2022年导数与微分练习题答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆高等数学练习题其次章导数与微分第一节 导数概念一填空题1.如fx0存在,就lim x0fx 0xfx 0= fx05（米 /秒）x2. 如fx 0存在,lim h 0fx0hhfx0h= 2fx0. lim x0f x03xf x 0=3fx 0. x3.设fx02, 就lim x 0fx 02xfx 014x 4.已知物体的运动规律为stt2米,就物体在t2秒时的瞬时速度为0, 法 线 方 程 为5.曲 线ycosx上 点 （3,1 ） 处 的 切 线 方 程 为 23x2y132x3y320236.用箭头 . 或.表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系,可微可导|连续极限存在；二、挑选题1设f0 0,且f0存在,就lim x 0fx= C f0b B xD 1f0 （A ）fx B f0 22. 设fx 在 x 处可导, a , b 为常数,就lim x0fxaxfxx= B x（A ）fx B abfxD a2bfx C ab fx 3. 函数在点0x 处连续是在该点x 处可导的条件 B （A ）充分但不是必要（B）必要但不是充分（C）充分必要（ D）即非充分也非必要名师归纳总结 4设曲线yx2x2在点 M 处的切线斜率为3,就点 M 的坐标为D 1,1 B 第 1 页,共 11 页1, 0 C 0,0 （A ）0,1 B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆5. 设函数fx|sinx|,就fx在x0处 B （A）不连续；（ B）连续,但不行导；C 可导,但不连续；（D）可导,且导数也连续；三、设函数fx x2bx1为了使函数fx在x1处连续且可导,a , b 应取什axx1么值；名师归纳总结 解：由于fx在x1处连续 , 所以f 11f 1abf1 第 2 页,共 11 页即ab1又fx在x1处可导,所以f'1lim x 1x212x1f'1lim x 1axbabax1有a2,b1故求得a2,b1四、假如fx为偶函数,且f0 存在,证明f0 =0；解：由于fx是偶函数 , 所以有fxfxf0lim x 0f x f0x0lim x 0fxf0x0令x tlim t 0f t tf0f0即2 f00, 故f00五、 证明：双曲线xya2上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值；解：ya2,ya2在任意x0y 0处的切线方程为xx2yy0a2xx 0x20就该切线与两坐标轴的交点为：0,2a2和2x0,0 x 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为A12 a22x2 a2,（a 是已知常数）2x0故其值为定值 . 其次节 求导法就一、填空题1y2secx sinx, y =tan2x2cos x1; yesinx, y =cos xesinx. 2ycos 2 ex, y = 2 e xsin2 e x; yy =sin2x, y =2xcos 2xsin2xxx23lntan2,= csc; rxlog 2 xln2, r =log 2xlog2earccos x2x ,y12x2xx 24. wlnsecttant, w =sec t. x5. 1x21xx2; 1x2c =1xx2. 1x2c =11x2. 6. lntanx= ; lnx2二、挑选题名师归纳总结 1已知 y=sinx,就y = C sinxxxsinx就 B 第 3 页,共 11 页x（A ）xsinx2cosxB xcosx2sinxDx3cosxx2sinxxx2y=1sinxxy= 2. 已知,cos C C 11xD 2cosx1B 1cosx（A ）cosx12cosx12cosx1cos就1cosx= ysx ee,c就y3. 已知 A B secx e tanexC tanexDx e cotex（A ）exsecextanex= 知ylxn1x2 ,y4. 已 A - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆（A ）11x2B 12 xC1xx2D x215. 2已知y2lncxo,t就就D y|x4= D（B）2 （C）1/22（A ）1 6. 已知y1xD x= ,y1x B 2x2xB xC （A ）x1 21 2x1 21 2三、运算以下函数的导数：名师归纳总结 1 yln3x3lnx1 l n x21 x12 ytanln xt a n l n1第 4 页,共 11 页解：y13x解：y '2se c l n x133x3xy11lnx2112 seclnx3x3x3x3 uesin214 y3 seclnxv1 vcos 1v解：u 'esin212sinv解：y '32se c l n xse c l nv2x1sin2esin 211x2'33se c l n xt a n l nvv2vx6 yarctan1x5 ylnx1x21x解：y'x1x2x解：y11x21 1x1 11xxx1x211xx2111x21x2xx21x2x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆四、设fx可导,求以下函数y 的导数dydx（1）yfex efx2yfsin2x fcos2x x解：y 'f'exexefx解：y 'f'2 sinx2sinxcos xefxfexefxf'xf2 'cosx2cosx sin exf'exf'xfexsin 2 x f'sin2x f2 'cosx3 yarctanfx 4yfsinxsinfx解：y '112xf'x解：y 'f'sinxcos xcosfxf'f1f'x 2 xcos x 'sinxf'xcosfxf第三节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、填空题1设y1xey,就 y =2eyy. r. dy| t3=32；2. 设rtanr,就 r =2 csc3. 设lnx2；y2arctany,就 y =xyxyx4设xt esintdy,就 dx=cos tsint,yt ecos tsintcos tdx二、挑选题名师归纳总结 1. 由方程sinyy xe0所确定的曲线yy x 在（0,0）点处的切线斜率为1 A 第 5 页,共 11 页（C）1（D）（A ）1（B）1 222. 