2022年圆的基本性质教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载圆的基本性质基础学问回放集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心,定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 垂径定理 : 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中,只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论,即：ADAB 是直径AB CD CE=DE BCBDAC推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在 O 中, AB CD ADCDOOABEC圆心角定理B圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等E此定理也称1 推 3 定理,即上述四个结论中,只F要知道其中的1 个相等, 就可以推出其它的3 个O结 论 也 即 ： AOB= DOE AB=DE D OC=OF BAEDACBC 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半名师归纳总结 即： AOB 和 ACB 是所对的圆心角和圆周角BOA第 1 页,共 12 页 AOB=2 ACB - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载DC圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧即：在 O 中, C、 D 都是所对的圆周角BOA C= D C推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径BCOAOCA即：在 O 中, AB 是直径或 C=90° C=90 °AB 是直径B推论 3：三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形即：在ABC 中, OC=OA=OB ABC 是直角三角形或C=90°注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜OB边上的中线等于斜边的一半的逆定理；弦切角定理 :弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：假如两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等；即： MN 是切线, AB 是弦 BAM= BCA NAM切线的性质与判定定理（1）判定定理： 过半径外端且垂直于半径的直线是切线两个条件： 过半径外端且垂直半径,二者缺一不行O即： MN OA 且 MN 过半径 OA 外端MN 是 O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点MAN推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最终一个条件 MN 是切线MN OA 切线长定理 :从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点B和圆心的连线平分两条切线的夹角；即： PA、PB 是的两条切线PA=PB POPO 平分 BPA A名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载圆内相交弦定理及其推论：（1）相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等BCOOEAD即：在 O 中,弦 AB 、CD 相交于点 P PA· PB=PC · PA P（2）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的BCA比例中项；即：在 O 中,直径AB CD CE2DE2EAEBD（ 3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项即：在 O 中, PA 是切线, PB 是割线PDAOEPA2PCPB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的CB交点的两条线段长的积相等（如上图）即：在 O 中, PB、PE 是割线2PE1lROSAlPCPBPD弧长、扇形面积公式lSnR（1）弧长公式：180nRB（2）扇形面积公式：3602中考热点难点突破名师归纳总结 例 1：如图 1,正方形 ABCD 是 O 的内接正方形,点P 在劣弧 CD 上不同于点C 得到任意一点,就BBPC 的度数是（）A 45B 60C 75D 90ADC C OPO BCA D 例 2 图E B A O B 例 1 图D 例 3 图例 2：如图,在O 中, AOB的度数为 m,C是 ACB 上一点, D,E是 AB 