2022年二次函数专题训练含答案2.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载1如图,已知抛物线 y=x 2+bx+c 的图象经过点 A（l,0）,B（ 3,0）,与 y 轴交于点 C,抛物线的顶点为 D,对称轴与 x 轴相交于点 E,连接 BD （1）求抛物线的解析式（2）如点 P 在直线 BD 上,当 PE=PC 时,求点 P 的坐标名师归纳总结 （3）在（ 2）的条件下,作PFx 轴于 F,点 M 为 x 轴上一动点, N 为直线 PF 上一动点, G 为抛物线上第 1 页,共 13 页一动点,当以点F,N,G,M 四点为顶点的四边形为正方形时,求点M 的坐标- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2如图,抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B,与 y 轴交于点 C,点 B 坐标为（ 6,0）,点 C 坐标为（ 0,6）,点 D 是抛物线的顶点,过点 D 作 x 轴的垂线,垂足为 E,连接 BD（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点,当FBA= BDE 时,求点 F 的坐标；名师归纳总结 （3）如点 M 是抛物线上的动点,过点M 作 MN x 轴与抛物线交于点N,点 P 在 x 轴上,点 Q 在坐标平第 2 页,共 13 页面内,以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ,请写出点Q 的坐标- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3如图,已知抛物线精品资料欢迎下载My=ax2+bx 3 过点 A （ 1,0）,B（3,0）,点 M 、N 为抛物线上的动点,过点作 MD y 轴,交直线BC 于点 D,交 x 轴于点 E过点 N 作 NFx 轴,垂足为点F （1）求二次函数y=ax2+bx 3 的表达式；（2）如 M 点是抛物线上对称轴右侧的点,且四边形MNFE 为正方形,求该正方形的面积；名师归纳总结 （3）如 M 点是抛物线上对称轴左侧的点,且DMN=90°,MD=MN ,请直接写出点M 的横坐标第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4.2022 贵州省毕节地区 如图,抛物线精品资料欢迎下载M 关y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（ 1,0）,B（3,0）两点,顶点于 x 轴的对称点是M （1）求抛物线的解析式；（2）如直线 AM 与此抛物线的另一个交点为C,求CAB 的面积；Q,使得四边形APBQ 为正方形？（3）是否存在过A, B 两点的抛物线,其顶点P 关于 x 轴的对称点为如存在,求出此抛物线的解析式；如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载5. 2022 辽宁省铁岭市 如图,抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A,点 B,与 y 轴交于点 C,点 B坐标为（ 6,0）,点 C 坐标为（ 0,6）,点 D 是抛物线的顶点,过点 D 作 x 轴的垂线,垂足为 E,连接 BD （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点,当FBA= BDE 时,求点 F 的坐标；名师归纳总结 （3）如点 M 是抛物线上的动点,过点 M 作 MN x 轴与抛物线交于点N,点 P 在 x 轴上, 点 Q 在平面内,以线段 MN 为对角线作正方形MPNQ ,请直接写出点Q 的坐标第 5 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 2022 广东省茂名市 如图,抛物线精品资料欢迎下载y 轴交于y= x2+bx+c 经过 A（ 1,0）, B（3,0）两点,且与点 C,点 D 是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 E,连接 BD （1）求经过 A ,B,C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点 P 是线段 BD 上一点,当PE=PC 时,求点 P 的坐标；名师归纳总结 - - - - - - -（3）在（ 2）的条件下,过点P 作 PFx 轴于点 F,G 为抛物线上一动点,M 为 x 轴上一动点, N 为直线PF 上一动点,当以F、M 、 G 为顶点的四边形是正方形时,恳求出点M 的坐标第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二次函数专题训练（正方形的存在性问题）参考答案1如图,已知抛物线 