2022年人教版高中数学必修一-第二章-基本初等函数知识点总结.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点人教版高中数学必修一其次章基本初等函数学问点总结其次章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念 ：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0,记作n0=0；a|a a00留意： 1 n ana2当 n 是奇数时,nana,当n 是偶数时,nan|a a2分数指数幂正数的正分数指数幂的意义,规定：mmanm aa0,m nN,且 n1an正数的正分数指数幂的意义：a_1 m0,m nN,且n1n0 的正分数指数幂等于a n0,0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质12 2 112 而应 =21（1）r a asarsa0, , r sR （2） arsarsa0, , r sR （3） brr ra ba0,b0,rR 留意：在化简过程中,偶数不能轻易约分；如2（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数yax叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为 R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和1即 a>0 且 a 12、指数函数的图象和性质0<a<1 a>1 图像定义域 R , 值域（ 0,+）（1）过定点（ 0, 1）,即 x=0 时, y=1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2在 R 上是减函数名师总结优秀学问点2在 R 上是增函数性质（ 3）当 x>0 时,0<y<1; 1 （3）当 x>0 时 ,y>1; 共性当 x<0 时,y>1当 x<0 时,0<y<1图象特点函数性质向 x 轴正负方向无限延长函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方函数的值域为R+图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0,1）过定点（ 0,1）自左向右看,图象逐步下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于当 x>0 时,0<y<1;0<a<1 在其次象限内的图象纵坐标都大于1 当 x<0 时,y>1图象上升趋势是越来越缓函数值开头减小极快,到了某一值后减小速度较慢；a>1 自左向右看,图象逐步上升1 增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于当 x>0 时,y>1;在其次象限内的图象纵坐标都小于1 当 x<0 时,0<y<1图象上升趋势是越来越陡函数值开头增长较慢,到了某一值后增长速度极快；留意：指数增长模型：y=N1+p x 指数型函数：y=kax3 考点：（1）a b=N, 当 b>0 时, a,N 在 1 的同侧；当 b<0 时, a,N 在 1 的 异侧；（2）指数函数的单调性由底数打算的,底数不明确的时候要进行争论；把握利用单调性比较幂的大小,同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进 1=a0进行传递或者利用（ 1）的学问；（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子,值域求法用单调性；（4）辨论不同底的指数函数图象利用 a 1=a,用 x=1 去截图象得到对应的底数；x x5指数型函数： y=N1+p 简写： y=ka二、对数函数（一）对数1对数的概念 ：一般地,假如axN,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作：xlog aN（ a 底数,N 真数, log a N 对数式）说明： 1. 留意底数的限制,a>0 且 a 1；2. 真数 N>0 3. 留意对数的书写格式2、两个重要对数：（1）常用对数：以10 为底的对数 , log10N记为lgN；lnN记为（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数, logeN3、对数式与指数式的互化xx log a N a N对数式指数式对数底数a 幂底数对数x 指数真数N 幂结论：（1）负数和零没有对数名师归纳总结 （2）logaa=1, loga1=0 特殊地,lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 第 2 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 对数恒等式：alogaNN名师总结优秀学问点（二）对数的运算性质假如 a > 0, a 1 ,M > 0 , N > 0 有：n1、log（MN）logaMlogaN两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和2 、logMlogaMlogaN两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差a Nn M3 、loganlogaM（nR）一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数倍说明 : 1 简易语言表达 : ”积的对数 =对数的和 ” 2 有时可逆向运用公式3 真数的取值必需是0, MlogaN1,c0,c1, b04 特殊留意：logaMNlogalogaMNlogaMalogaNablogcblgb留意：换底公式log0,alogcalga利用换底公式推导下面的结论logab1a logablogbclogcdlogad logambnnlogablogbm（二）对数函数1、对数函数的概念：函数ylog axa>0,且 a 1 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是（0,+）留意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,留意辨别；如：y log a x 1,y log a x 2 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数（2） 对数函数对底数的限制：a>0,且 a 1 2、对数函数的图像与性质：对数函数 y log a x a>0,且 a 1 0 a 1 a 1 y y图像01,0x01,0 x 定义域：（ 0,）值域： R 过点 1 ,0, 即当 x 1 时,y 0 名师归纳总结 性在0,+上是减函数在 0,+上是增函数第 3 页,共 5 页质当 x>1 时, y<0 当 x>1 时, y>0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 x=1 时, y=0 名师总结优秀学问点当 x=1 时, y=0 当 0<x<1 时, y>0 当 0<x<1 时, y<0 重要结论 ：在 log b 中,当 a ,b 同在 0,1 或 1,+内时,有 log b>0; a a当 a,b 不同在 0,1 内,或不同在 1,+ 内时 ,有 log b<0. a口诀：底真同大于 0（底真不同小于 0）. （其中,底指底数,真指真数,大于 0 指 log b 的值）a3、如图,底数 a 对函数 y log a x 的影响；规律 : 底大枝头低 , 头低尾巴翘；4 考点：、 log ab, 当 a,b 在 1 的同侧时 , log ab >0；当 a,b 在 1 的异侧时 , log ab <0 、对数函数的单调性由底数打算的,底数不明确的时候要进行争论；把握利用单调性比较对数的大小,同底找对应的对数函数,底数不同真数也不同利用（1）的学问不能解决的插进 1=log aa进行传递；、求指数型函数的定义域要求真数 、辨论不同底的对数函数图象利用>0,值域求法用单调性；1=log aa ,用 y=1 去截图象得到对应的底数；、 y=a xa>0 且 a 1 与 y=log axa>0 且 a 1 互为反函数,图象关于 y=x 对称；5 比较两个幂的形式的数大小的方法 : 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 名师总结优秀学问点. 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判定2 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判定. .常用 1 和 0. 3 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,就应通过中间值来判定6 比较大小的方法1 利用函数单调性同底数 ；2 利用中间值（如:0,1.）； 3 变形后比较； 4 作差比较（三）幂函数1、幂函数定义：一般地,形如yx 的函数称为幂函数,其中x 是自变量, 为常数2、幂函数性质归纳（1）全部的幂函数在 （0,+）都有定义, 并且图象都过点 （1,1）；（2） >0 时,幂函数的图象通过原点,并且在 0,+ ）上是增函数 特别地,当 >1 时,幂函数的图象下凸；当 0< <1 时,幂函数的图象上凸；（3） <0 时,幂函数的图象在（0,+）上是减函数在第一象限名师归纳总结 内,当 x 从右边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限地靠近y 轴正半轴,第 5 页,共 5 页当 x 趋于 +时,图象在x 轴上方无限地靠近x 轴正半轴- - - - - - -
