2022年复变函数试题库.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 复变函数论试题库精品资料欢迎下载fz 的极点,就lim z z 0fz _. 梅一 A111 10. 如0z是复变函数考试试题（一）名师归纳总结 1、|zz 0|1zdzn_. （ n 为自然数）三. 运算题（ 40 分）：第 1 页,共 14 页z 01. 设fz z1z2 ,求fz 在Dz:0|z|11 2.sin2zcos 2z _. 3. 函数sinz的周期为 _. 内的罗朗展式 . 2. |z |11zdz .4. 设fz2z11,就f z 的孤立奇点有 _. cos3. 设fz C327z1d,其中Cz:|z|3 ,试求f'1i.5. 幂级数nzn的收敛半径为 _. 4. 求复数wz1的实部与虚部 . n06. 如函数 fz 在整个平面上到处解析,就称它是_. z17. 如lim nz n,就lim nz 1z2n.z n_. 四. 证明题 .20分 1. 函数fz 在区域 D 内解析 . 证明：假如|fz | 在 D 内为常数,8.Resez,0_,其中 n 为自然数 . 那么它在 D 内为常数 . n z2. 试证 : f z z 1z 在割去线段0Rez1的 z 平面内能分出两9. sinz的孤立奇点为 _ . 个单值解析分支, 并求出支割线0Rez1上岸取正值的那支在z1z的值 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 复变函数考试试题（二）精品资料欢迎下载三. 运算题 . 40 分 名师归纳总结 二. 填空题 . 20 分 就1. 求函数sin23z的幂级数绽开式. z在正第 2 页,共 14 页1. 设zi,就|z|_,argz_,z_2.设fz x22xyi 1sin2 xy2,zxiyC,2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z l1ii fz m_. zi处的值 . |1）dz3. 运算积分：Iii|z|d z,积分路径为（1）单位圆（| z3. |zz 0|1zz 0n_.（ n 为自然数）的右半圆 . 4. 幂级数nzn的收敛半径为 _ . 4. 求z2sinzdz.n05. 如 z0是 fz的 m 阶零点且 m>0,就 z0是f' z的_零点 . z22fz 6. 函数 e z的周期为 _. 四. 证明题 . 20 分 7. 方程2z5z33z80在单位圆内的零点个数为_. 1. 设函数 fz在区域 D 内解析,试证：fz在 D 内为常数的充要条件是在 D 内解析 . 8. 设fz112,就fz 的孤立奇点有 _. z2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数fz|z|的不解析点之集为_. 复变函数考试试题（三）二. 填空题 . 20分 10. Res z11, _. 1. 2. 设 f z 2 1,就 f z 的定义域为 _. z 1函数 e z的周期为 _. 4z- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 如znzn2zi11n,就nlimnz_. 精品资料欢迎下载nn.nz nn的收敛半径 . 1nn2. 试求幂级数4. sin2cos2_. dz3. 算以下积分：Cz2ezd z9 ,其中 C 是| z|1 . 5. |zz 0|1zz 0n_.（n为自然数）z26. 幂级数nxn的收敛半径为 _. 4. 求z 92z 6z 28z20在| z|<1 内根的个数 . n07. 设fz z 211,就 f z 的孤立奇点有 _. 四. 证明题 . 20分 1. 函数fz 在区域 D 内解析 . 证明：假如|fz |在 D 内为常8.设z e1,就z_.数,那么它在 D 内为常数 . 9. 如0z 是fz 的极点,就lim z z 0fz _. 2. 设fz 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数R及 M,使得当|z|R时z 10. Res e n z 三. 运算题 . 40, 0 _. |fz |M|zn |,分 证明fz 是一个至多n 次的多项式或一常数；11. 将函数f z 2 z e 在圆环域 0z内展为 Laurent级数 . 复变函数考试试题（四）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二. 填空题 . 20 分 名师归纳总结 1. 设z11i,就Rezz 2_,Imz_. D 内2. 设fzzz e1,求Resfz ,.第 4 页,共 14 页22. 