y=x 2+bx+c 的图象经过点 A（l,0）,B（ 3,0）,与 y 轴交于点 C,抛物线的顶点为 D,对称轴与 x 轴相交于点 E,连接 BD （1）求抛物线的解析式（2）如点 P 在直线 BD 上,当 PE=PC 时,求点 P 的坐标（3）在（ 2）的条件下,作 PFx 轴于 F,点 M 为 x 轴上一动点, N 为直线 PF 上一动点, G 为抛物线上一动点,当以点 F,N,G,M 四点为顶点的四边形为正方形时,求点 M 的坐标【解答】 解：（1）抛物线 y=x 2+bx+c 的图象经过点 A （1,0）,B（ 3,0）,抛物线的解析式为 y=x 2+2x 3；（2）由（ 1）知,抛物线的解析式为 y=x 2+2x 3；C（0, 3）,抛物线的顶点 D（ 1, 4）,E（ 1, 0）,设直线 BD 的解析式为y=mx+n ,y= 2x 6,直线 BD 的解析式为设点 P（a,2a 6）,C（0, 3）,E（ 1, 0）,依据勾股定理得,PE 2=（a+1）2+（ 2a 6）2,PC2=a2+（ 2a 6+3）2,PC=PE,（ a+1）2+（ 2a 6）2=a 2+（ 2a 6+3）2,a= 2, y= 2× （ 2）6= 2,P（2,2）,（3）如图,作 PFx 轴于 F,F（ 2,0）,设 M （d,0）,名师归纳总结 G（d,d2+2d 3）,N（2, d 2+2d 3）,FM=MG ,0）第 7 页,共 13 页以点 F,N,G,M 四点为顶点的四边形为正方形,必有|d+2|=|d 2+2d 3|,0）,（d=或 d=,点 M 的坐标为（,0）,（,0）,（- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2如图,抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B,与 y 轴交于点 C,点 B 坐标为（ 6,0）,点 C 坐标为（ 0,6）,点 D 是抛物线的顶点,过点 D 作 x 轴的垂线,垂足为 E,连接 BD（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（ 2）点 F 是抛物线上的动点,当FBA= BDE 时,求点 F 的坐标；（ 3）如点 M 是抛物线上的动点,过点M 作 MN x 轴与抛物线交于点N,点 P 在 x 轴上,点Q 在坐标平面内,以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ,请写出点Q 的坐标,解得,【解答】 解：（1）把 B、C 两点坐标代入抛物线解析式可得抛物线解析式为y=x2+2x+6 ,y=x2+2x+6= （x 2）2+8, D（ 2,8）；（2）如图 1,过 F 作 FGx 轴于点 G,设 F（x,x2+2x+6 ）,就 FG=|x2+2x+6| , FBA= BDE , FGB= BED=90° , FBG BDE ,=, B（6,0）,D（2,8）,=,E（2,0）,BE=4,DE=8 ,OB=6 , BG=6 x,当点 F 在 x 轴上方时,有=,解得 x= 1 或 x=6（舍去）,此时 F 点的坐标为（1,）；当点 F 在 x 轴下方时, 有=,解得 x= 3 或 x=6（舍去）,此时 F 点坐标为 （ 3,）；综上可知 F 点的坐标为（1,）或（3,）；（3）如图 2,设对角线 MN 、PQ 交于点 O ,点 M 、N 关于抛物线对称轴对称,且四边形 MPNQ 为正方形,点 P 为抛物线对称轴与 x 轴的交点,点 Q 在抛物线的对称轴上,设 Q（2,2n）,就 M 坐标为（ 2 n,n）,名师归纳总结 点 M 在抛物线 y=x2+2x+6 的图象上,或 n= 1,）第 8 页,共 13 页n=（2 n）2+2（ 2 n）+6,解得 n= 1+满意条件的点Q 有两个,其坐标分别为（2,2+2）或（ 2, 2 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3如图,已知抛物线精品资料欢迎下载My=ax2+bx 3 过点 A （ 1,0）,B（3,0）,点 M 、N 为抛物线上的动点,过点作 MD y 轴,交直线BC 于点 D,交 x 轴于点 E过点 N 作 NFx 轴,垂足为点F （1）求二次函数y=ax2+bx 3 的表达式；（2）如 M 点是抛物线上对称轴右侧的点,且四边形MNFE 为正方形,求该正方形的面积；（3）如 M 点是抛物线上对称轴左侧的点,且DMN=90°,MD=MN ,请直接写出点 M 的横坐标【解答】 解：（1）把 A （ 1,0）,B（3,0）代入 y=ax 2+bx 3,得：,解得,故该抛物线解析式为：y=x 2 2x 3；（2）由（ 1）知,抛物线解析式为：y=x 2 2x 3=（x 1）2 4,该抛物线的对称轴是 x=1 ,顶点坐标为（1, 4）如图,设点 M 坐标为（ m, m 2 2m 3）,其中 m 1,ME=| m 2+2m+3|,M 、N 