2022年中考数学压轴题函数相似三角形问题二.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2022 中考数学压轴题函数相像三角形问题 二 例 3 如图 1,已知梯形 OABC,抛物线分别过点 O（0,0）、 A（2,0）、 B（6, 3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC的上下底边所在的直线OA、CB 以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1,得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为 S,A1、 B1 的坐标分别为 x1,y1、 x2,y2用含 S的代数式表示 x2x1,并求出当 S=36 时点 A1 的坐标；（3）在图 1 中,设点 D 的坐标为 1 ,3 ,动点 P 从点 B 动身,以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动,动点 Q 从点 D 动身,以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动 P、Q 两点同时动身,当点 Q 到达点 M 时, P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t,是否存在某一时刻 t ,使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相像？如存在,恳求出 t 的值；如不存在,请说明理由图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“10 义乌 24” ,拖动点 I 上下运动,观看图形和图像,可以体验到, x2x1 随 S的增大而减小双击按钮“ 第（3）题” ,拖动点 Q 在 DM 上运动,可以体验到,假如思路点拨GAF GQE,那么 GAF与 GQE相像名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载用 x1,x2 表示 S再1第（ 2）题用含 S的代数式表示x2x1,我们反其道而行之,留意平移过程中梯形的高保持不变,即y2y13通过代数变形就可以了2第（ 3）题最大的障碍在于画示意图,在没有运算结果的情形下,无法画出精确的位置关系,因此此题的策略是先假设,再说理运算,后验证3第（ 3）题的示意图,不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变,直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ的斜率,因此假设直线 PQ与 AB 的交点 G在 x 轴的下方,或者假设交点 G在 x 轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线 x 1,解析式为 y 1 x 2 1 x,顶点为 M（1,1）8 4 8（2） 梯形 O1A1B1C1 的面积 S 2 x 1 1 x 2 13 x 1 x 2 6,由此得到2s 1 2 1 1 2 1x 1 x 2 2由于 y 2 y 1 3,所以 y 2 y 1 x 2 x 2 x 1 x 1 3整理,得3 8 4 8 4 x 2 x 1 1 x 2 x 1 13因此得到 x 2 x 1 728 4 Sx 2 x 1 14, x 1 6,当 S=36 时,解得 此时点 A1 的坐标为（ 6,3）x 2 x 1 2. x 2 8.（3）设直线 AB 与 PQ交于点 G,直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E,直线 PQ与x 轴交于点 F,那么要探求相像的GAF与 GQE,有一个公共角G在 GEQ中, GEQ是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角,为定值在 GAF中, GAF是直线 AB 与 x 轴的夹角,也为定值,而且GEQ GAF因此只存在 GQE GAF的可能,PQDGQE GAF这时 GAF GQE名师归纳总结 由于tanGAF3, tanPQDDQ5tt,所以3 45tt解得t20第 2 页,共 6 页4QP7- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载图 3 图 4 考点舒展第（ 3）题是否存在点G 在 x 轴上方的情形？如图4,假如存在,说理过程相同,求得的 t 的值也是相同的事实上,图 接近图 3例 4 3 和图 4 都是假设存在的示意图,实际的图形更名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载22mxn 上如图 1,已知点 A - 2,4 和点 B 1 ,0都在抛物线ymx（1）求 m、n；（2）向右平移上述抛物线,记平移后点A 的对应点为 A,点 B 的对应点为 B,如四边形 A ABB 为菱形,求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB 的交点为 C,试在 x 轴上找一个点D,使得以点 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 相像图 1 动感体验请打开几何画板文件名“10 宝山 24” ,拖动点 A向右平移,可以体验到,平移 5个单位后,四边形 A ABB 为菱形再拖动点 D 在 x 轴上运动,可以体验到,BCD与 ABC 相像有两种情形思路点拨1点 A 与点 B 的坐标在 3 个题目中到处用到,各具特色第（1）题用在待定系数法中；第（ 2）题用来运算平移的距离；第（3）题用来求点 B 的坐标、 AC 和 BC 的长2抛物线左右平移,变化的是对称轴,开口和外形都不变3探求ABC与 BCD 相像,依据菱形的性质,BAC CBD,因此依据夹角的两边对应成比例,分两种情形争论满分解答名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2mxn 上,所以1 由于点 A - 2, 4 和点 B 1,0 都在抛物线ymx24m4mn4,解得m4,n4A ABB 为菱,所以原抛m2mn0.32 如图 2,由点 A - 2,4 和点 B 1,0 ,可得 AB5由于四边形形,所以 A A BB AB5由于y4x28x44x12163333物线的对称轴x 1 向右平移 5 个单位后,对应的直线为x4因此平移后的抛物线的解析式为y,4x421633图 2 3 由点 A - 2,4 和点 B 6, 0,可得 A B 4 5 AC如图 2,由 AM/ CN,可得B NB C,即2 8B C 解得 4 5B C5所以B MB A3 5依据菱形的性质,在ABC与 BCD 中, BAC CBD如图 3,当ABB C时,55,解得B D3此时 OD3,点 D 的ACB D3 5B D坐标为（ 3,0）名师归纳总结 如图 4,当AB ACB D时,5B D ,解得 5B D5此时 OD13 3,点 D第 5 页,共 6 页B C3 53的坐标为（13 3,0）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 3 学习好资料欢迎下载图 4 考点舒展在此题情境下,我们仍可以探求BCD与 AB B相像,其实这是有公共底角的两个等腰三角形,简单想象,存在两种情形我们也可以争论BCD与 CB B相像, 这两个三角形有一组公共角B,依据对应边成比例,分两种情形运算名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
