2022年九年级圆的基础知识点、经典例题与课后习题3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 圆【学问梳理】1. 圆的有关概念和性质1 圆的有关概念圆：平面上到定点的距离 等于定长的全部点组成的图形叫做圆,其中定点为圆心,定长为半径弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,小于半圆的弧称为劣弧简称弧,大于半圆的弧称为优弧,弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径（2）圆的有关性质 圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图 形,对称中心为圆心垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧说明：依据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,假如具 备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所 对的劣弧；上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论；弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“ ” 表示,以 CD 为端点的弧记为“”,读作“ 圆弧 CD” 或“ 弧 CD”；半圆：直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；为了区分优弧和劣弧,优弧用三个字 母表示； 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中,假如两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等推论：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆 周角是直角； 90” 的圆周角所对的弦是直径等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆；等弧：在同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫做等弧；圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距 :从圆心到弦的距离叫做弦心距. （3）对圆的定义的懂得 ：圆是一条封闭曲线,不是圆面；圆由两个条件唯独确定：一是圆心（即定点） 2. 与圆有关的角,二是半径（即定长）（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角；圆心角的度数等于它所对的弧的 度数1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）圆周角：顶点在圆上,两边分别和圆相交的角,叫圆周角；圆周角的 度数等于它所对的弧的度数的一半（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一 半（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于 3. 点与圆的位置关系及其数量特点：假如圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d,就 点在圆上 <=> d=r; 点在圆内 <=> d<r; 点在圆外 <=> d>r. 它相邻内角的对角其中点在圆上的数量特点是重点,它可用来证明如干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等；4. 确定圆的条件 : 1. 懂得确定一个圆必需的具备两个条件 : 圆心和半径 ,圆心打算圆的位置 ,半径打算圆的大小 . 经过一点可以作很多个圆 ,经过两点也可以作很多个圆 ,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上 . 2. 经过三点作圆要分两种情形 : 1 经过同始终线上的三点不能作圆 . 2经过不在同始终线上的三点 ,能且仅能作一个圆 . 定理: 不在同始终线上的三个点确定一个圆 . 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念 : 1三角形的外接圆和圆的内接三角形 : 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆 ,这个三角形叫做圆的内接三角形 . 2三角形的外心 : 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心 . 3三角形的外心的性质 :三角形外心到三顶点的距离相等 . 5. 直线与圆的位置关系1. 直线和圆相交、相切相离的定义 : 1相交 : 直线与圆有两个公共点时 ,叫做直线和圆相交 ,这时直线叫做圆的割线. 2相切 : 直线和圆有惟一公共点时 ,叫做直线和圆相切 ,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点 . 3相离 : 直线和圆没有公共点时 ,叫做直线和圆相离 . 2. 直线与圆的位置关系的数量特点 : 设O 的半径为 r,圆心 O 到直线的距离为 d；d<r <=> 直线 L 和O 相交 . d=r <=> 直线 L 和O 相切 . d>r <=> 直线 L 和O 相离 . 3. 切线的总判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 4. 切线的性质定理 : 圆的切线垂直于过切点的半径 . 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 . 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系 假如一条直线具备以下三个条件中的任意两个,可得如下结论 : ,就可推出第三个 . 垂直于切线 ; 过切点 ; 过圆心 .5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念 . 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆的内心 , 这个三角形叫做圆的外切三角形 . 6. 三角形内心的性质 : 1三角形的内心到三边的距离相等 . ,内切圆的圆心叫做三角形2过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 . 由此性质引出一条重要的帮助线 : 连接内心和三角形的顶点 ,该线平分三角形的这个内角 . 6. 圆和圆的位置关系 . 1. 外离、外切、相交、内切、内含包括同心圆 这五种位置关系的定义 . 1外离 : 两个圆没有公共点 ,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时 ,叫做这两个圆外离 . 2外切 : 两个圆有惟一的公共点 ,并且除了这个公共点以外 ,每个圆上的点都在另一个圆的外部时 , 叫做这两个圆外切 .这个惟一的公共点叫做切点 . 3相交 : 两个圆有两个公共点 ,此时叫做这个两个圆相交 . 4内切 : 两个圆有惟一的公共点 ,并且除了这个公共点以外 ,一个圆上的都在另一个圆的内部时 ,叫做这两个圆内切 .这个惟一的公共点叫做切点 . 5内含 : 两个圆没有公共点 , 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时 ,叫做这两个圆内含 .两圆同心是两圆内的一个特例 . 2. 两圆位置关系的性质与判定 : 1两圆外离 <=> d>R+r 2两圆外切 <=> d=R+r 3两圆相交 <=> R-r<d<R+r R r 4两圆内切 <=> d=R-r R>r 5两圆内含 <=> d<R-r R>r 3. 相切两圆的性质 : 假如两个圆相切 ,那么切点肯定在连心线上 . 4. 相交两圆的性质 : 相交两圆的连心线垂直平分公共弦. ,这. 7. 圆内接四边形如四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的特点 : 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角8. 弧长及扇形的面积1. 圆周长公式 : 圆周长 C=2 R R 表示圆的半径 2. 弧长公式 : 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 弧长lnRR 表示圆的半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数 . 1803. 扇形定义 : 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形4. 弓形定义 : . . 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高5. 圆的面积公式 . 圆的面积SR2R 表示圆的半径 6. 扇形的面积公式 : 扇形的面积S扇形n2 RR 表示圆的半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数 360弓形的面积公式 :如图 5 OABAOBOAB, S 弓形 图 5 C S 扇形S 三角形CC 1当弓形所含的弧是劣弧时2当弓形所含的弧是优弧时, S 弓形S 扇形S 三角形S 扇形, S 弓形1R23当弓形所含的弧是半圆时24 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例题解析【例题 1】如图 1, O是ABC的外接圆, AB 是直径,如BOC80,就AD等于（）D30oA60oB50oC40oAOAOCBCB图 1 图 2 图 3 【例题 2】如图 2,以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 C,如大圆半径为AB 与小圆相切于点10cm,小圆半径为 6cm,就弦 AB 的长为 cm【例题 3】 如图 3, ABC内接于 O,AB=BC,ABC=120° ,AD为 O的直径,AD6,那么 BD_【例题 4】如图 4 已知 O的两条弦 AC,BD相交于点 E, A=70 o,c=50 o,那么 sin AEB的值为（） A.1B.3C.2D.32322图 4 【例题 5】 如图 5,半圆的直径AB10,点 C 在半圆上,BC6E C （1）求弦 AC 的长；交 AC 于点 E,求 PE 的长（2）如 P 为 AB 的中点, PEAB名师归纳总结 5 A P （图 8）B第 5 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、课堂练习1、如图 6,在 O 中, ABC=40° ,就 AOCC 度AC BOCA 图 7 O B A S1 S2 图 6 图 8 B 2、如图 7,AB 是 O 的直径, AC 是弦,如 ACO = 32°,就 COB 的度数等于3、已知 O 的直径 AB=8cm,C 为 O 上的一点, BAC=30o,就 BC=_cm. 4、如图 8,已知在 RtABC中,ACBRt,AB4,分别以 AC , BC 为直S ,S ,就S +径作半圆,面积分别记为S 的值等于5、如图 9, O 的半径 OA10cm,P 为 AB 上一动点,就点 P 到圆心 O 的最短距离为 _cm；图 9 6、如图 10,在 O 中, ACB=BDC=60° ,AC= 23 cm,（1）求 BAC 的度数；（2）求 O 的周长6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、已知：如图 11, O 的直径 AB 与弦 CD 相交于,弧 BC弧 BD, O 的 切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F1求证:CD BF2连结 BC,如O 的半径为 4,cosBCD=3 4, 求线段 AD、CD的长8、如图 12,在 ABC 中,AB=BC ,以 AB 为直径的 O与 AC 交于点 D,过 D 作 DFBC,交 AB 的延长线于 E,垂足为 F1求证：直线 DE 是 O 的切线；2当 AB=5,AC=8 时,求 cosE 的值图 12 四、经典考题解析 1. 如图 13,在 O中,已知 A CB CDB60,AC3,就 ABC的周长是_. 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图 13 图 14 图 15 2. “ 圆材埋壁” 是我国古代九章算术中的问题：不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何”“ 今有圆材,埋在壁冲,用数学语言可表述为如图 14,CD为O的直径,弦 ABCD于点 E,CE1 寸, AB=10寸,就直径 CD 的长为（） A 125 寸 B 13 寸 C 25 寸 D 26 寸3. 