和等于较长线段,称为“ 补短”；小结： 此题组总结了本章中常用帮助线的作法,以后随着学习的深化仍要连续总结；我 们不光要总结帮助线的作法,仍要知道帮助线为什么要这样作,这样作有什么用处；同步练习 一、挑选题：名师归纳总结 1. 能使两个直角三角形全等的条件是 第 5 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等2. 依据以下条件,能画出唯独 ABC 的是 A. AB 3,BC 4,CA 8 B. AB 4,BC 3,A 30C. C 60,B 45,AB 4 D. C 90,AB 63. 如图,已知 1 2, AC AD ,增加以下条件： AB AE ； BC ED ；C D ； B E ；其中能使 ABC AED 的条件有 A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个4. 如图,1 2 ,C D ,AC BD 交于 E 点,以下不正确选项 A. DAECBEAD ,B23B. CEDEC. DEA 不全等于CBED. EAB 是等腰三角形5. 如图,已知ABCD , BC,就D 等于 A. 67B. 46C. 23D. 无法确定二、填空题：6. 如 图 , 在 ABC 中 ,C 90,ABC 的 平 分 线 BD 交 AC 于 点 D , 且C D : A D 2 : 3,AC 10 cm ,就点 D 到 AB 的距离等于 _ cm ；7. 如 图 , 已 知 AB DC , AD BC ,E F 是 BD 上 的 两 点 , 且 B E D F , 如名师归纳总结 AEB100,ADB30,就BCF_；第 6 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8. 将 一 张 正 方 形 纸 片 按 如 图 的 方 式 折 叠 ,BC BD 为 折 痕 , 就CBD 的 大 小 为_；9. 如图,在等腰Rt ABC 中,C90, ACBC , AD 平分BAC 交 BC 于 D ,DE AB 于 E ,如 AB 10,就 BDE 的周长等于 _；10. 如图,点 D E F B 在同一条直线上,AB / CD , AE / CF ,且 AE CF ,如BD10,BF2,就 EF_；三、解答题：名师归纳总结 11. 如图,ABC 为等边三角形, 点M N 分别在BC AC 上,且 BMCN ,AM 与 BN第 7 页,共 9 页交于 Q 点；求AQN 的度数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12. 如图,ACB90,ACBC ,D 为 AB 上一点, AECD ,BFCD ,交 CD名师归纳总结 延长线于 F 点；求证： BFCE ；第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同步练习的答案一、挑选题：1. A 2. C 3. B 4. C 5. C 二、填空题：6. 4 7. 708. 909. 10 10. 6 三、解答题：名师归纳总结 11. 解：ABC 为等边三角形60ABQNBC60；第 9 页,共 9 页ABBC ,ABCC在ABM 与BCN 中CDABBCABCCBMCNABMBCN SAS NBCBAMAQNABQBAM12. 证明：AECD , BFFAEC90ACECAE90ACB90ACEBCF90CAEBCF在ACE 与CBF 中FAECCAEBCFACBCACECBF AAS BFCE ；- - - - - - -