如lim n,就lim nz 1.zn_. 3. |z |29zzzidz . z nn23. 函数 e z的周期为 _. 4. 函数fz112的幂级数绽开式为_ 11z4. 函数f z ez1z有哪些奇点？各属何类型（如是极点,指明它5. 如函数 fz在复平面上到处解析,就称它是_. 6. 如函数 fz在区域 D 内除去有限个极点之外到处解析,就称它是的阶数） . 四. 证明题 . 20 分 的_. 7. 设C:| z|1,就Cz1dz_. 1.证明：如函数fz 在上半平面解析,就函数fz在下半平面解析. 8. sinz的孤立奇点为 _. 2. 证明z46z30方程在1|z|2内仅有 3 个根 . z复变函数考试试题（五）9. 如0z 是fz 的极点,就lim z z 0fz _. 10. R e sz e,0 _. zn二. 填空题 .（ 20 分）三. 运算题 . 40 分 1. 设z13 i,就|z|_,argz_,z_. 1. 解方程z310.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 当z_时,ze 为实数 . dz_. 精品资料欢迎下载z dz,1. 求复数z1的实部与虚部 . 3. 设z e1,就z_. z14. z e的周期为 _. 2. 运算积分：5. ILRe设C:| z|1,就Cz1在这里 L 表示连接原点到 1i 的直线段 . 名师归纳总结 6. 7. zRes e 1 , 0 _ . z如函数 fz在区域 D 内除去有限个极点之外到处解析,就称它是D 内3.求积分： I212 ada2,其中 0<a<1 . R第 5 页,共 14 页0cos4.应用儒歇定理求方程zz ,在 |z|<1 内根的个数,在这里的_ ；8. 函数fz112的幂级数绽开式为_. _.z 在| z|1 上解析,并且|z |1 . z四. 证明题 . 20 分 9. sinz的孤立奇点为 _. 1. 证明函数fz |z2|除去在z0外,到处不行微. z2. 设fz 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个数10. 设 C 是以为 a 心,r 为半径的圆周, 就Cz1ndza 及 M,使得当|z |R时（ n 为自然数）|fz |M|zn |,三. 运算题 . 40 分 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 :fz 是一个至多n 次的多项式或一常数. 精品资料欢迎下载ix ecosxisinx 称为 _. 10.公式二、运算题（ 30 分）名师归纳总结 复变函数考试试题（六）1、lim n26in. ,试求f1i. 第 6 页,共 14 页1.一、填空题（ 20 分）2、设f z C327z1d,其中Cz z31.如znn2i11n,就 limnz_. 1nn2.设f z 2 z11,就f z 的定义域为3、设f z ez1,求 Re s f z i , . 2 z_. 3.函数 sin z的周期为 _. 4、求函数3 sin z在 0z内的罗朗展式 . 4.sin2zcos2z_. z66. 5、求复数wz1的实部与虚部 . 5.幂级数nzn的收敛半径为 _. z1n06、求e3i的值 . 6.如0z 是f z 的 m 阶零点且m1,就z 是f z 的_零三、证明题（ 20 分）点. 1、 方程z79z66z310在单位圆内的根的个数为7.如函数f z 在整个复平面到处解析,就称它是_. 2、 如函数f u x y , iv x y 在区域 D 内解析,v x y 等于常数,8.函数f z z 的不解析点之集为_. 就f z 在 D 恒等于常数 . 9.方程25 zz33z80在单位圆内的零点个数为_. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、 如0z 是f z 的 m 阶零点,就0z 是1的 m 阶极点 . 精品资料欢迎下载试卷一至十四参考答案f z 复变函数考试试题（一）参考答案二填空题运算以下积分 （分）1.2in1；2. 1；3. 2k, kz ；n4. zz. i ；5. 0n11 1 z2sinz2dz；2 z4z22dz2 zz6. 整函数；7. ；8. n11.；n9. 0；3z2运算积分2d（分）10. . 0 53cos三运算题 . zn1求以下幂级数的收敛半径（分）1. 解由于 0z1,所以 0z11n11inn z；2n1 .2n zf z z1z211211n0n n1zz22设f z my32 nx yi x3lxy2为复平面上的解析函数,试确定 l ,02m , n 的值（分）2. 