2022年导数知识点归纳及应用5.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 导数学问点归纳及应用 一、相关概念 1导数的概念 略 二、导数的运算1基本函数的导数公式: B 2x =x12 C3x =3 xlog 3e D x2cosx =-2xsinx C0;（C为常数）x nnx n1; sinxcosx ; cos sinx; e xe x; axx alna ; ln x1; xlogax1logae. x例 1：以下求导运算正确选项 A x+111logxx2ln2导数的运算法就法就 1：u'v 'u'u'v'.如 C为常数 , 就Cu 'Cu'.法就 2：uv v' uv.法就 3：0）；uu'v2uv '（vvv3. 复合函数的导数形如 y=fx的函数称为复合函数；复合函数求导步骤：分解 >求导 >回代；法就： y|X= y |U·u|X或者f f* x . 练习： 求以下各函数的导数：（1）yxx5sinx;（2）yx1 x2x3 ;（3）ysinx12 cos 2x4;（4）y11x11x.x22三、导数的几何意义名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数 y=f （x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （x）在点 p（ x 0 ,f （x 0 ）处的切线的斜率；也就是说,曲线 y=f （x）在点 p（x 0 ,f （x 0）处的切线的斜率是f （x 0 ）；1,就p 点的坐标为（）相应地,切线方程为yy 0 =f/ （x 0 ）（xx 0 ）；例：曲线f x =x 3+x-2在p 处的切线平行于直线y=4x-A 1,0B 2,8C 1,0 和 1, 4D 2,8 和 1, 4四、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1）假如'fx0,就fx在此区间上为增函数；（0,2）假如'fx0,就fx在此区间上为减函数；（2）假如在某区间内恒有'fx0,就fx为常数 ；例： 函数fx x33 x21是减函数的区间为 ,2 C ,0 DA2 ,B2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负； 曲线在微小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正；例： 函数fx x32 ax3 x,9已知fx 在x D3时取得极值,就a = A 2 5 B3 C4 3最值：在区间 a ,b 上连续的函数,fx 在 a ,b 上必有最大值与最小值；但在开区间（a,b）内连续函数f （x）不肯定有最大值,例如f x 3 xx 1,1；函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点邻近的函数值得出来的；函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值就可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值；例： 函数fxx33x1在闭区间 -3 ,0 上的最大值、最小值分别是_. 第 2 页,共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （数学选修1-1 ）第一章导数及其应用 基础训练组 一、挑选题3函数y=3 x+x的递增区间是（） D ,1A0, B1, C,）4f x ax33 x22, 如f' 14, 就 a 的值等于（A19 B16 C 313 D 310336函数yx44 x3在区间2,3 上的最小值为（）A 72 B 36 C12 D 0二、填空题1如f x 3 x,f'x 03,就x 的值为 _；2曲线yx34x在点 1, 3 处的切线倾斜角为_；3函数ysin x x的导数为 _；4曲线ylnx在点M e ,1处的切线的斜率是_,切线的方程为_；5函数yx3x25x5的单调递增区间是_ ；三、解答题1求垂直于直线2x6y10并且与曲线yx33x25相切的直线方程；3求函数f x 5 x5 x45 x31 在区间,1 4上的最大值与最小值；4已知函数yax3bx2,当x1时,有极大值 3 ；名师归纳总结 （1）求a b 的值；（2）求函数 y 的微小值；第 3 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 经典例题选讲例 1.已知函数yfxx的图象如下列图（其中f x 是函数fx的导函数）,下面四个图象中yfx的图象大致是 例2. 已 知 函 数fx x3bx2axd的 图 象 过 点P（ 0,2 ） , 且 在 点M,1f1 处 的 切 线 方 程 为6xy70. xfx的解析式；（）求函数yfx的单调区间 . （）求函数y例 4.设函数f2 bxcx xR ,已知 f x 是奇函数；3 xg x f例 5.（）求 b 、 c 的值；2（）求g x 的单调区间与极值；a、b 的值；已知 f （x）=x3axbxc在 x=1,x=2时,都取得极值；求3例 7：已知函数f x 2 xax2 a2x 3 a exR ,其中 aR名师归纳总结 （1）当a0时,求曲线yf x 在点1,f1处的切线的斜率；第 4 页,共 12 页（2）当a2时,求函数f x 的单调区间与极值；3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 导数学问点归纳及应用 老师 一、相关概念 1导数的概念 略 二、导数的运算1基本函数的导数公式: 12 3x =3 xlog 3e D x2cosx =-2xsinx C0;（C为常数）x nnx n1; sinxcosx ; cos sinx; e xe x; axx alna ; ln x1; xlogax1logae. x例 1：以下求导运算正确选项 A x+111 Blog2x =x Cxx2ln 解析 ：A 错, x+111xx2 B正确, log2x =x12lnC错, 3x=3 xln3 D错, x2cosx =2xcosx+ x2-sinx 2导数的运算法就法就 1：u'v 'u'u'v'.如 C为常数 , 就Cu 'Cu'.法就 2：uv v' uv.法就 3：0）；uu'v2uv '（vvv3. 复合函数的导数形如 y=fx的函数称为复合函数；复合函数求导步骤：分解 >求导 >回代；法就： y|X= y |U·u|X或者f f* x . 练习： 求以下各函数的导数：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）yxx5sinx;（2）yx1 x2x3 ;（3）ysinx12 cos 2x4;（4）y11x11x.x22解： 1 yx1x5sinxx3x3sinx,22x2x2xx2cosx.yx3x3x2sinx3x53x22 x3sin222（2）y=（x2+3x+2）（x+3） =x3+6x2+11x+6, y=3x2+12x+11. （3） y=sinxcosx1sinx,222y1sinx1sinx 1cosx .222（4）y11x11x1x1x12x, 1x1xy12x2 1x x 12 2. 12x四、导数的几何意义函数 y=f （x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （x）在点 p（ x 0 ,f （x 0 ）处的切线的斜率；也就是说,曲线 y=f （x）在点 p（x 0 ,f （x 0）处的切线的斜率是f （x 0 ）；1,就p 点的坐标为（）相应地,切线方程为yy 0 =f/ （x 0 ）（xx 0 ）；例：曲线f x =3 x+x-2在p 处的切线平行于直线y=4x-A 1,0B 2,8C 1,0 和 1, 4D 2,8 和 1, 4四、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1）假如'fx0,就fx在此区间上为增函数；（0,2）0,2）假如'fx0,就fx在此区间上为减函数；（2）假如在某区间内恒有'fx0,就fx为常数 ；例： 函数fx x33 x21是减函数的区间为 A2 ,B,2 C ,0 D 解析 ：由f/x 32 x6x<0,得 0<x<2 函数fx x33 x21是减函数的区间为（2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负； 曲线在微小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例： 函数fx x32 ax3 x,9已知fx 在x D3时取得极值,就a = 5 A 2 B3 C4 f/3 x22 ax3,又fx 在x 解析 ：x 3时取得极值f/3 306 a0就 a=5 3最值：在区间 a ,b 上连续的函数,fx 在 a ,b 上必有最大值与最小值；但在开区间（a,b）内连续函数f （x）不肯定有最大值,例如f x x 3x 1,1；函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点邻近的函数值得出来的；函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值就可以在端点取得,有极值的未必有最 值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值；例： 函数fxx33x1在闭区间 -3 ,0 上的最大值、最小值分别是 . >0,第 7 页,共 12 页 解析 ：由f'x 32 x3=0,得x1,1时,f/ x当x1时,f/ x >0,当1x1时,f/ x <0,当x故f x 的微小值、极大值分别为f1 3、f 1 1,3、 -17 ；而f317、f01故函数fx x33x1在-3 ,0 上的最大值、最小值分别是名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （数学选修1-1 ）第一章导数及其应用 基础训练组 一、挑选题3函数y=3 x+x的递增区间是（） D ,1A0, B1, C,）4f x ax33 x22, 如f' 14, 就 a 的值等于（A19 B16 C 313 D 310336函数yx44 x3在区间2,3 上的最小值为（）A 72 B 36 C12 D 0二、填空题1如f x 3 x,f'x 03,就x 的值为 _；2曲线yx34x在点 1, 3 处的切线倾斜角为_；3函数ysin x x的导数为 _；4曲线ylnx在点M e ,1处的切线的斜率是_,切线的方程为_；5函数yx3x25x5的单调递增区间是_ ；三、解答题1求垂直于直线2x6y10并且与曲线yx33x25相切的直线方程；3求函数f x 5 x5 x45 x31 在区间,1 4上的最大值与最小值；4已知函数yax3bx2,当x1时,有极大值3；（1）求a b 的值；（2）求函数 y 的微小值；第 8 页,共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （数学选修1-1 ）第一章导数及其应用 基础训练 A 组 一、挑选题3C y''=3 x2+1>0对于任何实数都恒成立' y30; 当 x1 时,y'004D f 3ax26 , x f' 13a64,a1036D y'4 x34,令y'0,4x340,x1, 当x1 时 ,得y 微小值y| x10,而端点的函数值y| x227,y| x72,得y min二、填空题11y'3f'x 03x 023,x 01 '1,3 4sinxx23 42 x4,ky'|x11,tan3xcosxsinxy'sin' x xsinxxcosx2 xx2x241, exey0y'1,ky'| x e1,y11xe,y1 exee5 3,1,0,得x5,15,令y'3x22x5或x3三、解答题1解：设切点为P a b ,函数yx33x25的导数为y'3x26x3 x32 x5切线的斜率k' y| x a3 a26 a3,得a1,代入到y得b3,即P 1, 3,y33x1,3xy60；3解：fx 5x4203 x15 x252 xx3 x1, 当fx0得x0,或x1,或x3, 0 1,4 ,1 1,4 , 3 1,4列表 : x1 1,000, 42625 ,最小值为 0 ；第 9 页,共 12 页f' 0+ 0+ f x 01又f00,f 10；右端点处f42625；函数y5 x5x45x31在区间 1,4 上的最大值为4解：（1）y'2 3 ax2 bx 当x1时,y'| x13 a2 b0,y| x1ab3,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即3 aa2 b0,a,6,b '9218x ,令y'0,得x0, 或x1b3（2）y6x392 xy18 xy 微小值y| x00 经典例题选讲例 1.已知函数yfx x 的图象如下列图（其中f x 是函数fx的导函数）,下面四个图象中yfx的图象大致是 解析 ：由函数yfxx的图象可知：当x1x1时,fxx<0,fx>0,此时fx增当x0时,fxx>0,fx<0,此时fx减01时,x当fx<0,f x <0,此时fx减当x1时,xfx>0,f x >0,此时fx增应选 C 例2. 已 知 函 数fx x3bx2axd的 图 象 过 点P（ 0,2 ） , 且 在 点M,1f1 处 的 切 线 方 程 为6xy70. 的解析式；第 10 页,共 12 页fx（）求函数y（）求函数yfx的单调区间 . 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（）由fx的图象经过P（ 0,2）,知 d=2,第 11 页,共 12 页所以fx x3bx2cx,2fx 3 x22 bxc .由在M,1f1 处的切线方程是6xy70,知6f170 , 即f1 ,1f16 .312 bc6 ,即 .12 bcc,3 解得,0bc3 .bc2b故所求的解析式是fx3 x3x23x.2（）fx3x26 x3 .令32 x6x3,0即x22 x10 .解得x 112,x212.当x12,或x12 时,fx0 ;当12x12 时,fx0 .故fxx33x23x2 在 1,2内是增函数,在121,2内是减函数,在12,内是增函数 . 例 4.设函数fx3 x2 bxcx xR ,已知g x f f x 是奇函数；（）求 b 、 c 的值；（）求g x 的单调区间与极值；解：（）fx3 x2 bxcx ,fx3 x22 bxc ；从而g x f x f x3bx2cx2 3 x2 bxc 3 x b3x2 c2 b xc 是一个奇函数,所以g00得c0,由奇函数定义得b3；（）由（）知g x 3 x6x,从而g x 2 3 x6,由此可知,2 和 2, 是函数g x 是单调递增区间；2,2 是函数g x 是单调递减区间；g x 在x2时,取得极大值,极大值为4 2 ,g x 在x2时,取得微小值,微小值为4 2 ；例 5.已知 f （x）=x3ax2bxc在 x=1,x=2时,都取得极值；3（1）求 a、b 的值；解：（ 1）由题意 f/（x）=3x22 axb的两个根分别为1 和23由韦达定理,得：12=2a,b123333就a1,b22例 7：已知函数f x 2 xax2 a2x 3 a exR ,其中 aR名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）当a0时,求曲线yf x 在点1,f1处的切线的斜率；第 12 页,共 12 页（4）当a2时,求函数f x 的单调区间与极值；3解：（I ）当a0 时,fxx2x e,f'x x22x ex,故f1' 3 e .所以曲线yfx 在点 ,1f 1 处的切线的斜率为3 e .（II ）f'xx2a2 x2 a24 ax e.令f'x0,解得x2a,或xa2. 由a2知,2aa2.3以下分两种情形争论；（1）如a2 ,就 32aa2. 当 x 变化时,f'x,fx的变化情形如下表：x,2 a2a2 a,a2a2a2,+ 0 0 + 极大值微小值所以fx 在,2 a,a2, 内是增函数,在2a,a2 内是减函数.函数fx 在x2 a 处取得极大值f2 a ,且f2a 3 ae2a.函数fx 在xa2 处取得微小值f a2 ,且f a2 43 a a e2.（2）如a2 ,就 32aa2,当 x 变化时,f'x,fx的变化情形如下表：x,a2a2a2,2 a2 a2 a,+ 0 0 + 极大值微小值所以fx 在 ,a2 ,2 a, 内是增函数,在a2,2 a 内是减函数；函数fx 在xa2 处取得极大值f a2 ,且f a2 43 a a e2.名师归纳总结 - - - - - - -