2022年学年-初三数学-圆-综合练习题.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -北京市丰台区 2022-2022学年度第一学期 初三数学 第 24章 圆 综合练习题 一、与圆有关的中档题： 与圆有关的证明 （证切线为主） 和运算（线段长、 面积、三角函数值、最值等）1. 如图, BD 为 O 的直径, AC 为弦, ABAC , AD 交 BC 于 E ,ABFAE2,ED4（1）求证：ABEADB,并求 AB 的长；CE（2）延长 DB 到 F ,使 BFBO ,连接 FA ,判定直线 FA 与 O 的位O置关系,并说明理由. DD 、E,2. 已知：如图,以等边三角形ABC 一边 AB 为直径的 O 与边 AC、BC分别交于点过点 D 作 DFBC,垂足为 FDCFE（1）求证： DF 为 O 的切线；（2）如等边三角形ABC 的边长为 4,求 DF 的长；（3）求图中阴影部分的面积3、如图,已知圆AOBO 的直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E ,连接 CO 并延长交 AD 于点 F ,且CFAD C 在 O 上, BAC = 60 ,P 是 OB 上一点,过P 作 AB（1）请证明： E 是 OB 的中点；（2）如AB8,求 CD 的长4如图, AB 是 O 的直径,点的垂线与 AC 的延长线交于点Q,连结 OC,过点 C 作CDOC交 PQ于点 D（1）求证：CDQ 是等腰三角形；（2）假如CDQ COB,求 BP:PO 的值5 已知 :如图 , BD 是半圆 O 的直径 ,A 是 BD 延长线上的一点,BCAE,交 AE 的延长线于EC细心整理归纳 精选学习资料 ADO 第 1 页,共 26 页 B - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -点 C, 交半圆 O 于点 E,且 E 为.DF 的中点 . （1）求证： AC 是半圆 O 的切线；（2）如AD6,AE62,求 BC 的长D6.如图,ABC内接于 O,过点 A 的直线交 O 于点 P ,交 BC 的延长线于点D ,且AB2=AP · AD （1）求证： ABAC ；A（2）假如ABC60o, O 的半径为 1,且 P 为弧 AC 的中点,P求 AD 的长 . BOC7如图,在ABC 中, C=90° , AD 是 BAC 的平分线, O 是 AB 上一点 , 以 OA 为半径的 O 经过点 D. （1）求证：BC 是 O 切线；OA（2）如 BD=5, DC=3, 求 AC 的长 . 8如图, AB 是 O 的直径, CD 是 O 的一条弦,且BDCCD AB 于 E,连结 AC、OC 、BC. （1）求证：ACO= BCD；（2）如 BE=2 ,CD=8 ,求 AB 和 AC 的长 . 9如图,已知 BC 为 O 的直径, 点 A 、F 在 O 上,ADBC,垂足为 D ,BF 交 AD于 E ,且AEBE（1）求证：ABAF；,AB45,求 AD 的长AB、BC 相切于点D、 E,边（2）假如sinFBC3510如图,已知直径与等边ABC 的高相等的圆O 分别与边AC 过圆心 O 与圆 O 相交于点 F、G；DAG（1）求证： DEPAC；O细心整理归纳 精选学习资料 BEF 第 2 页,共 26 页 - - - - - - - - - - - - - - -C - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）如ABC 的边长为 a,求ECG 的面积 . 11如图,在ABC 中, BCA =90° ,以 BC 为直径的 O 交 AB 于点 P,Q 是 AC 的中点（ 1）请你判定直线PQ 与 O 的位置关系,并说明理由；BP（2）如 A 30 ° ,AP= 2 3 ,求 O 半径的长 . OCQA12如图,已知点A 是 O 上一点,直线MN 过点 A,点 B 是 MN 上的另一点,点C 是OB 的中点,AC1OB ,PC230o ,AB= 2 3 时,求 APCO如点 P 是 O 上的一个动点 ,且OBA的面积的最大值13如图,等腰 ABC 中,AB=AC=13,BC=10,以 AC 为直径作 OMABN交 BC 于点 D ,交 AB 于点 G,过点 D 作 O 的切线交 AB 于点 E,A交 AC 的延长线与点F. （1）求证： EFAB；（2）求 cosF 的值 . OG E14（应用性问题）已知：如图,为了测量一种圆形零件的精度,在BDC第 13 题图F加工流水线上设计了用两块大小相同,且含有 示的方式测量 . 