如图 15,已知 AB是半圆 O的直径,弦 AD和 BC相交于点 P,那么CD AB等于（） A sin BPD BcosBPD C tan BPD D cot BPD 4. O的半径是 5,AB、CD为O的两条弦,且 AB CD,AB=6,CD=8,求 AB 与 CD之间的距离5. 如图 16,在 M中,弧 AB所对的圆心角为120 0,已知圆的半径为2cm,并建立如下列图的直角坐标系,点（1）求圆心 M的坐标；C是 y 轴与弧 AB的交点；8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）如点 D是弦 AB所对优弧上一动点,求四边形五、课后训练ACBD的最大面积 Y DAMB图 16 OXC 1. 如图 17,在 O中,弦 AB=1.8cm,圆周角 ACB=30,就 O的直径等于_cm图 17 图 18 图 19 2. 如图 18,C是 O上一点, O是圆心如 C=35° ,就 AOB的度数为（） A 35B70 C105D1503. 如图 19,O内接四边形 ABCD中,AB=CD,就图中和 1 相等的角有 _ 4. 在半径为 1 的圆中,弦 AB、AC分别是3 和2 ,就 BAC的度数为多少？5. 如图 20,弦 AB的长等于 O的半径, 点 C 在O上,就C的度数是 _. 图 20 图21 图22 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 如图 21,四边形 ABCD内接于 O,如BOD=100° ,就 DAB的度数为 （） A 50° B80° C100° D 130°7. 如图 22,四边形 ABCD为O的内接四边形, 点 E 在 CD的延长线上, 假如BOD=120° ,那么 BCE等于（） A 30° B60° C 90° D120°8. 如图, O的直径 AB=10,DEAB于点 H,AH=2（1）求 DE的长；（2）延长 ED到 P,过 P作 O的切线,切点为 C,如 PC=22 5 ,求 PD的长九年级数学圆练习题一、填空题：（21 分）1、如图,在 O中,弦 AB OC,AOC 115,就 BOC =_ 2、如图,在 O中,AB是直径,C 15,就 BAD =_ 3、如图,点 O是 ABC 的外心,已知 OAB 40,就 ACB =_ A名师归纳总结 A O CODACOBAOCB10B BD第 10 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1 题图）（2 题图）（3 题图）（4 题图）4、如图, AB是O的直径,弧 BC=弧 BD,A25,就BODCAOAOBAPBBOCD（7 题图）（6 题图）（5 题图）5、如图, O的直径为 8,弦 CD垂直平分半径 OA,就弦 CD6、已知 O的半径为 2cm,弦 AB2cm,P点为弦 AB上一动点,就线段OP的范围是7、如图,在 O中, B=50o, C=20o,就 BOC的=_ 二、解答题（ 70 分）1、如图,AB是O的直径 . 如 OD AC,与BD 的大小有什么关系？为什BDCA么？O2、已知：如图,在 O中,弦 AB=CD.求证：弧 AC=弧 BD； AOC=BOD ACOBD11名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、如图,已知： O中,AB、CB为弦, OC交 AB于 D,求证：（1）ODB>OBD,（2） ODB>OBC；OADBC4、已知如图,AB、AC为弦, OMAB于 M,ONAC于 N,MN是 ABC的中位线 吗？AM NOB5、已知如图, AB、CD是 O的直径, DF、BE是弦,且 DF=BE,求证： D=B CAFDOBE6、已知如图, AB是 O的直径, C是O上的一点, CDAB于 D,CE平分 DCO,交 O于 E,求证：弧 AE=弧 EB C12ADOBE名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、如图,已知ABC,AC=3,BC=4,C=90° ,以点 C为圆心作 C,半径为 r . 1 当 r 取什么值时,点 A、B 在 C外. 2 当 r 在什么范畴时,点A 在C内,点 B在C外. 2 当 r 在什么范畴时, C与线段 AB相切；AC B三、运算以下各题：（40 分）1、如图,已知 AB为O的直径, AC为弦, OD BC交 AC于 D,OD = cm,求 BC 的长；AOBDC2、如图,在 Rt ABC中, C90° , AC3,BC4,以点 C 为圆心, CA为半 径的圆与 AB、BC分别交于点 D、E,求 AB、AD的长CEADB3、如图, O的直径 AB和弦 CD相交于点 E,且 AE=1cm,EB=5cm,DEB=60° ,求 CD的长；C AE名师归纳总结 13ODB第 13 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、如图,在直径为100 mm的半圆铁片上切去一块高为20 mm的弓形铁片,求弓形的弦 AB的长 . A B5、如下列图,已知矩形ABCD的边AB3 cm,AD4cm；（1）以点 A 为圆心, 4cm为半径作 A,就点 B、C、D与 A 的位置关系如何？（2）如以点 A为圆心作 A,使 B、C、D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,就 A的半径 r 的取值范畴是什么？四、作图题：（9 分）如图是一块圆形砂轮破裂后的部分残片, 试找出它的圆心, 并将它仍原成一个圆要求：、尺规作图；、保留作图痕迹14（可不写作法）名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五、探究拓展与应用（ 10 分）1、在探讨圆周角与圆心角的大小关系时,小亮第一考虑了一种特别情形（圆心 在圆周角的一边上）如图 1 所示：C A C A C AOC是 ABO的外角AOC=ABO+BAO O O O 又 OA=OB OAB=OBA B 1 B 2 B3 AOC=2ABO 即 ABC= 1 AOC 2假如 ABC的两边都不经过圆心,如图请你说明理由；152 、（3）,那么上述结论是否成立？名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页