上不同的两点 （不与 A,两点重合）,就DE 的度数为（）第 3 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A mB 180m学习必备m欢迎下载mC 90D222例 3：高速大路的隧道和桥梁最多如图是一个隧道的横截面,如它的外形是以O 为圆心的圆的一部分,路面 AB =10 米,净高 CD =7 米,就此圆的半径OA=（）A5 B7 C37 5D37 7试题演练一、挑选题1如图, AB是 O的直径,弦CDAB于点 E, CDB30° , O的半径为3 cm,就弦 CD的长为（）A3 cm 2B 3cm C 2 3cm D 9cm第 1 题图第 2 题图第 3 题图第 4 题图2如图,ABC内接于 O,如 OAB28° ,就 C的大小为（）A28°B56°C60°D62°3如图, AB是 O的直径,弦CDAB于点 E, CDB30° , O的半径为3 cm,就弦 CD的长为（A3 cm 2 B 3cm C 2 3cmD 9cm4如图,弦CD垂直于 O的直径 AB,垂足为 H,且 CD 22 ,BD3 ,就 AB的长为（）A2 B3 C4 D5 5 ABC中,ABAC,A为锐角, CD为 AB边上的高, I 为 ACD的内切圆圆心, 就 AIB 的度数是（A120° B125° C135° D150°6如图, O是 ABC的外接圆, AB是直径如 BOC80° ,就 A 等于（）A60° B 50° C 40° D30°C 名师归纳总结 第 6 题图第 7 题图第 8 题图A D B 第 9 题图第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧）学习必备欢迎下载24 米,拱的半径为13 米,就拱高为 ,其跨度为A5 米 B8 米 C7 米 D5 3 米8一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如下列图,其中有水部分水面宽 0.8 米,最深处水深 0.2 米,就此输水管道的直径是（）A0.4 米 B 0.5 米 C0.8 米 D1 米9如图,在 Rt ABC中, C90° , AB10,如以点 C为圆心, CB长为半径的圆恰好经过 AB的中点 D,就 AC的长等于（）A 5 3 B5 C 5 2 D6 10. 如图, A、D是 O上的两个点, BC是直径,如 D 35 ° ,就 OAC的度数是（）A35° B 55° C65° D70°第 10 题图 第 11题图 第 12 题图 第 13 题图二、填空题11如图, AB是 O的直径, C是 O上一点, BOC44° ,就 A的度数为° . 12如图,点 C 在以 AB 为直径的O上,AB10,A30° ,就 BC 的长为13. 如图, AB是 O的直径,点C在 O上 ,OD AC,如 BD1,就 BC的长为 . 14如图, AB为 O的直径,弦CDAB,E 为 BC 上一点,如 CEA 28 ,就 ABDCEABD名师归纳总结 第 14 题图第 15 题图第 16 题图第 17 题图° . 第 5 页,共 12 页15如图, AB为 O的直径, CD为 O的弦, ACD42° ,就 BAD _- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16如图,点C、 D 在以学习必备欢迎下载ACB,如AB2, CBA15° ,就CD 的长AB 为直径的 O 上,且CD 平分为17已知 O 的直径 AB 8cm,C 为 O 上的一点, BAC 30 就 BC_cm.18如下列图,A、B、C、D是圆上的点,170°,A40°,就C度DOA CB第 18 题图 第 20 题图19. 在 O中,弦 AB的长为 6,它所对应的弦心距为 4,那么半径 OA20如图,ABC内接于 O, ABBC, ABC120° , AD为 O的直径, AD 6,那么 BD_三、解答题21如图, AB 为 O 直径, BC 切 O 于 B,CO 交 O 交于 D,AD 的延长线交 BC 于 E,如 C = 25° ,求 A 的度数22如图, AB 是 OD 的弦,半径OC、OD 分别交 AB 于点 E、F,且 AEBF,请你找出线段OE 与 OF 的数量关系,并赐予证明名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 23如图, P 为正比例函数y学习必备欢迎下载3x图象上的一个动点,P 的半径为 3,设点 P 的坐标为（ x , y ）2（1）求 P 与直线x2相切时点 P 的坐标；（2）请直接写出P 与直线x2相交、相离时x 的取值范畴四、解答题（每道题8 分,共 24 分）24从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层 300 格,每格 11.4cm ×11cm,如图甲用尺量出整卷卫生纸的半径（ R ）与纸筒内芯的半径（r ）,分别为 5.8cm 和 2.3cm,如图乙那么该两层卫生纸的厚度为多少 cm？