30 ° 的直角三角尺按图1如 O 分别与 AE、AF 交于点 B、C,且 AB=AC ,如 O 与 AF相切 . EOF求证 : O 与 AE 相切；2在满意 1的情形下, 当、分别为 AE、AF 的三分之一点时,且 AF=3,求.BC 的弧长 . DBACG二、圆与相像综合细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -15已知：如图,O 的内接ABC 中, BAC=45° , ABC =15 ° ,AD OC 并交 BC 的延长线于 D,OC 交 AB 于 E. （1）求 D 的度数；（2）求证：AC2AD CE ；CEAB,（3）求BC CD的值 . 16如图, O 的直径为 AB ,过半径 OA 的中点 G 作弦在 BC 上取一点D,分别作直线CD、ED,交直线AB于点图 1 F、M. 求COA 和FDM 的度数；求证：FDM COM ；如图,如将垂足G 改取为半径 OB 上任意一点,点D 改取在 EB 上,仍作直线 CD、ED,分别交直线 AB于点 F、M . 试判定：此时是否仍有 FDM COM 成立？如成立请证明你的结论；如不成立,请说明理由；图 2 三、圆与三角函数综合 y17已知 O 过点 D（ 4,3）,点 H 与点 D 关于 y 轴对称,HAD4,3x过 H 作 O 的切线交 y 轴于点 A（如图 1）；求O 半径；图 1 OD4,3求 sinHAO 的值；如图 2,设O 与 y 轴正半轴交点P,点 E、F 是线y段 OP 上的动点（与P 点不重合）,联结并延长DE 、 DFG BP交O 于点 B、C,直线 BC 交 y 轴于点 G,如DEF 是以 EF 为底的等腰三角形,摸索究sinCGO 的大小怎样E变化？请说明理由；F细心整理归纳 精选学习资料 COx图 2 第 4 页,共 26 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -四、圆与二次函数（或坐标系）综合18、如图,M 的圆心在x 轴上,与坐标轴交于A （ 0,3 ）、 B（ 1, 0）,抛物线xy3x2bxc 经过 A、 B 两点3（1）求抛物线的函数解析式；（2）设抛物线的顶点为P试判定点P 与 M 的位置关系,并说明理由；（3）如 M 与 y 轴的另一交点为D,就由线段PA、线段PD 及弧 ABD 围成的封闭图形PABD 的面积是多少？19如图,在平面直角坐标系中,O 是原点,以点C（1,1）为圆心, 2 为半径作圆,交轴于 A,B 两点,开口向下的抛物线经过点A,B,且其顶点P 在 C上（1）求 ACB 的大小；（2）写出 A,B 两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；细心整理归纳 精选学习资料 （4）在该抛物线上是否存在一点D,使线段OP 与 CD 相互平分？如 第 5 页,共 26 页 存在,求出点D 的坐标；如不存在,请说明理由 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -20（以圆为幌子,二次函数为主的代几综合题）如图,半径为1 的O 与 x 轴交于 A、B两点, 圆心O 的坐标为 2,0,二次函数yx2bxc 的图象经过A、B两点,其顶点B45xy为 F 2（1）求 b,c的值及二次函数顶点F 的坐标；-2-11（2）将二次函数yx2bxc 的图象先向下平移1 个单位,OAO 1再向左平移2 个单位,设平移后图象的顶点为C ,在经过点 B-1-2和点D0,3的直线 l 上是否存在一点P ,使PAC的周长最小,-3如存在,求出点P 的坐标；如不存在,请说明理由.五、以圆为背景的探究性问题21下图中 , 图1是一个扇形 OAB ,将其作如下划分：第一次划分：如图 2所示,以 OA 的一半 OA 1的长为半径画弧交 OA 于点 A1,交 OB于点 B1,再作 AOB 的平分线,交 .AB 于点 C,交 . A B 于点 C1, 得到扇形的总数为 1 1 6 个,分别为：扇形 OAB 、扇形 OAC 、扇形 OCB 、扇形 OA 1B1、扇形 OA 1C1、扇形 OC 1B1；其次次划分：如图 3所示,在扇形 OC1B1 中,按上述划分方式连续划分,即以 OC1的一半 OA 2的长为半径画弧交OC1 于点 A2,交 OB1 于点 B2,再作 B1OC 1 的平分线,交. B C 1于点 D 1,交. A B 于点 D 2,可以得到扇形的总数为 11 个；第三次划分：如图 4所示,按上述划分方式连续划分； 依次划分下去 . 1 依据题意 , 完成右边的表格；2 依据右边的表格, 请你判定按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2022 个. 为什么 . 