2022年二次根式知识点及习题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 二次根式学问点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式；注：在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必需留意：由于负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,等是二次根式,而,等都不是二次根式；学问点二：取值范畴1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a0 时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可；2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当 a 0 时,没有意义；学问点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根,也就是说,（）是一个非负数,即 0（）；注：由于二次根式（）表示 a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平方根是非负数,即 0（）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质, 和肯定值、 偶次方类似； 这个性质在解答题目时应用较多,如如,就 a=0,b=0；如,就 a=0,b=0；如,就 a=0,b=0；学问点四：二次根式（）的性质（）文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论；上面的公式也可以反过来应用：如,就,如：,. 学问点五：二次根式的性质文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值；注：名师归纳总结 1、化简时,肯定要弄明白被开方数的底数a 是正数仍是负数,如是正数或0,就等于a 本身,即第 1 页,共 9 页；如 a 是负数,就等于a 的相反数 -a,即；2、中的 a 的取值范畴可以是任意实数,即不论a 取何值,肯定有意义；3、化简时,先将它化成,再依据肯定值的意义来进行化简；学问点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数a 的算术平方根的平方,而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中,而中 a 可以是正实数, 0,负实数； 但与都是非负数,即,；因而它的运算的结果是有差别的,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而2、相同点： 当被开方数都是非负数,即时,=；时,无意义, 而. 学问点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a0）、 x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、 （ x+y）2 、x2+2xy+y2等（ 3）最终结果分母不含根号；学问点八：二次根式的乘法和除法1. 积的算数平方根的性质ab=a· b（a0,b0）2. 乘法法就a· b=ab（a0,b0）二次根式的乘法运算法就,用语言表达为：两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积 的算术平方根；3. 除法法就 b>0）a÷ b=a÷ b（a0,二次根式的除法运算法就,用语言表达为：两个数的算数平方根的商,等于这两个数商的算 数平方根；4. 有理化根式；假如两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式叫做有理化根式 , 也称有 理化因式；学问点九：二次根式的加法和减法1 同类二次根式 一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,假如它们的被开方数相同,就把这几个二次 根式叫做同类二次根式；2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式；3 二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并；学问点十：二次根式的混合运算1 确定运算次序 2 敏捷运用运算定律 3 正确使用乘法公式 4 大多数分母有理化要准时 5 在有些简便运算中或许可以约分,不要盲目有理化名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点十一：分母有理化分母有理化有两种方法 I. 分母是单项式 如: a/ b=a× b/ b× b=ab/b II. 分母是多项式 要利用平方差公式 如 1/ ab=ab/ ab ab=ab/a b 如图留意： 1. 根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - “ 二次根式” 经典练习题【典型例题 】一. 利用二次根式的双重非负性来解题2 x（a0（a0）,即一个非负数的算术平方根是一个非负数；）1.以下各式中肯定是二次根式的是（1）；D、x1A 、3 ；B、x ；C、；2.x 取何值时,以下各式在实数范畴内有意义；（ 1）x 2 ;（ 2）1（ 3）x 1 2 x（ 4）5 x（ 5）2 x 1 x 413 x2 x 1（6）如 x x 1 x x 1,就 x 的取值范畴是（7）如 x 3 x 3,就 x 的取值范畴x 1 x 1是；5 x（7）注：（书写格式（4）由 5+x0 且 x+4 0 得 x 5 且 x 4当 x 5 且 x 4 时代数式x 4在实数范畴内有意义）名师归纳总结 3.如3m1有意义,就m能取的最小整数值是；第 4 页,共 9 页4. 如20m 是一个正整数,就正整数m的最小值是 _5.当 x 为何整数时,10x11有最小整数值,这个最小整数值为6. 