八年级数学下册第2章四边形2.7正方形习题课件新版湘教版20200321239.ppt
2.7正方形,1.掌握正方形的性质和判定.(重点)2.理解正方形与矩形、菱形的关系.(重点、难点)3.会用正方形的性质和判定进行计算或证明.(重点、难点),一、正方形的定义有一组邻边_且有一个角是_的_四边形.二、正方形的性质1.正方形的四条边都_,四个角都是_.2.正方形的对角线_,且互相_.3.正方形是_对称图形,_是它的对称中心.4.正方形是_图形,两条_所在直线,以及过每一组对边_的直线都是它的对称轴.,相等,直角,平行,相等,直角,相等,垂直平分,中心,对角线的交点,轴对称,对角线,中点,三、正方形的判定1.有一组邻边_的矩形是正方形.2.有一个角为_的菱形是正方形.3.对角线_的菱形是正方形.4.对角线_的矩形是正方形.,相等,直角,相等,互相垂直,(打“”或“”)(1)菱形具有正方形的一切性质.()(2)一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.()(3)一条对角线平分一组对角的矩形是正方形.()(4)正方形的面积等于两条对角线积的一半.()(5)正方形的邻边互相垂直,邻角相等.(),知识点1正方形的性质【例1】(2013鄂州中考)如图正方形ABCD的边长为4,E,F分别为DC,BC中点.(1)求证:ADEABF.(2)求AEF的面积.,【思路点拨】(1)根据正方形的性质,找出ADE和ABF中相等的边和角进而证明全等.(2)由题知ABF,ADE,CEF均为直角三角形求DE,BF,CE,CF的长根据SAEF=S正方形ABCD-SADE-SABF-SCEF得出结果.,【自主解答】(1)四边形ABCD为正方形，AB=AD，B=D=90，DC=CB.E,F分别为DC,BC中点，DE=DC，BF=BC，DE=BF.在ADE和ABF中，ADEABF(SAS).,(2)由题意知ABF,ADE,CEF均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF=4=2,CE=CF=4=2，SAEF=S正方形ABCD-SADE-SABF-SCEF=44-42-42-22=6.,【总结提升】正方形的“边、角、对角线”1.边:四条边都相等且每组对边平行.2.角:四个角都是直角.3.对角线:两条对角线相等且互相垂直平分,把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;每条对角线平分一组对角,把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.,知识点2正方形的判定【例2】如图,在ABC中,点D是边BC的中点,DEAC,DFAB,垂足分别是E,F,且BF=CE.(1)求证:DE=DF.(2)当A=90时,试判断四边形AFDE是怎样的四边形,并证明你的结论.,【思路点拨】(1)DEAC,DFABBFD=CED=90RtBDFRtCDEDE=DF(2)A=90四边形AFDE是矩形结论,【自主解答】(1)DEAC,DFAB,BFD=CED=90,在RtBDF和RtCDE中,BD=CD,BF=CE,RtBDFRtCDE(HL),DE=DF.,(2)四边形AFDE是正方形.证明:A=90,DEAC,DFAB,四边形AFDE是矩形,又RtBDFRtCDE,DF=DE,四边形AFDE是正方形.,【总结提升】判定正方形的一般思路,题组一:正方形的性质1.如图,将正方形纸片ABCD折叠,使边AB,CB均落在对角线BD上,得折痕BE,BF,则EBF的大小为()A.15B.30C.45D.60,【解析】选C.将正方形纸片ABCD折叠,使边AB,CB均落在对角线BD上,得折痕BE,BF,ABE=DBE=DBF=FBC,EBF=ABC=45.,2.(2013枣庄中考)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为()【解析】选D.四边形ABCD是正方形，DCDA2，M为边AD的中点，DM1，,3.如图,正方形ABCD中,对角线AC=10,M是AB上任意一点,由M点作MEOA,MFOB,垂足分别为E,F点,则ME+MF的值为()A.20B.10C.15D.5,【解析】选D.已知正方形ABCD中,对角线AC=10,M是AB上任意一点,由M点作MEOA,MFOB,四边形EMFO为矩形,MF=OE,又BAC=ABD,MEBD,AME=ABD=BAC,ME=AE,ME+MF=AE+OE=AO,又正方形ABCD中,对角线AC=10,ME+MF=AO=AC=10=5.,4.(2013雅安中考)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:BE=DF.DAF=15.AC垂直平分EF.BE+DF=EF.SCEF=2SABE.