第 6 页,共 26 页 - - - - - - - - - 3 如图 1中的扇形的圆心角AOB=m ° ,且扇形的半径OA 的长为 R我们把图 2第一次划分的图形中,扇形OA C（或扇形OC B ）称为第一次划分的最小扇形,其面积记为 S1；把图 3其次次划分的最小扇形面积记为S2； ,把第n 次划分的最小扇形面积记为 Sn.求S n1的值 . S n22圆心角定理是 “ 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”,记作AOB . AB（如图）；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -圆心角定理也可以表达成 的一半” ,“ 圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和记作AOB 1 2. ABCD .（如图）请回答以下问题：, 并说明理由；D（1）如图,推测APB与. AB CD .有怎样的等量关系（2）如图,推测APB 与. AB CD .有怎样的等量关系, 并说明理由 . （提示：“ 两条平行弦所夹的弧相等” 可当定理用）PDCDCCPOBAOOA图B图A图B23已知：半径为R 的 O 经过半径为r 的 O 圆心, O 与 O 交于 M、N 两点（1）如图 1,连接 O O 交 O 于点 C,过点 C 作 O 的切线交 O 于点 A、B,求 OA OB 的值；（2）如点 C 为 O 上一动点 . 当点 C 运动到 O 内时,如图2,过点 C 作 O 的切线交 O 于 A、B 两点请你探究 OA OB的值与（ 1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由； 第 7 页,共 26 页 - - - - - - - - - 当点运动到O 外时,过点C 作 O 的切线,如能交O 于 A、B 两点请你在图3 中画出符合题意的图形,并探究OA OB的值（只写出OA OB的值,不必证明） 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -北京市丰台区 2022-2022学年度第一学期 初三数学 第 24章 圆 综合练习题 一、与圆有关的中档题： 与圆有关的证明 （证切线为主） 和运算（线段长、 面积、三角函数值、最值等）1. 如图, BD 为 O 的直径, AC 为弦, ABAC , AD 交 BC 于 E ,AE2,ED4F（1）求证：ABEADB,并求 AB 的长；（2）延长 DB 到 F ,使 BFBO,连接FA,判定直线FA与O的位置关系,并说明理由. ACEBO D1解：QABAC,ABCC. 4212CEABFQCD,ABCD又Q BAEDAB,ABEADBABAEADAB2 ABAD AEAEEDg AE2OAB2 3（舍负）122D484 3 第 8 页,共 26 页 （2）直线 FA 与eO相切42连接 OAQBD为eO的直径,BAD90o在 Rt ABD中,由勾股定理,得BDAB2AD2BFBO1BD14 32 322FBAF QAB2 3,BFBOAB （或BFBOABOA ,AOB 是等边三角形,OBAOAB60,FBAF30）OAF90oOAAF又Q 点 A 在圆上,直线 FA 与eO相切细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2. 已知：如图,以等边三角形ABC 一边 AB 为直径的 O 与边 AC、BC分别交于点D 、E,过点 D 作 DFBC,垂足为 FDCFE（1）求证： DF 为 O 的切线；（2）如等边三角形ABC 的边长为 4,求 DF 的长；（3）求图中阴影部分的面积2（1）证明：连接DO. AOBABC 是等边三角形, C=60° , A=60° ,OA=OD, OAD 是等边三角形 . ADO =60 ° . DF BC , CDF =30 ° . FDO=180° -ADO -CDF= 90 ° .DF 为 O 的切线 . （2）OAD 是等边三角形,CD= AD= AO= 1 AB=2. 2Rt CDF 中, CDF =30 ° , CF= 1 CD=1. DF= CD 2CF 23 . 2（3）连接 OE,由（ 2）同理可知 E 为 CB 中点,CE 2 . CF 1,EF 1 . CFS 直角梯形 FDOE 1 EF OD DF 3 3D E2 2S扇形 DOE 60 2 22AO B360 33 3 2S 直角梯形 FDOE S 扇形 DOE2 33、如图,已知圆 O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E ,连接 CO 并延长交 AD 于点 F ,且CF AD （1）请证明： E 是 OB 的中点；（2）如 AB 8,求 CD 的长3、（ 1）证明：连接 AC ,如图细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -QCFAD, AECD 且 CF,AE过圆心 O. ACAD ,. ACCD ,.ACD是等边三角形FCD30oP 作 AB在 RtCOE中,OE1OC ,OE1OB点 E 为 OB 的中点22（2）解：在R tOCE中QAB8,OC1AB42又QBEOE,OE2CEOC2OE216423CD2 CE4 34如图, AB 是 O 的直径,点C 在 O 上, BAC = 60 ,P 是 OB 上一点,过的垂线与 AC 的延长线交于点Q,连结 OC,过点 C 作CDOC交 PQ于点 D（1）求证：CDQ 是等腰三角形；（2）假如CDQ COB,求 BP:PO 的值4 （1）证明：由已知得ACB=90° , ABC=30° , Q=30° , BCO= ABC=30° . CD OC, DCQ=BCO=30° , DCQ=Q,CDQ 是等腰三角形 . 31,（2）解：设 O 的半径为 1,就 AB=2,OC=1 ,AC=1 AB 21,BC=3 . 等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等, CQ=BC=3 . AQ= AC+CQ=1+3 ,AP=1 AQ 2123, BP=ABAP=2123323PO=APAO=12312 BPPO=3 . 5 已知 :如图 , BD 是半圆 O 的直径 ,A 是 BD 延长线上的一点,BCAE,交 AE 的延长线于点 C, 交半圆 O 于点 E,且 E 为.DF 的中点 . DE .ADEOCF 第 10 页,共 26 页 （1）求证： AC 是半圆 O 的切线；（2）如AD6,AE62,求 BC 的长B5.解：（1）连接 OE, E 为.DF 的中点,EF .OBECBE . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - OEOB ,OEBOBE .OEBCBE .OE BC. BCAC, C=90 ° . AEO= C=90 ° . 即 OEAC. 又 OE 为半圆 O 的半径,AC 是半圆 O 的切线 .D ,且（2）设eO的半径为 x , OEAC,x626 222 x . x3. ABADODOB12. OE BC,AOEABC.AO ABOE. 即9 123BC4. BCBC6.如图,ABC内接于 O,过点 A 的直线交 O 于点 P ,交 BC 的延长线于点AB2=AP · AD （1）求证： ABAC ；AP（2）假如ABC60o, O 的半径为 1,且 P 为弧 AC 的中点,求 AD 的长 . O6.解：（1）证明：联结BPABCDAB2=AP·AD ,AB AP =AD ABBOPD BAD= PAB, ABD APB,C ABC= APB, ACB= APB, ABC= ACB AB=AC. （2）由（ 1）知 AB=AC ABC=60° ,ABC是等边三角形1 BAC=60° ,P 为弧 AC 的中点,AB P= PAC= 2A BC=30° ,1 BAP=9 0° ,BP 是 O 的直径,BP=2 , AP= 2 BP=1 ,AB2在 Rt PAB 中,由勾股定理得 AB 2= BP 2 AP 2=3 , AD= AP =3 7如图,在ABC 中, C=90° , AD 是 BAC 的平分线, O 是 AB 上一点 , 以 OA 为半径的 O 经过点 D. （1）求证：BC 是 O 切线；A（2）如 BD=5, DC=3, 求 AC 的长 . OBDC细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -7.（1）证明 : 如图 1,连接 OD . OA=OD , AD 平分 BAC, OA ODA = OAD , OAD = CAD. ODA = CAD. OD/ AC. ODB = C=90 . BD 图 1 C BC 是 O 的切线 . （2）解法一 : 如图 2,过 D 作 DEAB 于 E. AED= C=90 . BEOA又 AD= AD , EAD =CAD, AED ACD. AE=AC, DE=DC=3. DC在 Rt BED 中, BED =90 ,由勾股定理,得BE=BD2DE24. 图 2 设 AC=x（x>0）, 就 AE=x. 在 Rt ABC 中, C=90 , BC= BD+DC=8, AB=x+4, 由勾股定理,得x 2 +82= x+4 2. 解得 x=6. 即 AC=6. OA解法二 : 如图 3,延长 AC 到 E,使得 AE=AB. AD= AD , EAD =BAD , AED ABD . ED= BD= 5. 在 Rt DCE 中, DCE=90 , 由勾股定理,得BD2. CCE=DE2DC24. 