（ 取 3.14,结果精确到 0.001cm）图 图25如图, A 是半径为 12cm 的 O 上的定点,动点P 从 A 动身,以 2cm/s 的速度沿圆周逆时针运动,当点 P 回到 A 地立刻停止运动（1）假如 POA90o,求点 P 运动的时间 ；P 运动的时间为2s 时,判定直线BP 与（2）假如点 B 是 OA 延长线上的一点,ABOA,那么当点O 的位置关系,并说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载26如图,已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点 A、B、C（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M 的位置；D 是否在经过点A、B、C 的抛物线（2）如 A 点的坐标为（ 0, 4）,D 点的坐标为（ 7,0）,试验证点上；（3）在（ 2）的条件下,求证直线 CD 是 M 的切线五、解答题（每道题 8 分,共 16 分）27如图,图是一个小伴侣玩“ 滚铁环” 的嬉戏；铁环是圆形的,铁环向前滚动时,铁环钩保持与铁环相切将这个嬉戏抽象为数学问题,如图已知铁环的半径为5 个单位（每个单位为5cm）,设铁环中心为 O,铁环钩与铁环相切点为M,铁环与地面接触点为A, MOA,且 sin0.6（1）求点 M 离地面 AC 的高度 MB（单位：厘米） ；（2）设人站立点C 与点 A 的水平距离AC 等于 11 个单位,求铁环钩MF 的长度（单位：厘米） 28图是用钢丝制作的一个几何探究具,其中ABC 内接于 G,AB 是 G 的直径, AB 6,AC3现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图）,然后点 A 在射线 OX 由点 O 开头向右滑动,点 B 在射线 OY 上也随之向点 O 滑动（如图） ,当点 B 滑动至与点 O 重合时运动终止（1）试说明在运动过程中,原点 O 始终在 G 上；（2）设点 C 的坐标为（ x , y ）,试求 y 与 x 之间的函 数关系式 ,并写出自变量 x 的取值范畴；（3）在整个运动过程中,点 C 运动的路程是多少？图 图 图名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载参考答案中考效能测试1B 【解析】 此题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用 . 由于30 0,所以 60 0,所以在直角中,1 3 ,依据勾股定理可得3 ,所以22 2 2 3 cm. 2D【解析】 此题考查了圆周角和圆心角的有关学问；依据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,所以AOB=2C； OA=OB, OAB= OBA, 又 OAB=28° , AOB=124° ,所以C=62° . 应选 D.3 【解析】 此题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用 . 由于30 0,所以 60 0,所以在直角中,1 3 ,依据勾股定理可得3 ,所以22 2 2 3 cm. 4 B 【解析】由垂径定理,可得 DH= 2 ,所以 BH= BD 2BH 21, 又可得DHB ADB., 所以有2 2BD BH BA , 3 1 BA AB 3 .此题考查了垂径定理及相像三角形判定与性质；5C 【解 析】由 CD 为 腰 上 的 高 ,I 为ACD 的 内 心,就IAC+ICA= 1 BAC BCA 1 180 0ADC 1 180 090 045 0,2 2 2所以 AIC 180 0 IAB ICA 180 045 0135 . 0又可证 AIB AIC, 得0 AIB=AIC= 135 ；6C【解析】考查圆周角定理 .同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍,所以A 是 BOC的一半,答案为 C. 7B【解析】此题主要考查直角三角形和垂径定理的应用；由于跨度 AB=24m ,拱所在圆半径为 13m,所以找出圆心 O 并连接 OB ,延长 CD 到 O,构成直角三角形,利用勾股定理和垂径定理求出 DO=5 ,进而得拱高 CD=CO-DO=13-5=8 ；应选 B；8D【解析】考查点：此题考查圆的垂径定理和解直角三角形的有关学问；解题思路： 依据题意,我们可以通过添加帮助线得到如下图形：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载O A C B D 设圆的半径为 R,就 OA=R ,由垂径定理可得 AC= 1 .0 8 .0 4,OC=R-0.2,在 Rt OAC 中,利用勾股定2理可得：R 20 . 4 2 R 0 2. 2,解得 R=0.5,故该圆的直径为 0 5. 2 1（米）；9A【解析】此题考查圆中的有关性质,连接 CD, C90° , D是 AB中点, AB10,CD1 AB5,2BC 5,依据勾股定理得 AC 5 3 ,应选 A10 B【解析】 此题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系；法1：在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角是圆角角的 2 倍,所以2 70 0,而中,所以,而180 0 110 0,所以55 0. 