2022年二元一次不等式组与简单线性规划.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二元一次不等式组与简洁线性规划一、重点表达1. 二元一次不等式表示的平面区域：定义 : 一般地 , 在平面直角坐标系中 , 二元一次不等式或表示平面上的区域 , 称为二元一次不等式表示的平面区域；如图 : 表示 : 在平面直角坐标系中 , 二元一次不等式表示直线某一侧全部点组成的平 面区域；把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线, 如画不等式表示的平面区域时, 此区域包括边界直线 , 就把边界直线画成实线；判定方法 : 由于对在直线同一侧的全部点, 把它的坐标代入 , 所得的实数的符号都相同 , 所以只需在这条直线的某一侧取一个特别点 , 以的正负情形便可判定表示这始终线哪一侧的平面区域 2. 简洁线性规划问题：, 特别地 , 当时, 常把原点作为特别点判定；线性规划问题概念的界定 : 在实际问题中形成的二元一次不等式组是一组对变量的约束条件 , 由于这组约束条件都是关于的一次不等式 , 所以又可称其为线性约束条件 线性约束条件除了用一次不等式表示外 , 也可用一次方程表示 ；是欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式, 我们把它称为目标函数；由于又是关于的一次解析式 , 所以又可叫做线性目标函数；一般地 , 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为线性规划问题；那么, 满意线性约束条件的解叫做可行解, 由全部可行解组成的集合叫做可行域；在解决实际问题中 , 可行域是用阴影部分表示的平面区域 , 其可行解就是使目标函数取得最大值和最小值 最优解；, 无论可行解多少 , 它们都叫做这个问题的简洁线性规划图解法的基本步骤: ; 、依据线性约束条件画出可行域 即画出不等式组所表示的公共区域、设 , 画出直线 ; 、观看、分析 , 平移直线 , 从而找到最优解 ; 、最终求得目标函数的最大值及最小值；简洁线性规划模型方法与应用步骤 : 、简洁线性规划模型方法 ; 、简洁线性规划应用步骤 : 由实际背景查找线性约束条件, 建立线性目标函数 ; 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; 在可行域内求目标函数的最优解; 留意检查问题的实际意义；3. 应用名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备、二元一次不等式表示平面区域的应用、求基于平面区域的目标函数最值的应用欢迎下载: ; 、简洁线性规划模型的应用；二、案例分析案例 1：画出不等式组 表示的平面区域；分析：先画线性方程的图象, 再依据二元一次不等式表示平面区域的判定方法确定不等式组所表示的平面区域；解：在平面直角坐标系xoy 中,先画直线,用点判定,将代入直线、代入的左边,分别得、,说明所求的平面区域在直线、的下方；直线过原点,挑选点判定,将的左边得,所求的平面区域在直线的上方；所以所求的平面区域如图的阴影部分（包括边界）：案例 2：已知 求名师归纳总结 1z=x+2y-4的最大值；第 2 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2学习必备欢迎下载的最小值；3 的范畴；分析：依据线性约束条件画出可行域（如图含边界的绿色区域）,依据不同的目标函数的几何特点求函数的最值或范畴；1 目标函数 的几何特点是斜率为 的平行直线系与 y 轴交点的纵坐标；2 目标函数标函数的几何特点是以为圆心的圆系的半径的平方；3 目的几何特点是两点的斜率；解： 1 依据线性约束条件画出可行域（如图含边界的绿色区域）；目标函数的几何特点是斜率为的平行直线系与 y 轴交点的纵坐标,使得达到最大值的极端位置是平行直线系过两直线的交点；由解得交点的坐标为；为圆心的圆系的所以求得目标函数达到的最大值是15；2 如图,目标函数的几何特点是以半径的平方,使得目标函数达到最小值的极端位置是圆系与直线名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载相切；圆的半径为；所以求得的最小值是；3 如图,目标函数的几何特点是两点的斜率,函数的取值范畴就是点与可行域的极端点的斜率, 明显,这个极端点就是直线分别与直线的交点；分别由解得交点的坐标为；,；所以求得的范畴是；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载案例 3：1 （2022 山东· 理 12）设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 