2022年因式分解法解一元二次方程典型例题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载典型例题一例 用因式分解法解以下方程：x1 x1 11 y27y60； 2t 2 t 1 32 t 1 ； 32解：（1）方程可变形为 y1 y6 0 y10 或 y60 y1 1,y26 2 方程可变形为 t 2 t 1 32 t 1 0 2 t1 t3 0,2t10 或t30 t11 ,t 2323 方程可变形为 2x 23x0 x2 x3 0,x0 或 2x30 x10,x232 说明： 1 在用因式分解法解一元二次方程时,一般地要把方程整理为一般式,假如左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积,而右边为零时, 就可令每一个一次因式为零, 得到两个一元一次方程, 解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了2 应用因式分解法解形如 xa xb c 的方程,其左边是两个一次因式之积,但右边不是零,所以应转化为形如 xe xf 0 的形式,这时才有 x1e,x2f ,否就会产生错误,如 3 可能产生如下的错解：原方程变形为： 2x11 或 x11 x11,x223在方程 2中,为什么方程两边不能同除以2t1,请同学们摸索典型例题二 例 用因式分解法解以下方程6x233x22x6解：把方程左边因式分解为：2x2x33x2030或3x2203 2,x 1x 23说明: 对于无理数系数的一元二次方程, 如左边可分解为一次因式积的形式,均可用因式分解法求出方程的解；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载典型例题三例 用因式分解法解以下方程；2y2y152y2y150解: 移项得：把方程左边因式分解得： 2 y 5 y 3 02 y 5 0 或 y 3 0y 1 5 , y 2 .32说明: 在用因式分解法解一元二次方程时,肯定要留意,把方程整理为一般式,假如左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积,而右边为零时, 就可令每一个一次因式都为零, 得到两个一元一次方程, 解出这两个一元一次方程的解 就是原方程的两个解了；典型例题四例用因式分解法解以下方程0；（1）6x213x20；（2）32x1293x2 2分析：一元二次方程化为一般形式后,在一般情形下,左边是一个二次三项式,右边是零 .二次三项式,通常用因式分解的方法,可以分解成两个一次因式2）的积,从而可求出方程的根.但有些问题,可直接用因式分解法求解,例如（符合平方差公式的结构特点. 解：（1）原方程可变形为名师归纳总结 6x1 x20 ,620,0333x6 0,第 2 页,共 9 页6x10或x20,x 11,x22. 6（2）原方程可化为23x3233x即23x333x6 23x53x36363x ,53 x360或363x0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 1231,x2123. 学习必备欢迎下载5说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解,起到了降次的作用 .这种化未知为已知的解题思想,是数学中的“ 化归思想”.事实上,将多元方程组化为一元方程,也是此法 . 典型例题五名师归纳总结 例用因式分解法解方程：AB0的形式,然第 3 页,共 9 页（1）x25x360；（2）22x3 232x3 0；（3）x2222x3220；（4）y22332x660. 分析：用因式分解法解一元二次方程时,应将方程化为后通过A0或B0,求出x 1, x 2. 解：（1）x9x40,x90或x40. x 19,x24 .（2）2x3 4x63 0,即2x3 4x90. 2x30或4x90,x 13,x 29.24（3）x1 x3220,即x10或x3220. x 1,1x2322. （4）y23y320,即y230或y320,y 123,y232. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载说明：有些系数或常数是无理数的一元二次方程,只要熟识无理数的分解方法,也可将之和因式分解法求解 . 典型例题六例用适当方法解以下方程：（2）5 x222 1x x x1；（1）2x250；2（3）2x3 22 x21 4x1；（4）x243x100（5）3x27x40（用配方法）解：（1）移项,得2x25,方程两边都除以 2,得解这个方程,得1x1x2 x5 2,10 .即x5 2,110,2（2）绽开,整理,得10,x 21 224x2x0.方程可变形为xx2x x1 0,.0或4x104x 10 ,x 214（3）绽开,整理,得16x150,方程可变形为名师归纳总结 2x3 2x5 0第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备0欢迎下载5.02x3或2xx 13,x 2522（4）a2,1b43,c10,432411080,b24acx43843223232.121x2, 2223x2（5）移项,得3x27x4,方程各项都除以 3,得x 2 7 x 4 .3 3配方,得x 2 7 x 7 2 4 7 2,3 6 3 6 x 7 2 16 36解这个方程,得x 7 1 , 6 6即41x,x 2 1 .3说明 : 当一元二次方程本身特点不明显时,需先将方程化为一般形式2ax bx c 0 a 0 ,如 b 0,a、c 异号时,可用直接开平方法求解,如（l）题如 a 0,b 0 , c 0 时,可用因式分解法求解,如（2）题如 a、b、c均不为零, 有的可用因式分解法求解, 如（3）题；有的可用公式法求解, 如（4）题配方法做为一种重要的数学方法也应把握,如（5）题而有些一元二次方程有较明显特点时,不肯定都要化成一般形式,如方程名师归纳总结 x3 240可 用 直 接 开 平 方 法 或 因 式 分 解 法 求 解 又 如 方 程第 5 页,共 9 页x2 4x1x1 x2也不必绽开整理成一般形式,由于方程两边都有,移项 后 提 取 公 因 式 , 得x2 4x1 x1 0, 用 因 式 分 解 法 求 解 , 得x 1,2x 22,对于这样的方程,肯定留意不能把方程两边都除以x2 ,这3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 会丢掉一个根x2学习必备欢迎下载也就是方程两边不能除以含有未知数的整式典型例题七例解关于 x 的方程20m2x211mnx3 n20（m0）解法一：原方程可变形为b5mxn4mx3 n0,5 mxn0或4 mx3 n0m0,x 1n,x 23 n.5 m4 m解法二：a20m2,b11 mn,c3n224ac11 mn 2420m23n2361 m 2n20,又m0,x11 mn2036m2n211mnm19mn.2m2402x 1n,x 23 n.5 m4 m说明 解字母系数方程时,除了要分清已知数和未知数,仍要留意题目中给出的条件,要依据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法,也要依据题目的特点选用较简洁的解法,此题的解法一明显比解法二要简洁典型例题八例 已知 m 2 1,试解关于 x 的方程 mx x 2 2 x 1 x 1 .分析 由 m 2 1,简洁 得到 m 3 或 m 1整理 关干 x 的 方程,得2 m 1 x 2 mx 3 0题目中没有指明这个方程是一元二次方程,因此对二次项系数要进行争论,当 m-1 0 时,方程是一元一次方程；当 m 1 0 时,方程是一元二次方程；名师归纳总结 解：由m21,得m21, 1 .第 6 页,共 9 页m 13 ,m 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 整理mxx2 2x1 x学习必备欢迎下载1 ,得当m3时,原方程为2x2m1 x202mx30.6x3,解得当m1 时,原方程为32xx 133,x 2.323230,解得m3时,x 13,x 23x332 当22当m1 时,x3.2填空题1方程x22x22 的根是x2123y 11,y23. 2方程x3x1 6x4的解是3方程2y1 23 y1 20的解是答案： 1x 12,x 232x 112,2解答题1用因式分解法解以下方程：名师归纳总结 （1）xx222x4；（2）4x3 2xx320；第 7 页,共 9 页（3）10211 x60；（4）9x224x1 ；（5）x2x0；（6）x22x350；（7）x2x7x100；（8）x29x180；（9）10211 x60；（10）6x211x70. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2. 用因式分解法解以下方程：（1）x3 x1 5；（2）14x429 x4 650；0 ；0m（3）31x25 x1 220；23用因式分解法解以下关于x 的一元二次方程：（1）x2xk2x0；（2）x22mxm2n20；（3）x23mx54m20；（4）15m2x217mx18（5）abx2a2b2xab0ab0 4用适当的方法解以下方程：（1）4x2490；（2）4x29x0；2x25 x30的根,（3）x2x2；（4）x22x624；（5）x2x10；（ 6）x225x20. 5已知三角形的两边分别是1 和 2,第三边的数值是方程求这个三角形的周长 . 答案：名师归纳总结 1（1）x 12,x20；（2）x 13,x24；第 8 页,共 9 页（3）x 13,x 22；（4）x 18,x 24. 255（5）1x0,2x1（6）1x5,2x7（7）1x2,x25（8）1x3,2x6（9）1x3,2x2（10）1x1,x 27. 25232. （1）x 12,x24；（3）x 11,x 25. （2）x 13,x 241；27623（1）1x0,x2k21（2）x1mn,x 2mn（3）x 16m,x29m（4）x 12,x 29（5）x1b,x2a. 3 m5 mab4（1）1x7,2x7（2）1x0,x 29（3）1x2,x21（4）1x26,224- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2x24（5）1x125,x2学习必备欢迎下载53,x25315（6）1x2名师归纳总结 5提示：三角形两边之和大于第三边,三角形周长为4 5. 第 9 页,共 9 页- - - - - - -