法 2：由于是直径,所以90 0,就90 0,而中,所以,而35 0,从而问题得解；1122° 【解析】 此题考查了圆周角和圆心角的有关学问；依据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,所以此题的答案为44010 22；,212 5【解析】由于AB是圆的直径,就它所对的圆周角为直角,又AB10,A30° ,依据在直角三角形中, 30 度角所对的直角边等于斜边的一半,就BC=5；13 2【解析】 此题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质. 由于 AB是直径 , 所以它所对的圆周角为直角再依据两条直线平行, 同位角相等 , 所以 ODBD,依据垂径定理 , 可知 ,D 为 BD的中点 , 所以 BC=2BD=2. 14 28【解析】此题综合考查了垂经定理和圆周角的求法及性质；由垂径定理可知弧 AC= 弧 AD ,又依据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知 ABD=28° . 解答这类题一些同学不会综合运用所学学问解答问题,不知从何处入手造成错解；名师归纳总结 15 48【解析】 连接OD ,依据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半第 10 页,共 12 页可得,AOD840,又因 OD=OA ,所以BADADO1 1800AOD10 1800 84480；22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16学习必备欢迎下载E,因3 【解析】 此题考查了垂径定理的基本图形. 连接 OC,过点 O 作 OE ,使 OECD,垂足为点为 ABC=15° , OB=OC,所以 OCB= 15° , OCE=BCD- OBC=45° -15 ° =30° ,在 Rt OCE 中, CE= OC× cos30 ° =1×3 , 所以 CD= 23 . C为直角 . 再依据 30 度角174【解析】此题考察的是圆周角定理. 依据直径所对的圆周角为直角可以得到所对的直角边等于斜边的一半1 , 所以 BC= 2AB=4cm. 18 30【解析】 1=A+B, B=30° , 又 C=B=30° . （同弧所对的圆周角相等）此题主要考查同弧所对的圆周角相等及三角形的外角的性质而得到 C=1 1=35° . 2. 有的同学会错误地应用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半从19 5【解析】 此题考查垂径定理与勾股定理；如图,在O中, AB=6,OC AB于 C,就 AC=1 AB=3,在 Rt AOC中,OA OC 2AC 24 23 25 . 220 3 3 【解析】由于 ABBC, ABC120° ,就 CAB=ACB=30° ,又 AD 为 O yO 1的直径,就 ABD=90° ,又 AD6, AB=3,就 BD=3 3 ；C三、解答题 O A A B B x图 2 21 AB 为 O 的直径, BC 切 O 于 B, ABC = 90° , C = 25° , BOC = 65 o, A = 1 2BOD , A = 32.5 o22解： OEOF证明：作 OM AM ,垂足为 M依据垂径定理得 AMBM AEBF, AM AEBMBF,即 EM FM OEOF23（1）当 P 与直线xx2相切时,点P 的坐标为（ 5,15 2）或（1,3）；（2）当1x5时,2P 与直线x2相交当1或x5时, P 与直线x2相离四、解答题2 224设该两层卫生纸的厚度为 xm,就：11 11.4 x 300 5.8 2.3 11,解得 x 0.026,答：设两层卫生纸的厚度约为 0.026cm25（1）3s；（2）当点 P 运动 2s时, POA60 o, OAAPAB, OPB90 o, BP 与 O 相切1 2 226（1）略；（2）y x x 4,点 D 不在抛物线上； （3）略6 3五、解答题名师归纳总结 27（1）过 M 作与 AC 平行的直线, 与 OA、FC 分别相交于H、N易求得铁环钩离地面的高度MB 为 1cm；第 11 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）解 Rt FMN ,结合勾股定理与三角函数可得,铁环钩的长度 FM 为 50/3cm名师归纳总结 - - - - - - -28（1）连 OG,OGAGBG,点 O 始终在 G 上；（ 2）作 CD x 轴, CE y 轴垂足分别为D,E,可得 CAD CBE,得y3x ,3 3 2x6；（3）线段的两个端点分别为C1（ 3 3 2,3 2）,C2（ 3 3 ,33）,当 OA0 时,C1（ 3 3 2,3 2）；当 OA6时, C3（ 9 2,3 3 2）；C1C23,C2C33 3 3 ,点 C 运动的路程为 63 3第 12 页,共 12 页