M,使函数 yax a 0,a 1 的图象过区域 M的 a 的取值范畴是（）C.2,9 D.,9 的A1,3 B.2, 2（2022 陕西· 理 10）已知实数满意假如目标函数最小值为,就实数等于（）C4 D3 的图象过A7 B5 分析： 1 依据线性约束条件画出可行域M ,函数可行域 M的极端点时 的值所构成的范畴即所求的范畴；2 画直线、直线 和目标函数 的最小值为 时的直线,于是直线与直线 的交点应是可行域的极端点,直线 必过这点,从而求得 m的值；解： 1 依据线性约束条件画出可行域M（如图含边界的金黄色区域）；如图,函数 是指数函数,函数 的图象过区域 M的 的取值范畴是指函数 的图象过可行域 M的极端点时 的值所构成的范畴, 明显,这个极端点就是直线 分别与直线 的交点；分别联立,求得交点为；名师归纳总结 于是,；第 5 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以求得的取值范畴是学习必备欢迎下载；应选 C；2 画直线、直线和目标函数的最小值为时的直线,三者形成新的可行域（如图含边界的绿色区域）；由 解得直线与直线的交点是；的图象过可行域（含如图,目标函数的最小值为,即函数边界的金黄色区域）的极端位置时的直线的纵截距为 与直线 的交点；1,这时的极端点是直线这个交点恰好是直线与直线的交点,求得；应选 B；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载案例 4：某厂拟生产甲、乙两种试销产品,每件销售收入分别为 3 千元、2 千元；甲、乙产品都需要在 A,B 两种设备上加工,在每台 分为 1 工时、 2 工时,加工一件乙所需工时分别为A,B上加工一件甲所需工时 2 工时、 1 工时, A,B两种设备每月有效使用工时数为 a400a500,求生产收入最大值的范畴？分析：此题是解决收入的最大值的问题,有了单价,故应设甲、乙两种试销产品的月产量分别为 件,就得甲、乙两种产品加工的总工时分别为,其每月有效使用工时数为 a,于是建立了 的可行域；设总收入的目标函数为,按线性规划的步骤解决；解：设甲、乙两种试销产品的月产量分别为 件,就得甲、乙两种产品加工的总工时分别为；其目标函数为；每月有效使用工时数为 a,有 又,据此,画如图的可行域（含边界的金黄色区域）；明显,两直线的交点满意,解得当且仅当目标函数的直线经过极端点时,目标函数取得最大值；名师归纳总结 ；第 7 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,学习必备欢迎下载所以所求生产收入最大值的范畴是；案例 5：某公司用两种机器来生产某种产品,第一种机器每台 3 万美元及人民币50 万元的保护费,其次种机器每台 5 万美元及人民币 20 万元的保护费而第一种机器的年利润每台 8 万美元,其次种机器的年利润每台 5 万美元,但政府核准的外汇是美元 135 万元,并且公司的总保护费不得超过 应当购买几台最好？1800 万元,问每种机器分析：直接设元,设第一种机器购买 x 台,其次种机器购买 y 台,在外汇不超过135 万美元,总保护费人民币不得超过 1800 万元的条件下建立关于 x、y 的二元一次不等式,构建变量 x、y 的可行域,依据总利润建立目标函数,用线性规划的方法求目标函数的最大值,从而解决实际问题；解：设第一种机器购买x 台,其次种机器购买y 台,就总利润 z=8x+5y,做出不等式组所表示的平面区域如下列图,即可行域；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由求得学习必备欢迎下载由于,都不是整数,而最优解 x ,y 中, x、y 必需是整数,所以可行域内点 不是最优点, 经过可行域内的点, 且与原点距离最大的直线 8x+5y=299,经过的整点是 33 ,7 ,它是最优解；所以,第一种机器购买33 台,其次种机器购买7 台最好；四、总评1 线性规划问题是优化思想在解决实际问题中的广泛应用,表达了数学模型的应用价值； 线性规划问题应用了数形结合、化归转化的思想方法, 通过建立目标函数,利用目标函数的平移,在可行域的极端位置确定最优解,求最值,从而解决了实际问题；2 留意目标函数 中 B的符号对函数 的最值的影响；当 时,直线过可行域且在 轴上截距最大,就 最大,在 轴上截距最小,就 最小；当 时,直线过可行域且在 轴上截距最大,就 最小,在 轴上截距最小,就 最大；3 在建立可行域的基础上,目标函数可以是线性的,也可以是非线性的,要揭示目标函数的几何意义, 利用思想结合的方法, 解决目标函数的最值或范畴问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页