如 2004aa2005a ,就a20042=_7如yx33x4,就xy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8. 设 m、n 满意n2 m9m9m22,就mn = ；39. 如m适合关系式3 x5y2m2 x3ymx199y199xy ,求 m 的值来10.如三角形的三边a、b、c 满意a24 a4b3=0,就第三边c 的取值范畴是11. 方程|4 x8|xym0,当y0时, m的取值范畴是（） A 、0m1B、m2C、m2D、m2a ab二 利用二次根式的性质a2=|a|=0a0 即一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值aa0 解题1. 已知x33x2xx3,就（）A. x0 B.x 3 . x 3 D. 3x0 2. 已知 a<b,化简二次根式a3b的正确结果是（）Aaab Baab Caab Daab3. 如化简 | 1-x | -x28x16的结果为 2x-5 就 x 的取值范畴是（）A、 x 为任意实数 B 、1x 4 C 、x1 D、x4 名师归纳总结 4. 已知 a,b,c 为三角形的三边,就abc 2bca 2 bca 2= 第 5 页,共 9 页5.当-3<x<5 时,化简x26 x9x210 x25= ；6、 化简|xy|x2xy0 的结果是（）Ay2x B y C2xy Dy7、已知：a12 aa2=1,就 a 的取值范畴是（）；A、a0； B、a1；C、a0或 1；D、a18、把x2 x12根号外的因式移入根号内,化简结果是（）；A 、2x； B、x2； C、x2D、2x三二次根式的化简与运算（二次根式的化简是二次根式运算中的基本要求,其主要依据是二次根式的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 积商算术平方根的性质及二次根式的性质：（a ）2=a（a0）,即a2|a|；）1.把以下各式化成最简二次根式：（1）33（2）41 2402（3）5 25 m（4）x4x2y2822.以下各式中哪些是同类二次根式：（1）75 ,1 , 12 ,272 ,1 ,503 ,1 ；10（2）5a3b3c,a32 b3 c,ab ,a c 4abc4 a6 bc9 a3；（3）3.运算：（1） 62733（2）12 ab45 b3 c5 a（ 4）218（5）125（6）2 a2b2ab24354c5c3（2）19x331y34 x14y254.运算（ 1）23318112150325xy24xy3）5已知x22x18x10,就 x 等于（x23的值；A 4 B± 2 C2 D ± 4 6.已知x21,y21,求yxxyyx3xy四二次根式的分母有理化1 已知：x21,求x2x1的值；3x25xy+3y2 的值；32. .已知 :x=32,y32 2,求代数式3233.1121314 991231004.已知15x19x2,试求19x15x的值；五关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题名师归纳总结 1. 估算31 2 的值（）在 3 和 4 之间 D 在 4 和 5 之间第 6 页,共 9 页A在 1 和 2 之间 B在 2 和 3 之间 C2如3 的整数部分是a,小数部分是b,就3 ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.已知 9+13与913的小数部分分别是a 和 b,求 ab3a+4b+8 的值4.如 a,b 为有理数,且8 + 18 +1 =a+b 82 ,就 ba = .六二次根式的比较大小（1）1200和23（2） 56和65（3）1715 和1513（倒数法）5二次根式提高测试题一、挑选题1使3x11有意义的 x 的取值范畴是（）x2一个自然数的算术平方根为a a0,就与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（A）a1,a1（B）a1,a1（C）a21,2 a1（D）a21,a213如x0,就x2x 等于（）（A）0 （B）2x（C） 2x（D）0 或 2x4如a0,b0,就3 a b 化简得（）（A）aab（B）a ab（C） aab（D） aab5如y1m,就12 y的结果为（）yy（A）2 m2（B）2 m2（C）m2（D）m26已知a b 是实数,且a22 abb2ba ,就 a 与 b 的大小关系是（）（A） ab（B） ab（C） ab（D） ab7已知以下命题：名师归纳总结 252235 ；3；323b 6 ；第 7 页,共 9 页a22 baa232aa其中正确的有（）（C）2 个（D）3 个（A）0 个（B）1 个- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8如426m 与2 m3化成最简二次根式后的被开方数相同,就m 的值为（）4（A）20 3（B）51 26（ C）13 821（ D）15 8x）9当a1时,化简14 a4a 22 a等于（2（B） 2（D）0 44a（C） a（A）2 x32得（10化简4x24x12）（A）2 （B）4x4（D） 4（C）二、填空题11如 2x1的平方根是5,就4x1_b_12当x_时,式子53 x有意义x413已知：最简二次根式4ab 与a b23的被开方数相同,就ay_14如 x 是8 的整数部分,y 是8 的小数部分,就x_,15已知2022xy ,且 0xy ,就满意上式的整数对x y 有 _16如1x1,就x12x1_17如xy0,且3 x y2xyx 成立的条件是 _18如 0x1,就x124x124等于 _xx三、解答题1 9运算以下各题： （1）153 52016；4108 .a24a 的值3（2）1 3273 aa233 aaa33220072222,求20已知a2520065052,求的值 . x299x221已知x,y是实数,且y5x6yx3名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 22如2 xy4与x2y12互为相反数,求代数式3 xx2y1 y 34的值 . 名师归纳总结 23如 a、 、S满意 3a5b7,S2a3b ,求 S 的最大值和最小值. 第 9 页,共 9 页- - - - - - -