2022年八年级数学竞赛试卷 4.pdf

八年级数学竞赛试卷第 2 试(考试时间： 2010 年 12 月 18 日 930 11 30) 题号15 610 11 12 13 总分得分评卷人复评人一选择题（每小题6 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1有两堆数量相同的棋子第一堆全为白色，第二堆全为黑色现在从第一堆中取出若干个白棋子， 将其放入第二堆中，充分混合后， 从第二堆棋子中随机取出同样多的棋子（棋子中可能有黑有白）放到第一堆中，此时两堆棋子的数量又相同了，则下列说法正确的是（）A此时第一堆中黑棋子的数量大于第二堆中白棋子的数量B此时第一堆中黑棋子的数量等于第二堆中白棋子的数量C此时第一堆中黑棋子的数量小于第二堆中白棋子的数量D此时第一堆中黑棋子的数量与第二堆中白棋子的数量，两者大小关系无法确定2盒中原有8 个小球，一位魔术师从中任意取几个小球，把每一个小球都变成了8 个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了8 个小球后放回盒中，如此进行到某一时刻魔术师停止取变球时，盒中球的总数可能是（）A2003 个B2004 个C2005 个D2006 个3某个游泳池有2 个进水口和一个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图1 所示，出水口的出水量与时间的关系如图2 所示，某天早上5 点到 10 点，该游泳池的蓄水量与时间的关系如图3 所示在下面的论断中：5 点到 6 点，打开进水口，关闭出水口；6 点到 8 点，同时关闭两个进水口和一个出水口；8 点到 9 点，关闭两个进水口，打开出水口；10 点到 11 点，同时打开两个进水口和一个出水口可能正确的是（）图 1 图 2 图 3 学校姓名准考证号密封线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - ABCD4如图，等腰直角三角形ABC 中，ACB=90，在斜边AB 上取两点 M、N，使 MCN=45设 MN=x，BN=n，AM=m ，则以x、m、n 为边的三角形的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D随 x、m、n 的值而定5一根长 30 厘米、宽 3 厘米的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，MA 的长应为（） A7.5 厘米B9 厘米C10.5 厘米D12 厘米二填空(每小题 6 分，共 30 分) 6如图，已知ABC 是一个等边三角形，它的边AB 长为 3，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的三等分点，则DEF 的边长为。7魔术师要求一个游戏参加者想好一个三位数abc，然后调换所想三位数的数字顺序，得到5 个数,cbacabbcabacacb并求出这 5 个数的和N。魔术师声称，只要游戏者告诉他N 的大小，他就能知道游戏参加者所想的数abc是多少。如果N=2630 ，那么abc的值可能是8某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客每购买100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（图中未标注的都为白色区域），顾客就可以分别获得100 元、 50 元、 20 元的购物券，凭此券可以在该商场继续购物。如顾客不愿意参加摇奖，可以直接获赠购物券10 元。如果有足够多次的机会参加活动，你愿意参加摇奖还是直接获赠购物券，哪种方式更合算，说明理由：9已知 abab（a1） ，则等式2xx5 中的 x= 10桌上有五枚硬币，每次操作，选择其中4个硬币并将它们翻转过来，即如果原来含国徽的一面朝上，将盖面朝下，原来含国徽的一面朝下，将该面朝上。如果开始的时候，五枚硬币有国徽的一面都朝上，你能经过若干次操作将这些硬币都翻转过来吗？如能，写出你的翻转过程，如不能，说明理由：。NMCBA_ P_ M_ B_ AFEDCBA绿绿绿黄绿黄红名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 三解答题（第11、12 題各 15 分， 13 題 30 分，共 60 分）11某租赁公司共有50 台联合收割机，其中甲型20 台，乙型 30 台现将这50 台联合收割机派往 A、B 两地收割小麦，其中30 台派往 A 地， 20 台派往 B 地两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：甲型收割机的租金乙型收割机的租金A 地1800 元/台1600 元/台B 地1600 元/台1200 元/台（1）设派往 A 地 x 台乙型联合收割机，租赁公司这50 台联合收割机一天获得的租金为y（元），请用 x 表示 y，并注明 x 的范围（2）若使租赁公司这50 台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600 元，说明有多少种分派方案，并将各种方案写出学校姓名准考证号密封线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 12对于任意线段AB ，可以构造以AB为对角线的矩形ACBD 。