2022年向量正余弦定理知识点.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次章 平面对量1、向量：既有大小,又有方向的量数量：只有大小,没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度（模）零向量：长度为 0 的向量叫零向量 , 记作： 0 零向量的方向是任意的单位向量：长度等于 1个单位的向量 与 AB 共线的单位向量是|AB| ；AB平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 记作： a b ,规定零向量和任何向量平行；留意：a 、 b 叫做平行向量,相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性（由于有 0 ；两个向量平行包含两三点 A、 、C 共线 AB、AC 共线；相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量有传递性相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是 a ；以下命题：（1）如 ab ,就 ab ；（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同, 终点相同；（ 3）如 ABDC ,就 ABCD 是平行四边形；（4）如 ABCD 是平行四边形, 就 ABDC ；（5）如ab bc ,就 ac ；（6）如a b b c,就a/c ；其中正确选项 _ 2. 向量的表示方法 ：（1）几何表示：用带箭头的有向线段表示,如（答：（4）（5）AB ,留意起点在前,终点在后；（2）符号表示：用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等；（3）坐标表示：在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基底,就平面内的任一向量a 可表示为axiy jx y ,称,x y 为向量 a 的坐标, a ,x y 叫做向量 a 的坐标表示； 假如向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；3、向量加法运算：三角形法就的特点：首尾相连平行四边形法就的特点：共起点名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三角形不等式：abab学习必备欢迎下载ab （几何意义：两边之和大于第三边,两边之差小于第三边）运算性质：交换律：abbca ；bc ；x 1x 2,y 1y 2结合律：abaa00aa x 2,y 2,就ab坐标运算：设ax y 1,b4、向量减法运算：三角形法就的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量（留意：此处减向量与被减向量的起点相同）,x 2,y 2,aaCCbC坐标运算：设ax y 1 1,bx 2,y 2,就abx 1x 2,y 1y 2设、两点的坐标分别为x y 1 1b就ABx2x 1,y2y15、向量数乘运算：实数与向量 a的积是一个向量,记作a 0时,a 的方向与 a 的方向相aa ；当0 时,a 的方向与 a 的方向相同；当反；当0时,a0a ；abab 运算律：aa ；aa坐标运算：设ax y ,就ax yx ,y 6、向量共线定理：名师归纳总结 向量a a0与 b 共线,当且仅当有唯独一个实数,使 ba第 2 页,共 5 页设ax y 1,bx 2,y 2,其中b0,就当且仅当x y2x y 10时,向量 a 、b b0共线7、平面对量基本定理： 假如1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1、2,使a1e 12e （不共- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 线的向量1e 、学习必备欢迎下载e 作为这一平面内全部向量的一组基底 2例：（1）如a1,1, b1, 1,c 1,2,就 c_ （答：1 2a3b ）；2（2）以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的是（答： B）； A. e 10,0,e 21, 2 B. e 1 1,2,e 25,7 C. e 13,5,e 26,10 D. e 12, 3,e 21,3248、分点坐标公式： 设点是线段12上的一点,1、2的坐标分别是x y 1 1,x 2,y 2,当12时,点的坐标是x 1x 2,y 1y 2119、平面对量的数量积：（1）两个向量的夹角 ：对于非零向量 a , b ,作 OA a OB b ,AOB0 称为向量 a ,b 的夹角,当0 时, a ,b 同向,当时, a , b反向,当时, a , b 垂直；2（2）平面对量的数量积 ：假如两个非零向量 a ,b ,它们的夹角为,我们把数量 | a | b | cos 叫做 a 与 b 的数量积 （或内积）,记作： a b ,即 a b a b cos规定：零向量与任一向量的数量积是0,留意数量积是一个实数, 不是向量；名师归纳总结 （3）平面对量的数量积的性质：设 a 和 b 都是非零向量,其夹角为a b ；第 3 页,共 5 页就aba b0当 a 与 b 同向时, a ba b ；当 a 与 b 反向时, a ba a2 a2 a 或 aa a x x 1 2y y 1 2 a ba b （4）运算律： a bb a ；aba bab ； abca cb c （5）坐标运算： 设两个非零向量ax y 1 1,bx 2,y 2,就a b如ax y ,就a2x22 y ,或a2 x2 y y y 20（6）向量垂直的充要条件 ：aba b0|ab| |ab|x x 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设 a 、 b 都是非零向量,ax 1,学习必备b欢迎下载,是 a 与 b 的夹角,就y 1,x 2,y 2名师归纳总结 cosa bx 1 2x x 2y y 2y 2 2第 4 页,共 5 页a by 1 2x 2 210、 b 在 a上的投影 为 |b| cos,它是一个实数,但不肯定大于0；11、平移公式 ：假如点P x y 按向量ah k 平移至P x,y,就xxh；yyk曲线f x y , 0按向量ah k平移得曲线f xh yk0. 12、重心问题 ：PAPBPC0P 为ABC 的重心；重心坐标公式： 在ABC 中,如A x y 1 1,B x 2,y 2,C x 3,y 3,就其重心的坐标为Gx 1x2x 3,y 1y 2y3；33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载正余弦定理1、正弦定理： 在 C 中,a、b 、c分别为角、 C 的对边, R 为 C的外接圆的半径,就有 a b c 2 Rsin sin sin C2、正弦定理的变形公式： a 2 R sin,b 2 R sin,c 2 R sin C ； sin a, sin b, sin C c；2 R 2 R 2 R a b c sin :sin :sin C ； a b c a b csin sin sin C sin sin sin C3、三角形面积公式：S C 1bc sin 1ab sin C 1ac sin2 2 22 2 2 2 2 24、余弦定理： 在 C 中,有 a b c 2 bc cos,b a c 2 ac cos,2 2 2c a b 2 ab cos C 2 2 2 2 2 2 2 2 25、余弦定理的推论：cos b c a,cos a c b,cos C a b c2 bc 2 ac 2 ab2 2 26、设 a 、b 、c是 C 的角、C 的对边,就：如 a b c ,就 C 90；如 a 2b 2c ,就 2C 90；如 a 2b 2c ,就 2C 907、射影定理：a b cos C c cos , B b a cos C c cos A c a cos B b cos A 8 、解三角形常用三角关系式：ABC; BcosCsinABsinC,cosAsinA2BcosC,cosA2BsinC229、判定三角形外形的方法：化边为角；化角为边注：（1）判定一个三角形为等腰三角形时,形或者等腰直角三角形要进一步争论它是否可能是等边三角名师归纳总结 （2）在ABC 中,由sin2Asin2 B不肯定有ABBAB 或AB2第 5 页,共 5 页由于sin2Asin2B2A2B 或2A2- - - - - - -