5 分图 3 E在 Rt ABC 中, ACB=90 , BC= BD+DC=8, 由勾股定理,得AC2 + BC 2= AB即 AC 2 +82=AC+4 2.解得 AC=6. 8如图, AB 是 O 的直径, CD 是 O 的一条弦,且（1）求证：ACO= BCD；（2）如 BE=2 ,CD=8 ,求 AB 和 AC 的长 . CD AB 于 E,连结 AC、OC 、BC. 8、证明：（1）连结 BD, AB 是 O 的直径,CD AB, A= 2又 OA=OC, 1= A细心整理归纳 精选学习资料 2即：ACO= BCD 第 12 页,共 26 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：（2）由（ 1）问可知,A= 2, AEC= CEB. ACECBEBC,垂足为 D ,BF 交 ADCEAE. CE2=BE·AEBECE又 CD=8 , CE=DE=4 AE=8 AB=10 AC=AE2CE28045.9如图,已知 BC 为 O 的直径, 点 A 、F 在 O 上,AD于 E ,且AEBE（1）求证：ABAF；（2）假如sinFBC3,AB45,求 AD 的长59解：（1）延长 AD 与 O 交于点 G 直径 BC弦 AG 于点 D ,AB=GB AFB=BAE AE=BE,ABE= BAE ABE= AFB AB= AF（2）在 Rt EDB 中, sinFBC=ED3BD=4xBE5设 ED=3 x,BE=5x,就 AE=5x, AD=8 x,在 Rt EDB 中,由勾股定理得在 Rt ADB 中,由勾股定理得BD2+AD2=AB2 AB=45 ,4x28x2452 x=1 （负舍） AD=8 x=810如图,已知直径与等边ABC 的高相等的圆O 分别与边AB、BC 相切于点D、 E,边DAAC 过圆心 O 与圆 O 相交于点 F、G；（3）求证： DEPAC；G（4）如ABC 的边长为 a,求ECG 的面积 . OF10. 1 QABC是等边三角形 ,B60,A60, BDAGECQ AB、BC 是圆 O 的切线, D、E 是切点,BD=BE . O细心整理归纳 精选学习资料 H 第 13 页,共 26 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -BDE60,A60,有 DE/AC . 2分别连结 OD 、OE,作 EH AC 于点 H. Q AB、BC 是圆 O 的切线, D、E 是切点, O 是圆心,ADO OEC 90,OD=OE ,AD=EC . ADO CEO ,有AO=OC=1 a . 2Q 圆 O 的直径等于 ABC的高 ,得半径 OG= 3a, CG=OC+OG =1 a + 3a. 4 2 4Q EH OC , C 60 , COE 30 ,EH = 3 a. 8Q S ECG 1 CG EH =1 3 a+ 1 a ·3 a, 2 2 4 2 8S ECG 3a 2 3 a= 2 3 2 3 a. 264 32 6411如图,在ABC 中, BCA =90° ,以 BC 为直径的 O 交 AB 于点 P,Q 是 AC 的中点（ 1）请你判定直线PQ 与 O 的位置关系,并说明理由；B（2）如 A 30 ° ,AP= 2 3 ,求 O 半径的长 . POCQA11、解：（1）直线 PQ 与 O 相切 . 连结 OP、CP. BC 是 O 的直径,BPC90°. 又 Q 是 AC 的中点,PQ= CQ= AQ . 3 4. BCA =90° , 2+ 4=90° . 1 2, 1+ 3=90° . 即 OPQ=90° . 直线 PQ 与 O 相切 . 细心整理归纳 精选学习资料 （2）A 30 ° ,AP= 2 3 , 第 14 页,共 26 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 在 Rt APC 中,可求 AC=4. 在 Rt ABC 中,可求 BC=4 33. C 是 BO=2 33. O 半径的长为2 33. 12如图,已知点A 是 O 上一点,直线MN 过点 A,点 B 是 MN 上的另一点,点OB 的中点,AC1OB ,2如点 P 是 O 上的一个动点 ,且OBA30o ,AB= 2 3 时,求APC 的面积的最大值POC12、解 :连结 OA. OAB=90 ° .MABN由 C 是 OB 的中点 ,且AC1OB ,可证得2就O=60 ° .可求得 OA=AC= 2. 过点 O 作 OEAC 于 E,且延长 EO 交圆于点 F就 PFE是 PAC 的 AC 边上的最大的高 . 在 OAE 中,OA=2,AOE=30 ° , 解得 OE 3 . 所以 PE 2 3 . 故 S V PAC 1 AC PE 1 2 2 3 . 2 2即 SV PAC 2 3 . 13如图,等腰ABC 中,AB= AC=13,BC=