其中正确结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个,【解析】选C.AEF是等边三角形,AE=AF,又AB=AD,RtABERtADF,BE=DF.故正确.ABEADF,DAF=BAE,又EAF=60,DAF=BAE=15.故正确.DAF=BAE=15,BAC=DAC=45,EAG=FAG=30,又AEF是等边三角形,AC垂直平分EF.故正确.,把ADF绕点A顺时针旋转90至ABF的位置(或延长EB至F，使BF=DF,连接AF)，FAE=30,F=AEF=75,EFAE,EF=BEDF,AE=EF,BEDFEF.故不正确.,过点E作ENAF，垂足为N，NAE=30,NE=AE,BE=DF,BC=CD,CE=CF,ACEF,CG=EF,又AE=EF,EN=CG,又AF=AE=EF,SAEF=SCEF,SCEF=2SABE.故正确.,5.如图,边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于E,F,则阴影部分的面积是.【解析】由题意可知,DEOBFO,SDEO=SBFO,阴影部分面积=SBOC=21=1.答案:1,【变式备选】如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是.,【解析】连接O1B,O1C,BO1F+FO1C=90,FO1C+CO1G=90,BO1F=CO1G,四边形ABCD是正方形,O1BF=O1CG=45,又O1B=O1C,O1BFO1CG,左边两个正方形重叠的阴影部分的面积是S正方形,同理另外的阴影部分的面积也是S正方形,S阴影部分=S正方形=2.答案:2,6.如图,A,B,C三点在同一条直线上,AB=2BC,分别以AB,BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,EC.求证:FN=EC.【证明】在正方形ABEF中和正方形BCMN中,AB=BE=EF,BC=BN,FEN=EBC=90,AB=2BC,EN=BC,FNEECB,FN=EC.,题组二:正方形的判定1.已知四边形ABCD中,A=B=C=90,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是()A.D=90B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD【解析】选D.由A=B=C=90可判定四边形ABCD为矩形,因此再添加条件:一组邻边相等,即可判定其为正方形,故选D.,2.下列说法不正确的是()A.有一个角是直角的菱形是正方形B.两条对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.四条边都相等的四边形是正方形【解析】选D.四条边都相等的四边形是菱形,不一定是正方形.A,B,C选项均符合正方形的判定,是正方形.,3.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是.【解析】在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是菱形.要使菱形ABCD是正方形,则还需增加一个条件可以是AC=BD或ABBC.答案:AC=BD(答案不唯一),4.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点D作DPOC,且DP=OC,连接CP,试判断四边形CODP的形状,并证明.,【解析】四边形CODP为正方形.理由:由正方形的性质,得OD=OC,且ODOC.因为DPOC,且DP=OC,所以四边形CODP为平行四边形,因为ODOC,所以四边形CODP为矩形,因为OD=OC,所以矩形CODP为正方形.,5.如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分AOC交AC于点D,OF平分COB,CFOF于点F.(1)求证:四边形CDOF是矩形.(2)当AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.,【解析】(1)OD平分AOC,OF平分COB,AOC=2COD,COB=2COF,AOC+BOC=180,2COD+2COF=180,COD+COF=90,DOF=90.,OA=OC,OD平分AOC,ODAC,AD=DC(等腰三角形的“三线合一”的性质),CDO=90,CFOF,CFO=90,四边形CDOF是矩形.,(2)当AOC=90时,四边形CDOF是正方形.理由如下:AOC=90,AD=DC,OD=DC.又由(1)知四边形CDOF是矩形,则四边形CDOF是正方形.因此,当AOC=90时,四边形CDOF是正方形.,【想一想错在哪？】E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,AE=BF=CM=DN,四边形EFMN是什么图形?证明你的结论.提示:四边形EFMN应该是一个正方形.,