解由于Re s f z limz 2cos zlim1z1 , 三、证明题设函数f z 在区域 D 内解析,f z 在区域 D 内也解析, 证明f z 必sin为常数（分）z2z2z2试证明azazb0的轨迹是始终线,其中a 为复常数, b 为实常数（分）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - Res f z limz 2cos zlim1 sinz1. 0. 精品资料欢迎下载u2,v 2c2. 1 令f z uiv,就f z 2uu xvv x0两边分别对,x y 求偏导数 , 得z2z2z2uu yvv y0 2 所以z21dz z2iRes f z Res f z 由于函数在D 内解析 , 所以uxvyuyv . 代入2 就上述方程组变cosz2z2名师归纳总结 3. 解 令 3271, 就它在 z 平面解析 , 由柯西公式有在z3为第 8 页,共 14 页uuxvv x0. 消去u 得 , u2v2vx0. 内, . 2 bvu xuvx0f z c dz2i . z1如u2v20, 就f z 0为常数 . 所以f1i2i z1i2i13 6 2 613 i . 2如xv0, 由 方 程1 2 及C .R 方 程 有ux0,uy0, 4. 解 令 zabi , 就vy0. wz11z2112 a1b i1 a2 1ab2z1a2 12 b2 1 2 b21所以uc vc . c c 为常数 . 所以f c 1ic 为常数 . 故Rez112a12, Imz1a2bb2. z1a2 1bz12 12. 证明f z z 1z 的支点为z0,1. 于是割去线段0Rez1的四. 证明题 . 1. 证明设在 D 内f z C . z 平面内变点就不行能单绕0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支. 由于当 z 从支割线上岸一点动身,连续变动到z0,1时, 只有 z 的幅角- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 增加. 所以z 的幅角共增加2精品资料, 欢迎下载kk0,1. 就f zrei2k,f z . 由已知所取分支在支割线上岸取正值2z 1又由于在正实轴去正实值,所以0. 名师归纳总结 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在zn1的幅角为2, 所以f i i e4. 第 9 页,共 14 页故f 12e2i2i . 3. 单位圆的右半圆周为zi e, 22. 所以iizdz2i dei e222 i . 复变函数考试试题（二）参考答案21；4. 1；4. 解z2sinzdz2isinz z22icoszz2=0. 二. 填空题z221.1 ,2, i ；2. 31sin 2i ；3. 2i0nn1四. 证明题 . 1. 证明 必要性 令f z c 1ic ,就f z c 1ic . c c 为实常数 . 5. m1. 9. R；令u x yc v x yc . 就uxvyuyvx0. 6. 2k i , kz . 7. 0；8. i ；即 , u v 满意C .R , 且ux,vy,uy,v 连续 , 故f z 在 D 内解析 .310. 0. 充分性 令f z uiv , 就f z uiv , 三. 运算题由于f z 与f z 在 D 内解析 , 所以1. 解sin2z3n0n 1 23 z2n1n0n 1 22n1z6uxvy,uyv , 且uxvyvy,uyv xvx. . 2n1.2n1.比较等式两边得uxvyuyv x0. 从而在 D 内u v 均为常数,故2. 解 令zrei. f z 在 D 内为常数 . 2. 即要证 “ 任一n次方程a zna zn1a n1zan0a 00- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有且只有n 个根 ”. f z a zna zn1an1za n0精品资料欢迎下载c nl i m n c n1nn .l i m nn n1 n1nn l i m n1nn 1l i m 1ne. 2. 解证明令, 取n1 .Rmaxa 1a 0an,1, 当z在C:zR上时, 有所以收敛半径为e . 8, 故3. 解 令f z 2 zz e9, 就Re s f z z 0ze z9z01. a R 1 n1a n1Ra na 1a nRn1n a R . 0z229f z . a n1zan0与故原式2iRe z 0 s f z 2i. 9由儒歇定理知在圆zR 内, 方程a zna zn14. 解 令f z z926 z2 z2, 8z . a zn0有相重根z0. 因此 n就在C:z1上f z 与 均解析 , 且f z 6 同个数的根 . 而a zn0在zR内有一个n由儒歇定理有次方程在 zR 内有 n 个根 . Nf,CNf,C. 即在 1z1内, 方程只有一个根. 四. 证明题 . 名师归纳总结 二. 填空题 . 复变函数考试试题（三）参考答案1ei ; 4. 1; 5. 1. 证明证明 设在 D 内f z uC . c2. 1 第 10 页,共 14 页C; 2. 2k ikz ; 3. 令f z uiv,就f z 222 v1.z zi,且zuu xvv x0两边分别对,x y 求偏导数 , 得2in1; uu yvv y0 2 0n16. 1; 7. i ; 8. z2k1i ; 9. ; 由于函数在D内解析 , 所以uxvy,uyv . 代入2 就上述方程组变10. n11. 为三. 运算题 . 1112n0zn2. uuxvv x0. 消去u 得 , u2v2vx0. 1vu xuvx01. 解2 z ezz2z2.zn.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 u2v20, 就f z 0为常数 . 精品资料欢迎下载. 1n1.名师归纳总结 2如vx0, 由方程1 2 及C .R 方程有uxk0,uy0, 三. 运算题 . 2 ki,第 11 页,共 14 页1.解:z31zcos2 k3isin2 k3k,1,0 2vy0. 所以uc vc . c c 为常数 . z 1cos3isin313i22所以f z c 1ic 为常数 . z 2cosisin1z 3cos5isin513i2. 证 明取rR, 就 对一 切 正整 数n时 , 3322f 0k.zrf z dzkk Mrn. f 00. 2. 解Re z 1 s f z z e1z1e, Re z 1 s f z z e1z1e1. 2k z1rk. ; 4. z2z2于是由 r 的任意性知对一切n均有故原式2iRe s f z z 1Re zs f z 1i e e1. n3. 解 原式2iRe zs f z i 2i9zz2zi5. 故f z c z , 即f z 是一个至多 n 次多项式或常数k0复变函数考试试题（四）参考答案4. 解ez111=zez1,令zez1 0,得z0 ,z. zz ez1z二. 填空题 . k,12 ,1. 1, 1; 2. ; 3. 2k ik而lim z 0e111lim z 0zzz e11lim z 0ez11ez2210. zzezz zen 12 znz1; 5. 整函数 ; lim z 0ezeezz ze1z0为可去奇点n06. 亚纯函数 ; 7. 0; 8. z0; 9. ; z2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当z2 ki时,k0 ,zez10精品资料欢迎下载× 10 . 一. 判定题 . 1 × × 6 ×而 ez1 zz2 kie z1ze zz2 ki0z2 ki为二. 填空题 . kz a为任意实数; 1.2, 3, 13i ; 2. a2k i一阶极点 . 四. 证明题 . 3. 2k1i , kz ; 4. 2k i,kz ; 5. 0; 1. 证明设F z f z , 在下半平面内任取一点0z , z 是下半平面内异6. 0; ; 9. 0; 10. 7. 亚纯函数 ; 8. n 1z2nz1于0z 的点 , 考虑n0z lim z 0F z F z 0z lim z0f z f z 0lim z z0f z f z 0. 2in1. zz 0zz 0zz02 1 ab2. 2 b0n1而0z, z 在 上 半 平 面 内 , 已 知f z 在 上 半 平 面 解 析 , 因 此三. 运算题 . 1. 解 令 zabi , 就F z 0fz 0, 从而F z f z 在下半平面内解析. 2. 证明令f z 6z3, 4 z , 就f z 与 z 在全平面解析 , wz11z2112 a1b i1 a且在C 1:z2上, f z 15 16, z1a2 12 b2 1 2 b21 故在z2内Nf,C 1N ,C 14. 在C 2:z1上, f z 3 1, 故Rez11a2a12, Imz1a2 bb2. z12 1bz12 1故在z1内Nf,C2Nf C21. 2. 解 连接原点及 1 i 的直线段的参数方程为z1i t0t1, 所以 f在 1z2内仅有三个零点, 即原方程在 1z2内仅有三故cRezdz1Re1i t 1i dt1i1tdt12i. 个根 .003. 令zi e, 就ddz. 当a0时iz复变函数考试试题（五）参考答案名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资