关于 x=1 对称,且点 M 在对称轴右侧,点 N 的横坐标为 2 m,MN=2m 2,四边形 MNFE 为正方形,ME=MN ,| m 2+2m+3|=2m 2,分两种情形：当m 2+2m+3=2m 2 时,解得： m1=、m2=（不符合题意,舍去） ,当 m= 时,正方形的面积为（2 2）2=24 8；当m 2+2m+3=2 2m 时,解得： m3=2+,m4=2（不符合题意,舍去） ,当 m=2+ 时,正方形的面积为 2 （2+） 2 2=24+8；综上所述,正方形的面积为 24+8 或 24 8（3）设 BC 所在直线解析式为 y=px+q ,把点 B（3,0）、C（0, 3）代入表达式,得：,解得：,直线 BC 的函数表达式为 y=x 3,设点 M 的坐标为（ t,t 2 2t 3）,其中 t1,就点 N（2 t,t 2 2t 3）,点 D（t,t 3）,MN=2 t t=2 2t,MD=|t 2 2t 3 t+3|=|t 2 3t|MD=MN , |t 2 3t|=2 2t,分两种情形：名师归纳总结 当 t2 3t=2 2t 时,解得 t 1= 1, t2=2（不符合题意,舍去） 第 9 页,共 13 页当 3t t2=2 2t 时,解得 t 3=,t2=（不符合题意,舍去） 综上所述,点M 的横坐标为1 或- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4.2022 贵州省毕节地区 如图,抛物线精品资料欢迎下载M 关y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（ 1,0）,B（3,0）两点,顶点于 x 轴的对称点是M （1）求抛物线的解析式；（2）如直线 AM 与此抛物线的另一个交点为C,求 CAB 的面积；Q,使得四边形APBQ 为正方形？（3）是否存在过A, B 两点的抛物线,其顶点P 关于 x 轴的对称点为如存在,求出此抛物线的解析式；如不存在,请说明理由分析：（1）依据待定系数法,可得函数解析式；（2）依据轴对称,可得M 的坐标, 依据待定系数法,可得AM 的解析式,依据解方程组,可得 B 点坐标,依据三角形的面积公式,可得答案；（3）依据正方形的性质,可得 P、Q 点坐标,依据待定系数法,可得函数解析式解答：解：（1）将 A 、B 点坐标代入函数解析式,得,解得,抛物线的解析式 y=x 2 2x 3；（2）将抛物线的解析式化为顶点式,得 y=（x 1）2 4,M 点的坐标为（ 1, 4）,M 点的坐标为（ 1,4）,设 AM 的解析式为y=kx+b ,解得,AM 的解析式为y=2x+2 ,将 A 、M 点的坐标代入,得联立 AM 与抛物线,得,解得,Q,使得四边形APBQ 为正方形,C 点坐标为（ 5,12）S ABC =×4×12=24；（3）存在过 A ,B 两点的抛物线,其顶点P 关于 x 轴的对称点为由 ABPQ 是正方形, A（ 1,0）B（3,0）,得P（1, 2）, Q（ 1,2）,或 P（1, 2）,Q（1, 2）,名师归纳总结 当顶点 P（1, 2）时,设抛物线的解析式为y=a（x 1）2 2,第 10 页,共 13 页将 A 点坐标代入函数解析式,得a（ 1 1）2 2=0,解得 a= ,抛物线的解析式为y=（x 1）2 2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载当 P（1,2）时,设抛物线的解析式为 y=a（x 1）2+2,将A 点坐标代入函数解析式,得 a（ 1 1）2+2=0,解得 a=,抛物线的解析式为 y=（x 1）2+2,综上所述： y=（ x 1）2 2 或 y=（x 1）2+2,使得四边形 APBQ 为正方形5. 2022 辽宁省铁岭市 如图,抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A,点 B,与 y 轴交于点 C,点 B坐标为（ 6,0）,点 C 坐标为（ 0,6）,点 D 是抛物线的顶点,过点 D 作 x 轴的垂线,垂足为 E,连接 BD （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点,当 FBA= BDE 时,求点 F 的坐标；（3）如点 M 是抛物线上的动点,过点 M 作 MN x 轴与抛物线交于点 N,点 P 在 x 轴上, 点 Q 在平面内,以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ ,请直接写出点 Q 的坐标分析（1）由点 B、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式,再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；（2）设线段 BF 与 y 轴交点为点 F,设点 F的坐标为（ 0,m）,由相像三角形的判定及性质可得出点 F的坐标,依据点 B、F的坐标利用待定系数法可求出直线 