连接 CD ，与 AB交于 A1点，过A1作 BC的垂线段 A1C1，垂足为 C1；连接 C1D，与 AB交于 A2点，过 A2作 BC的垂线段A2C2，垂足为 C2；连接 C2D，与 AB交于 A3点，过 A3作 BC的垂线段A3C3，垂足为C3，如此下去，可以依次得到点A4，A5， An.如果设 AB的长为 1，则（1）A1B，A2B，A3B的长依次是多少？你是怎么得到的，写出你的过程。（2）一般地，你能猜想出AnB的长（用 n 的代数式表示）吗？并说明你猜想的正确性。ADCB C1C2C3A1A2A3A4名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 13如图的格点图中，每行（列）相邻两个格点之间都相距1 个长度单位。（1）如图，格点 C 与格点 A、B 构成的三角形ABC 的面积是2，还有一些格点与格点A、B 构成的三角形面积也是2，请找出所有这样的格点，并在图上标示出来。（2）有些格点与格点A、B 可以构成等腰三角形ABD ，请你找出所有这样的格点D，并在图中标出。（3）问题（ 2）所得到的等腰三角形中有没有等边三角形？如有，将它们标示出来；如没有，思考：在下面的8*8 格点图中，是否存在以格点为顶点的等边三角形，如果存在，请标示出来，如果不存在，说明理由，一般地，对于任意大的格点图（如 100*100 个点的格点图） ，这个结论是否成立？为了说明方便，可以建立适当的坐标系，在坐标系中说明哟！学校姓名准考证号密封线BCABA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - （4）问题（ 2）所得到的等腰三角形中有没有以AB 为腰的等腰直角三角形，有没有以AB 为底的等腰直角三角形？一般地，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在线段为腰的等腰直角三角形？如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有。在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形？如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2005 年宁波市蛟川杯初二数学竞赛试卷第2 试参考答案及评分意见一、选择题（每小题 6 分，共 30分）1B 2A 3 D 4 B 5C 二、填空题（每小题 6 分，共 30分）6372568参加摇奖更合算，因为大量次数摇奖的平均收益为100*5%+50*10%+20*20%=14，大于直接获得奖券的10 元。90 或 1/510不能。记国徽朝上的状态为1，朝下为 1，每次操作改变4 个数字的符号，5 个数字的积不变。因此目标状态不可能由1 变为 1注意也可用奇数、偶数知识说明。三、解答题（ 60 分）11 （1）74000200 xy 7分3010 x 9分（2）三种方案，依次为x28，29，30 的情况 15分12 （1）A1B21 A2B=31 A3B41 ( 解答应有过程 ) 8分（2）AnB=11n 10分说理 ( 略) 15分13 （1）C1、C2、C3、C4，如图：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - CCBCCAC（2）D1、D2、D3、D4等 9 点，如图：DDDADDBDD13 分（3）问题（2）所得到的等腰三角形中没有等边三角形。在8*8 格点图乃至任意大的格点图中，都没有格点为顶点的等边三角形。说理方式很多， 如可以将其中一个顶点选为坐标原点，分析另外两个顶点坐标的奇偶性，分别给予排除；也可以将其中一个顶点选为坐标原点后，分别设另两个顶点的坐标为（ a,b ）,(c,d),证明 a2+b2=c2+d2=(a-c)2+(b-d)2无整数解。（4）问题（ 2）所得到的等腰三角形中有以AB为腰的等腰直角三角形，有以 AB为底的等腰直角三角形。一般地，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，一定存在以这两个格点所在线段 为腰 的等腰直角三角 形。 如果所给定两个 格点 的坐标为（a,b ） ,(c,d),符合条件的第 3 个点有几个，如其中一个可以是 （a+d-b,b+a-c ） 。在充分大的格点图中， 对于任意给定的两个格点， 不一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形。如果所给定两个格点的坐标为（a,b）,(c,d),只有当 a+d与 b+c具有相同的奇偶性时， 才存在以该两点所在线段为底的等腰直角三角形。 30分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -