2022年二面角真题 .pdf

二面角（ 2010-2012 真题）1.（ 2012 年全国高考课标卷）如图，直三棱柱111ABCA B C中112ACBCAA，D是棱1AA的中点，BDDC1。（1）证明：BCDC1；（2）求二面角11CBDA的大小。2. （ 2012 年全国高考全国卷一）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，22AC，2,PAE是PC上的一点，2PEEC。（1）证明：PC平面BED；（2）设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小。3. （ 2011 年全国高考课标卷）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60 ,AB=2AD,PD 底面 ABCD 。( ) 证明： PA BD；( ) 若 PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。ECBDAP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 4.（ 2011 年全国高考全国卷一）如图，四棱锥SABCD中，/ /ABCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，2,1ABBCCDSD。( ) 证明：SD平面SAB；( ) 求AB与平面SBC所成角的大小。5.（2010 年全国高考全国卷一）如图，四棱锥 S-ABCD中，SD底面 ABCD ，AB/DC， ADDC ，AB=AD=1 ，DC=SD=2 ，E为棱 SB上的一点，平面EDC平面 SBC 。（）证明： SE=2EB ；（）求二面角A-DE-C的大小。6.（2010 年全国高考全国卷二） 如图，直三棱柱111ABCA B C中，ACBC，1AAAB，D为1BB的中点，E为1AB上的一点，13AEEB。（）证明：DE为异面直线1AB与CD的公垂线；（）设异面直线1AB与CD的夹角为45，求二面角111AACB的大小。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 二面角（ 2010-2012 真题）参考答案1. （ 2012 年全国高考课标卷）【试题解析】 （1）证明：在Rt DAC中，ADAC得：45ADC，同 理 ：1114590A DCCDC得 ：111,D CD C D CB DD C面1BCDDCBC。（ 2）解：11,DCBC CCBCBC面11ACC ABCAC，取11A B的中点O，过点O作OHBD于点H，连接11,C O C H，1111111ACB CC OA B，面111A B C面1A BD1C O面1A BD。1OHBDC HBD得：点H与点D重合。且1C DO是二面角11CBDA的平面角。设ACa，则122aC O，1112230C DaC OC DO。既二面角11CBDA的大小为30。2. （ 2012 年全国高考全国卷一）【试题解析】 设ACBDO, 以O为原点，OC为x轴，OD为y轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,0,0),(2,0,2),ACP设(0,0),(0,0),( , , )BaDaE x y z。（）证明：由2PEEC得22(,0,)33E， 所以(22,0,2)PC，22(, ,)33BEa，(0,2 ,0)BDa，所以22(22,0,2) (, ,)033PC BEa，(22,0,2) (0,2,0)0PC BDa。所以PCBE,PCBD，所以PC平面BED；（）解：设平面PAB的法向量为( , , )nx y z，又(0,0, 2),(2,0)APABa，由0,0n APn AB得2(1,0)na，设平面PBC的法向量为( , , )mx y z，又(2, 0),( 22, 0, 2)BCaCP，由0,0m BCm CP，得2(1,2)ma，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 由于二面角APBC为90，所以0m n，解得2a。所以(2,2,2)PD， 平面PBC的法向量为(1, 1,2)m， 所以PD与平面PBC所成角的正弦值为|12| |PD mPDm，所以PD与平面PBC所成角为6。3. （ 2011 年全国高考课标卷）【试题解析】 （）因为60 ,2DABABAD, 由余弦定理得3BDAD，从而BD2+AD2= AB2，故 BDAD 又 PD底面 ABCD ，可得 BDPD ，所以 BD平面 PAD. 故 PABD 。（）如图，以D 为坐标原点， AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则1,0,0A,03,0B，,1,3,0C,0,0,1P。( 1,3,0),(0,3,1),( 1,0,0)ABPBBC设平面 PAB的法向量为n=（x,y,z ） ，则即3030 xyyz，因此可取n=( 3,1,3)。设平面 PBC的法向量为m，则=0=0m PBm BC，可取m=（0，-1 ，3） ，所以427cos,727m n。故二面角A-PB-C 的余弦值为2 77。4. （ 2011 年全国高考全国卷一）【试题解析 ( ) 证明： 取AB中点E， 连结DE， 则四边形BCDE为矩形，2DECB。连结SE，则SEAB，3SE。又1SD, 故222EDSESD, 所以DSE为直角。（3 分）由ABDE,ABSE,DESEE, 得AB平面SDE, 所以ABSD。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 即SD与两条相交直线AB、SE都垂直，所以SD平面SAB。（6分）另解 : 由已知易求得1,5,2SDADSA, 于是222SASDAD，可知SDSA。同理可得SDSB, 又SASBSI， 所以SD平面SAB。（6 分）( ) 解：由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE。作SFDE, 垂足为F, 则SF平面 ABCD,32SDSESFDE。作FGBC, 垂足为G, 则1FGDC。连结SG，则SGBC，又,BCFG SGFGGI, 故BC平面SFG,平面S BC平面SFG。（9分）作FHSG,H为垂足 , 则FH平面SBC。37SFFGFHSG, 即F到平面SBC的距离为217。由于/ /EDBC, 所以/ /ED平面SBC,E到平面SBC的距离d也为217，设AB与平面SBC所成的角为, 则21sin7dEB,21arcsin7。（12 分）6. （ 2010 年全国高考全国卷一）【试题解析】 解法一：（）证明：连结BD ，取 DC的中点 G ，连结 BG ，由此知 DG=GC=BG=1, 即 DBC为直角三角形，故 BCBD 。又 SD 平面 ABCD ，故 BC SD ，所以， BC 平面 BDS ， BC DE 。作 BK EC ，K为垂足，因平面EDC 平面 SBC ，故 BK平面 EDC ，BK DE。即 DE与平面 SBC内的两条相交直线BK 、BC都垂直。所以 DE平面 SBC ，DE EC ， DE SB 。SB=6DBSD22，DE=32SBDBSD，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - EB=36DEDB22，SE=SB-EB=362。所以 SE=2EB 。（）解：由SA=5ADSD22，AB=1，SE=2EB ，AB SA ，知AE=1AB)32(SA)31(22，又 AD=1 ，故 ADE为等腰三角形。取 ED中点 F，连结 AF ，则 AF DE ， AF=36DFAD22。连结 FG ，则 FG EC ，FGDE ，所以， AFG是二面角 ADE C的平面角。连结 AG ，AG=2，FG=36DFDG22，21FGAF2AGFGAFAFGcos222，所以，二面角A DEC的大小为 120。（2010 年全国高考全国卷二）【试题解析】 解法一：（）证明：连接1A B，记1A B与1AB的交点为 F。因为面11AA B B为正方形，故11A BAB，且1AFFB。又13AEEB，所以1FEEB，又 D为1BB的中点，故/ /DEBF，1DEAB。作CGAB，G为垂足，由ACBC知， G为 AB中点。又由底面ABC面11AA B B，得CG面11AA B B. 连接 DG ，则1/ /DGAB，故DEDG，由三垂线定理，得DECD。所以 DE为异面直线1AB与 CD的公垂线。（）解：因为1/ /DGAB，故CDG为异面直线1AB与 CD的夹角，45CDG。设2AB，则12 2,2,2,3ABDGCGAC。作111B HAC，H 为垂足 . 因为底面111A B C面11AAC C，故1B H面11AAC C，又名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 作1HKAC，K为垂足， 连接1B K，由三 垂线定理， 得11B KAC，因此1B KH为二面角111AACB的平面角。221111111111()2 223A BACA BB HAC，22111133HCB CB H，2212( 3)7AC，1112 33 7AAHCHKAC，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 二面角（ 2012 长春市调研题汇编）1.（ 2012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合暨长春市二模）如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，90ADE，DEAF /，22AFDADE。求证：/AC平面BEF；求平面BEF与平面ABCD所成锐角的正切值。2. （ 2012 年 东 北 三 省 四 市 教 研 协 作 体 等 值 诊 断 联 合 暨 长 春 市 三 模 ） 已 知 四 棱 柱1111ABCDA B C D中，1AAABCD底面,90ADC，ABCD，122ADCDDDAB。求证：11ADB C；求二面角11ABDC的正弦值；（3）求四面体11A BDC的体积。ABCDFEA1CD1DABB1C1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 3. （2012 年长春市高三毕业班第四次调研测试）如图，棱柱1111DCBAABCD的所有棱长都等于2，601ACAABC，平面11CCAA平面ABCD。证明：1AABD；求二面角CAAD1的余弦值；在直线1CC上是否存在点P, 使BP平面11CDA？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由。4.（ 2012 年东北三省三校：东师附中、哈师附中、辽宁省实验中学2013 届高三第一次联合模拟测试一） 如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD ABC D ，DD 底面ABCD，DAB=60，AB=2AD，DD =3AD，E、F分别是AB、D E的中点。（1）求证：DFCE；（2）求二面角AEFC的余弦值。5.（ 2012 年东北四校：东师附中、吉林省实验中学、哈尔滨三中、辽宁省实验中学联考一）已知斜三棱柱ABC A1B1C1的底面是正三角形，侧面 ABB1A1是菱形， 且160A AB，是 A1B1的中点，.MBAC（1）求证：MB平面 ABC ；（2）求二面角A1BB1 C的余弦值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 二面角（ 2012 长春市调研题汇编）参考答案1. （ 2012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合暨长春市二模）【试题解析】 解：证明： 【方法一】 . 设ACBDO，取BE中点G，连结OGFG、，则OGDE且OG12DE。DEAF /，AFDE2，AFOG且AFOG，AFGO是平行四边形，AOFG /。FG平面BEF,AO平面BEF, /AO平面BEF，即/AC平面BEF。 (6分) 【方法二】 . 如图建立空间直角坐标系，设平面BEF的一个法向量为( , , )nx y z，则00n FEn FB，而( 2,0,1)(0,2,1)FEFB，2020 xzyz，令1x，则1y，2z，(1,1,2)n. ( 2,2,0)AC， n AC0，nAC，而AC平面BEF，/AC平面BEF。 (6分) 设平面ABCD与平面BEF所成二面角的平面角为，由条件知是锐角，由知平面BEF的法向量为(1,1,2)n。又平面ABCD与z轴垂直，平面ABCD的法向量可取为1(0,0,1)n，11126cos| cos,|316nnn nnn，2tan2即为所求。2. （ 2012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合暨长春市三模）【试题解析】 解：由四边形11AADD是正方形，DAAD11。又1AA平面ABCD，90ADC，DCADDCAA,1，而1AAADA，DC平面DDAA11，DCAD1。又1A DDCD，ABCDFEyxz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 1AD平面11DCBA，从而CBAD11。 (4分) 以D为坐标原点，DA，DC,1DD为坐标轴建立空间直角坐标系Dxyz，则易得)0, 1 ,2(B)2, 0,2(),2, 2, 0(11AC。设平面1A BD的法向量为),(1111zyxn，则由00111DAnDBn，求得) 1, 2, 1(1n；设平面BDC1的法向量为),(2222zyxn，则由00122DCnDBn，求得)2,2, 1(2n，则根据66cos2121nnnn,于是可得630sin。 (9分 ) (3) 设所给四棱柱的体积为V,则61AASVABCD，又三棱锥ABDA1的体积等于三棱锥111CDAB的体积，记为1V；而三棱锥111CDAD的体积又等于三棱锥CBDC1的体积，记为2V，则由于3221221311V，3422221312V，所求四面体的体积为22221VVV。3. （ 2012 年长春市高三毕业班第四次调研测试）【试题解析】 证明：由条件知四边形ABCD是菱形，所以BDAC。而平面11CCAA平面ABCD，平面11AACC平面ABCDAC，所以BD平面11AA CC。又1AA平面11AA CC，所以1AABD. (3分) 解：因为60ABC，ABCD是菱形，所以1ACABAA。而160A AC，所以1A AC是正三角形 . 令BDACO，连结1A O，则1,BD AC OA两两互相垂直 . 如图所示，分别以1,BD AC OA所在的直线为, ,x y z轴建立空间直角坐标系，则(3,0,0)D，(0,1,0)A，1(0,0,3)A，( 3,1,0)DA，1( 3,0,3)DA，平面11AACC的法向量为(1,0,0)n。设( , , )mx y z是平面1DAA的法向量，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 1030300330m DAxyyxxzm DAxz。令1x，则3,1.yz即(1, 3,1)m。设二面角CAAD1的平面角为，则是锐角，并且15coscos,.5113 1m nm nmn，因此二面角CAAD1的余弦值为55。 (8分) 解 ： 设 这 样 的 点P存 在 ， 且1CPCC， 而1( 0 , 1, 0 ) ,(0 , 2 ,3 )CC， 所 以( 0 , 1,3)P。又(3,0,0)B，所以(3,1,3 )BP，1( 3,2,3)DC。设( , , )kx y z是平面11DAC的法向量，则1103230000330k DCxyzyxzk DAxz。令1z，则1x，即( 1,0,1)k. 要使BP平面11CDA当且仅当0( 1)(3)0(1)130k BP，所以1。这说明题目要求的点P存在，实际上，延长1C C到点P，使得CP1C C即得到所求的点P。(12 分) 4. （2012 年东北三省三校：东师附中、哈师附中、辽宁省实验中学2013 届高三第二次联合模拟测试一）【试题解析】（）证明：,60ADAEDAEDAE为等边三角形，设1AD，则1,3,2,90DECECDDEC， 即CEDE。 (分 ) DD底面ABCD，CE平面ABCD，CEDD。CEDECEDD ECEDDCEDFDFDD EDEDDD平面平面。 (分) （）解：取AE中点H，则12ADAEAB，又60DAE, 所以DAE为等边三角形。则DHAB，DHCD。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - A1CBAB1C1MH分别以DHDCDD、所在直线为xyz、 、轴建立空间直角坐标系，设1AD, 则3 1313 1 3(0,0,0),(,0),(,0),(0,0,3),(,),(0, 2,0)222244 2DEADFC, 31 333(,),(0,1,0),(,0)44 222EFAECE。设平面AEF的法向量为1( , )nx y z，则31304420 xyzy。取1(23,0,1)n， 平面CEF的法向量为2( , , )nx y z，（8 分）则313044233022xyzxy取2(33,3, 2)n，（10 分）13130401320,cos212121nnnnnn，所以二面角AEFC的余弦值为13013。（12 分）5.（ 2012 年东北四校：东师附中、吉林省实验中学、哈尔滨三中、辽宁省实验中学联考一）【试题解析】 （）侧面11AABB是菱形 且o601ABA11A BB为正三角形。又点M为11A B的中点11BMA B。AB11A BBMAB。由已知ACMBMB平面ABC。（4 分）（）（解法一）连接MC1，作1BBMH于H，连接HC1。由（）知MC1面11ABBA，11BBMC。又1BBMH1BB面MHC1HCBB11。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - A D N M E G B MHC1为所求二面角的平面角。（8 分）设菱形11AABB边长为 2，则31MC，在MBBRt1中，由MBMBBBMH11知：23MH。在MHCRt1中，2tan11MHMCMHC，55cos1MHC。即二面角11ABBC的余弦值为55。（12 分）解法二：如图建立空间直角坐标系：设菱形11AABB边长为 2，得10, 1,3B，0,2,0A，3,1,0C，10,1,3A。则10,1,3BA，0,2,0BA，10, 1, 3BB，3,1,0BC。设面11AABB的法向量1111,nx y z，由1nBA,11nBA得：1112030yyz，令11x，得11,0,0n。（8 分）设面11BBC C的法向量2222,nxyz， 由21nBB，2nBC得：22223030yzxy, 令32y，得1 ,3, 12n。（10 分）得55511,cos212121nnnnnn。又二面角11ABBC为锐角，所以所求二面角的余弦值为55。（12 分）A1CBAB1C1Mzxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -