2022年完整word版,浙江大学-数学分析-试卷及答案3.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 浙江高校 20 11 -20 12 学年 春夏 学期 数学分析（）课程期末考试试卷（A）课程号： 061Z0010 ,开课学院： _理学部 _ 考试形式：闭卷,答应带 _笔_入场考试日期： 2022 年 6 月 18 日,考试时间： 120 分钟诚信考试,冷静应考,杜绝违纪；考生姓名：一学号：二所属院系： _ 题序三四总 分得分一、 运算以下各题： 每题 5 分,共 35 分 xy2x4.z41.求： x,lim y 0 2ln1xy2.sinx【方法一】：x,lim y 0 2ln1xy2x,lim y 0 2xy24.sinxx【方法二】：x,y lim 0 2ln1xy2=x,lim y 0 2ln1xy2xsinxxy2sin2.设zarctan x1y,求： 、zx2z.xyx22z11y21xy x2y y112,2zxx1xy xx21x221xyx2y3.在曲线r C r t : t,12t2,13t3 上求一点,使该点处的切线与平面平行,并求该点处的切线方程.1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1曲线的切向量r s r r s n1, ,tt2 ,平面的法向量r n1,rs2 1,由于切线与平面平行,就：=12 tt20t1.切向量1114.2切点P1, ,因此,切线方程为：1 12 3x1y1z1.11,23设zfx,y有连续偏导数,r l 1r 4 i3r ur j l,2r 3 i4r j；且在点P 1 2, 处有f rl 1f url 23.求：zf x,y在点P12, 处的全微分.1r ur 与 、 同方向的单位向量分别为 24 3, 、 ,35 5 54 ,就：5f rl 1f4+f311,f url 2f3+f43.5.x5y5x5y5因此,f7,f9.xy2在点P 12, 处的全微分为：dzfdxfdy7 dx9 dy .xy交换积分次序：1dxx2f x,y dy3dx32xf x,y dy .0010I1dy1yf x,y dx1dy3 2yf x,y dx1dy3 2yf x,y dx .6.0010y判定级数n1e1111的敛散性.2n2nu ne11111112o11C1812o112o 1.2n2n2n8 nn22nnn24nn2就,limn2 n un1,而n11收敛,因此,原级数n1e1111收敛.2n n24n7.运算：. Cxds,其中C：x22 yz2 z4.xy33,圆C的半径r431.1 曲线 为圆,原点O到平面的距离d2依据对称性,I1蜒xyz dsds2r2 .32 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、运算题： （每题 8 分,共 48 分）8.求级数n1nnx n11的收敛域与和函数,并运算：n1nn.n 1 2令：fxn1nn1xn1,就：级数n1nnx 1n1的收敛区间为 11.就：f n1nxn.而n1n nx1xn1nxn1dxn1xn1129.0x因此,f 1x2f x 1xxln 1x. 1x1x故,1nnn2n1nn12f1 222ln 2.1 2n 1 2n设z2 f xy 2,xy e,且f具有2阶连续偏导,运算：z,2z.xx y10.1z2xf 1xy yef2.x22z2x2yf11xy xef12exyf2xyexyf2yexy2yf21xy xef22x y4xyf112x2y2exyf122 xyexyf221xy exyf2.运算：x22 ydxdy .其中D是由曲线x4y41 所围区域.D3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1令：xrcos,就：x2y2dxdy2dcos4sin413 r dr4yrsin00D12d42d4 costanu012 u du 4 u4 sin1cos.40sin4cos0sin411 2arctan1 2u1.2,0r1.x,yu022令：xrcos,其中：0yrsinr,设由曲线所围区域中第一象限部分为D 1,依据区域的对称性,D x 2y 2 dxdy 4D 1 x 2y 2 dxdy 4 0 2 d 10 r cos sin 4 sin 1cos dr12 0 2 cossin cos sind 12 0 2 1tan tand tan u0 11 uu 24 du1 1 1arctan u .2 2 u 0 211. 运算三重积分：e dxdydz z,其中 x, ,z | x 2y 2z 21.z由于积分区域关于 xoy 平面对称,被积函数 e 关于 为偶函数,z因此,I 2 e dV .x 2 y 2 z 2 1 z 0【方法一】：I 2 20 d 10 rdr 0 1 r 2e dz z4 10 r e 1 r 21 dr 令：r sin 4 0 2 sin x cos xe cos xdx 2 u cos x4 1 0ue du u2 2 .【方法二】：I 2 10 e dz zdxdy 2 10 e z1 z 2 dzx 2 y 2 1 z 22 z 1 1z2 e 1 2 z e 0 2 0 ze dz 2 e 1 2 e 2 2 .【方法三】：I 2 20 d 0 2 d 10 e cos 2sin d 4 10 d 0 2 e cos 2sin d4 10 e cos0 2 d 4 0 1 e 1 d 2 .12. 运算：I ò xdydz x 2 ydzdxy 2z 2 zdxdy32 .其中 是 x, ,z x 2,y 2,z 2 边界曲面的外侧 .4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1设Px2x2 z3,Qx2y2 z3,Rx2zz23,y222 y2y22就：PQR3x2y2x 2z 2y23 x23y 23z 20.34 .xyzz 2522添加曲面1:2 xy22 z201,取外侧.就：Iò1xdydzydzdxzdxdyòxdydzydzdxzdxdyx22 y2 z32 xy22 z32211PQRdxdydz1xdydzydzdxzdxdyxyzx2y2z 232011xdydzydzdxzdxdy1x22 y2 z23 dV1343333 其中：1 为 、1 之间的空间区域.5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13.求曲线积分：Lyz dxzx dyxy dz .其中 是球面x2y2z21与x2 1y12z2 14的交线,从z 轴正向看为逆时针方向.D,曲线L:x2y2z2 z1,记平面xyz0 上由曲线L 所围成的区域为xy0方向向上.111依据Storkes 公式,I333DxyzdS6DdS2 3 .3yzzxxy三、证明题： （9 分、8 分,共 17 分）2x y xy 3 x,y 0 014. 设 f x,y x 2y 2 2 . 证明：0 x,y 0 01 f x,y 在原点连续；2 f x,y 在原点处的偏导数 f x 0 0, 和 f y 0 0, 存在；3 f x,y 在原点不行微 .2 1 21 由于 x 2 xy y 2 32 14 x 2y 2 2,因此, x,lim y 0 0 x 2 xy y 2 32 0.2就： x,lim y 0 0 x y xy 3 0. 故,f x,y 在原点处连续 . x 2y 2 22 f x 0 0 lim x 0 f x,0 x f 0 0lim x 0 xx 1；同样,f y 0 0 1.f x,y f 0 0 f x 0 0 x f y 0 0 y x y 23 lim xy 00 x 2 y 2 lim xy 00 x 2 y 2 22 2而 lim y k xx 0 x 2 x y y 2 21 kk 2 2 .极限与 有关,故,上式极限不存在；因此,f x,y 在原点处不行微 .6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 15. 1表达函数列nf 在区间D上一样收敛于f x 的定义.2设S x 在a,b 内有连续导数,定义S n n S x1S x nN.n证明：对任意,a,b ,S n 在,上一样收敛 .,.1对0,N0,当nN时,对xD均有,fn f x ,就称函数列fn 在D上一样收敛于f .2对任意,a,b,由于S x 在,上连续,就：S x 在 ,上一样连续,因此,对0,0,对x、y,当xy时,有S x S .因此,对0,N10,当nN时,对x,都有,n S x1S x S x nS xn1S x SxnS x nnnn其中：0n1.因此,S n 在,上一样收敛于S .7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页
