2022年二次函数—动点产生的线段最值问题典型例题.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数动点产生的线段最值问题【例 1】如图,在直角坐标系中,点A,B,C 的坐标分别为（ -1 ,0）,（3,0）,（0,3）,过 A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线 l（1）求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；（2）点 E是抛物线的对称轴上的一个动点,求当AE+CE最小时点 E 的坐标；（3）点 P是 x 轴上的一个动点,求当PD+PC最小时点 P的坐标；QBQC最大？并求出（4）点 Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有最大值解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c,EF抛物线经过A、B、C三点,abc0a19a3 bc0,解得：b2,c3c3抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3y=-x2+2x+3= x124,该抛物线的对称轴为直线x=1,顶点 D的坐标为（ 1,4）（2）点 A 关于抛物线的对称轴的对称点为 B,就 AE=BE,要使 AE+CE最小,即 BE+CE最小 , 就 B、E、C三点共线如图,连接BC交抛物线的对称轴于点E,2,点 E的坐标为（ 1,2）解法一：设直线BC的解析式为y=kx+n,就3 kn0, 解得k31n3nyx3当 x=1 时,x313解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点 FE F y 轴, BEF= BCO, BFE=BOC BFE BOC BF BOEF,CO3 1 3EF, 3EF2点 E 的坐标为（ 1,2）（3）作出点 C关于 x 轴的对称点为C ,就 C （ 0,-3 ）,OC = 3,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如图,连接C D 交 x 轴于点 P,学习必备欢迎下载点 C关于 x 轴的对称点为 C ,就 PC=P C ,要使 PD+PC最小,即 PD+P C 最小 , 就 D、 P 、C 三点共线设直线 C D 的解析式为y=kx+n,C-P就kn34, 解得k7nn3y7x3当 y=0 时, 07x3,x37点 P 的坐标为（3,0）7（4）点 A 关于抛物线的对称轴的对称点为B,就 QB=QA,Q-要使 QBQC最大,即 QAQC最大 , 就 A、C 、Q三点共线如图,连接AC交抛物线的对称轴于点Q,解法一：设直线AC的解析式为y=kx+n,就nk3n0, 解得k3n3y3 x3当 x=1 时, 3 x33 1 36,点 Q的坐标为（ 1,6）解法二：设抛物线的对称轴交 x 轴于点 FQF y 轴, ACO= AQF, AOC = AFQ AOC AFQ FAO AFCO,QF13, 1 1QFQF6点 Q的坐标为（ 1,6）名师归纳总结 QBQCQAQCAC2 1321010 第 2 页,共 5 页即当点 Q的坐标为（ 1,6）时, QBQC有最大值,最大值为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【作业 1】（2022 菏泽）如图,抛物线学习必备欢迎下载y=1 x 22+bx 2 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C点,且 A（-1 ,0）（1）求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；（2）判定 ABC 的外形,证明你的结论；（3）点 M（m,0）是 x 轴上的一个动点,当 MC+MD的值最小时,求 m的值解：（1）点 A（ 1,0）在抛物线y=1 x 22+bx 2 上,E1 × （21 ）2+b× （1） 2=0,解得 b=-32抛物线的解析式为y=1 x 223 x 22y=1 x 223 x 2= 21（ x 22 3x 4 ）=1（ x23 ）2225 ,8顶点 D的坐标为（3 ,225 ）8（2）当 x=0 时 y= 2,C（ 0,2）,OC=2当 y=0 时,1 x 223 x 2=0,x 1= 1,x2=4,B （ 4,20）OA=1, OB=4,AB=5AB 2=25,AC 2=OA 2+OC 2=5,BC 2=OC 2+OB 2=20,AC 2+BC 2=AB 2 ABC是直角三角形（3）作出点 C关于 x 轴的对称点 C ,就 C （ 0,2）,OC=2,连接 C D 交 x 轴于点 M,依据轴对称性及两点之间线段最短可知,解法一：设抛物线的对称轴交 x 轴于点 EED y 轴, OCM=EDM,COM=DEM COM DEMOM O C,m 2 , m= 24EM ED 3m 25 412 8解法二：设直线 C D 的解析式为 y=kx+n ,n 2就 3 k n 25 , 解得 n=2,k12 412 8MC+MD的值最小名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - y41 x 122学习必备欢迎下载名师归纳总结 当 y=0 时, -41x2,0x24,m24第 4 页,共 5 页124141- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【作业学习必备欢迎下载ABCD是直角梯形, BC2】2022 四川广安）如下列图,在平面直角坐标系中,四边形AD, BAD 90° ,BC与 y 轴相交于点M,且 M是 BC的中点, A、B、D三点的坐标分别是A（1,0）,B 1,2 ,D 3 , 0 ,连接 DM,并把线段DM沿 DA方向平移到ON,如抛物线yax2bxc 经过点 D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P使得 PAPC如存在, 求出点 P的坐标； 如不存在 请说明理由（3）设抛物线与 x 轴的另个交点为 E点 Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点 Q在什么位置时有 QE QC最大？并求出最大值解：（1）由题意可得 M（ 0,2）, N（ 3,2）,a 1 ,2 c , 92 9 a 3 b c , 解得：b 1,30 9 a 3 b c . c 2.y 1x 2 1x 29 3（2）PAPC, P 为 AC的垂直平分线上, 依题意, AC的垂直平分线经过（ 1,2）、（1,0）,其所在的直线为 y x1y x 1,依据题意可列方程组 1 2 1y x x 2.9 3x 1 3 3 2 x 2 3 3 2解得：y 1 2 3 2 y 2 2 3 2P1（ 3 3 2, 2 3 2 ）、P2（ 3 3 2, 2 3 2 ）（3）如下列图,延长 DC交抛物线的对称轴于点 Q,依据题意可知此时点 Q满意条件由题意可知 C（1,2）,D（3,0）,可求得 CD所在的直线的解析式为 y x 3抛物线 y 1x 2 1x 2 的对称轴为直线 x 1.59 3点 Q在直线 x 1.5 上,又在直线 y x 3 上Q（ 1 .5 ,4.5 ）,QEQDQEQCQDQCCD3 122 22 2即当点 Q的坐标为（ 1.5 , 4.5 ）时, QEQC 有最大值,最大值为 2 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