BF 的解析式,联立直线 BF 和抛物线的解析式成方程组,解方程组即可求出点 F 的坐标；（3）设对角线 MN 、PQ 交于点 O ,如图 2 所示依据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点 P、Q的位置,设出点 Q 的坐标为（ 2, 2n）,由正方形的性质可得出点 M 的坐标为（ 2 n,n）由点 M 在抛物线图象上,即可得出关于 n 的一元二次方程,解方程可求出 n 值,代入点 Q 的坐标即可得出结论解答 解：（1）将点 B（6,0）、C（0,6）代入 y=x 2+bx+c 中,得：,解得：,抛物线的解析式为 y= x 2+2x+6 y=x 2+2x+6= （x 2）2+8,点 D 的坐标为（ 2,8）（2）设线段 BF 与 y 轴交点为点F,设点 F的坐标为（ 0,m）,如图 1 所示 FBO=FBA= BDE ,FOB=BED=90°, FBO BDE,点 B（6,0）,点 D（ 2,8）,点 E（2,0）,BE=6 4=4,DE=8 0=8,OB=6 ,OF =.OB=3,点 F（0, 3）或（ 0, 3）名师归纳总结 设直线 BF 的解析式为y=kx± 3,就有 0=6k+3 或 0=6k 3,解得： k= 或 k=,第 11 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线 BF 的解析式为y=x+3 或 y=精品资料欢迎下载x 3联立直线 BF 与抛物线的解析式得：或,解方程组 得：或（舍去）,点 F 的坐标为（1,）；解方程组 得：或（舍去）, 点 F 的坐标为（3,）综上可知：点 F 的坐标为（1,）或（3,）（3）设对角线 MN 、PQ 交于点 O ,如图 2 所示点 M 、N 关于抛物线对称轴对称,且四边形 MPNQ 为正方形,点 P 为抛物线对称轴与 x 轴的交点,点 Q 在抛物线对称轴上,设点 Q 的坐标为（ 2,2n）,就点 M 的坐标为（ 2 n,n）点 M 在抛物线 y=x 2+2x+6 的图象上,n=+2（ 2 n）+6,即 n 2+2n 16=0,解得： n1= 1,n2= 1点 Q 的坐标为（ 2, 1）或（ 2, 1）6. 2022 广东省茂名市 】如图,抛物线 y= x 2+bx+c 经过 A（ 1,0）,B（3,0）两点,且与 y 轴交于点 C,点 D 是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 E,连接 BD （1）求经过 A ,B,C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点 P 是线段 BD 上一点,当PE=PC 时,求点 P 的坐标；（3）在（ 2）的条件下,过点 P 作 PFx 轴于点 F,G 为抛物线上一动点,M 为 x 轴上一动点, N 为直线PF 上一动点,当以 F、M 、 G 为顶点的四边形是正方形时,恳求出点 M 的坐标分析（ 1）利用待定系数法求出过A, B,C 三点的抛物线的函数表达式；（2）连接 PC、PE,利用公式求出顶点 D 的坐标,利用待定系数法求出直线 BD 的解析式,设出点 P 的坐标为（ x, 2x+6）,利用勾股定理表示出 PC 2 和 PE 2,依据题意列出方程,解方程求出 x 的值,运算求出点 P 的坐标；（3）设点 M 的坐标为（ a,0）,表示出点G 的坐标,依据正方形的性质列出方程,解方程即可名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载解答解：（ 1）抛物线 y= x 2+bx+c 经过 A （ 1,0）, B（3,0）两点,解得,经过 A ,B, C 三点的抛物线的函数表达式为 y= x2+2x+3 ；（2）如图 1,连接 PC、PE,x=1,当 x=1 时, y=4 ,点 D 的坐标为（ 1, 4）,设直线 BD 的解析式为： y=mx+n ,就,解得,直线 BD 的解析式为y= 2x+6,2,2,设点 P 的坐标为（ x,2x+6）,就 PC2=x2+（3+2x 6）2,PE 2=（ x 1）2+（ 2x+6）PC=PE,x2+（3+2x 6）2=（ x 1）2+（ 2x+6）解得, x=2,就 y= 2×2+6=2 ,点 P 的坐标为（ 2, 2）；（3）设点 M 的坐标为（ a,0）,就点 G 的坐标为（ a, a 2+2a+3）,以 F、M 、G 为顶点的四边形是正方形,FM=MG ,即 |2 a|=| a 2+2a+3|,名师归纳总结 当 2 a= a 2+2a+3 时,整理得, a 2 3a 1=0,解得, a=,0）,（,0）,（,当 2 a= （a 2+2a+3）时,整理得, a 2 a 5=0,解得, a=,当以 F、M 、G 为顶点的四边形是正方形时,点 M 的坐标为 （0）,（,0）第 13 页,共 13 页- - 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