设由方程2 xy2所确定的隐函数为yyx,就dy= A （C）ydx（D）y xdxdy= （B）ydx（A ）ydx2x2xxxy1s i n03. 设 由 方 程所 确 定 的 隐 函 数 为yyx, 就2dx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆 A 名师归纳总结 （A ）22y（ B）22y（C）22y（D）22x第 6 页,共 11 页cossincoscos4. 设 由 方 程xa tsint所 确 定 的 函 数 为yyx, 就 在t2处 的 导 数 为ya 1cos t B （A ）1（B）1 （C）0 （ D）125. 设由方程xln1tt2所确定的函数为yyx,就dy B dxyarctan（A ）1t2（B）1 t（C）1 2t；（D） t . 2 t三、求以下函数的导数dy dx1x2y2a2,2. xa3 cost333ya3 sint解:方程两边同时对x 求导 ,得解 :y3 sin2tcostttant3 cos2tsin2x12y1y'03333y3y x3y2 x y3x ye104. yxsinx1x e解: 方程两边同时对x求导, 得解:lny1lnx1lnsinx1ln1ex224y23 xy2 23 x y yx yex y e01y '1cosx4 1exxy2x2sinxey123 xyx ye2 3 x y2x e- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆y 'xsinx1ex12cotx4exex2x 1四、求曲线xexsin10在0 处的切线方程,法线方程xs i ny320解:dy322 dc o sd0dxexdxs i nexdxexco sd, 从而dy3221e当1exsi ndxexc osy0, dy02e0 ,x1 ,dx故切线方程为y2 e x1 法线方程为y1x12 e第四节高阶导数一、填空题设rcos,就 r =cossin , r=2sincos . 2f''t24 tlnx1x2, 就 y 11x2, y 1x23/22设yx3 如yf 2t, 且ft存在,就dy dt2tf'2t,d2y=2f't2dt2设y1xey,就 y =eyy, y =e2y3yy2235设yxtft,且dyt,就d2y=1t2；arctgtdx2dx24 t6. 设yxn2 x e1,就y n=n .2 n e2x17设fx xx1 x2 x2001 ,就f02001 .二、挑选题名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆1如yx2lnx, 就 y = D 名师归纳总结 （A）2lnx（B）2lnx1（C）2lnx2（D）2lnx3第 8 页,共 11 页2. 设yfu,uex, 就d2y= （C）2 efu （D）u B dx2f u uf u（A）e2xfu （B）u2f uu fu3设ysin2x就yn（B）2n1cos2x A （A）2n1sin2xn1 2n1 2（C）2n1sin2xn1 2（D）2nsin2xn1 24.设yxe x,就y n（C）2 exxn A （A）exxn （B）exxn （D）nx xe三、设fx 存在,求以下函数y 的二阶导数d2ydx21yfx e解：dyf'exexdxd2yf''x ee2xf'exexd2x2ylnfx解：dyf1f'xf'xdxxfxd2yf''xfxf'x2d2xfx2四、求以下函数y 的二阶导数d2ydx21. xacos tybsint- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆解:ybcostbcottasinta2 d ybcot a1ta2b3txy 1dx2asinsin2. arctanyln2 xy2 yxx 求导 ,得解:方程两边同时对y xyxyy'yxy, y 1yxy5 3xy2y2x 22y2xy 3五、设y213,求ynx解:y'2x232y'' 222 23 3xy''' 2 323 24 3xy4 2 3 424 2x依此类推 , 得名师归纳总结 yn 12n 2n .1f x 32x1第 9 页,共 11 页xn 3一 已知yx2x,运算在第五节函数的微分x2处0 .31, dy =0. 3（ 1）当x01.时,y（ 2）当x0.001 时 ,y =0 .003001, dy =0 .003；二（ 1）函数yarcsin1x2在x1处的一次近似式为232- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆（2）函数yexcosx1在x0处的一次近似式为f x cos1cos1sin1x（3）运算近似值4 833154三填空（求函数的微分）名师归纳总结 1、d 22sin=4sin22cosde2xdxd 1e2xc; 第 10 页,共 11 页2、dlncosx=tanxdx3、dln2 1x =x21ln1x dx4、dlnsecxtanx=tanx2 secx dx5、dfarctan1=112f'arctan1dxxxx6、dsinx c o txdcos 7、d2sinx= xc o s x3s i ndxx2x8、d3x32x69 x143 x3x6dx四将适当的函数填入以下括号内,使等号成立；1. xdxd 2x3c; 232. sin3 x2dxd 1 cos3 x32c; 3. 3 x22 x dxd x3x2c; 4. 25. a21x2dxd 1 a arctanxc; a6. 213dxd 1 ln2 2x3c; x7. x e2dx2d x e2c; （8） cos2 x dxd 1 sin2 2c - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆9. 11x2dx=d arcsinxc ; 10. ln x dx xd ln2xc; 2五求以下函数或隐函数的微分1. x2y21, 求 dy0a2b2解: 对方程两边求微分得2. 2xdx2ydya2b2所以dyb2xdxa2yyxarctany,求 dy解: 对方程两边求微分得名师归纳总结 所以3. ydydx1dy2s i n xd x第 11 页,共 11 页ydy1yy2dx2xsinx,求 dy解: 由于yesinxlnx所以d ys i nx c o s l n xx- - - - - - -