2022年平面向量概念方法题型易误点及应试技巧总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结平面对量一向量有关概念 ：1向量的概念 ：既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分；向量常用有向线 段来表示,留意 不能说向量就是有向线段,为什么？（向量可以平移） ；如：已知 A（1,2）,B（4,2）,就把向量 AB 按向量 a （1,3）平移后得到的向量是 _（答：（3,0 ）2零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量,记作：0 ,留意 零向量的方向是任意的；|3单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 AB 共线的单位向量是AB|；AB4相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫做平行向量,记作： a b ,规定零向量和任何向量平行；提示 ：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性 ！（由于有 0 ；三点 A、 、C共线AB AC共线；6相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是 a ；如以下命题：（ 1）如 ab ,就 ab ；（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同；（3）如 ABDC ,就 ABCD 是平行四边形；（4）如 ABCD 是平行四边形,就 ABDC ；（5）如abbc,就 ac ；（6）如a bb c,就a/c ；其中正确选项 _ （答：（4）（5）二向量的表示方法 ：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如AB ,留意起点在前,终点在后；名师归纳总结 2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示,如a , b , c 等；第 1 页,共 7 页3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ,j 为基底,就平面内的任一向量a 可表示为axiy jx y ,称,x y 为向量 a的坐标, a,x y 叫做向量 a 的坐标表示； 假如 向量的起点在原点 ,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；三平面对量的基本定理 ：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a,有且只有一对实数1、2,使 a=1e12e2；如（1）如a1,1, b1, 1,c 1,2,就 c_ （2）以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的是（答：1 2a3b ）；2A. e 10,0,e 21, 2B. e 1 1,2,e 25,7C. e 13,5,e 26,10D. e 12, 3,e 21,324- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （答： B）；（3）已知AD BE 分别是ABC 的边BC AC 上的中线 ,且ADa BEb ,就 BC 可用向量,a b表示为 _ （答：2 a 4 b）；3 3（4）已知 ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD 2 DB,CD r AB s AC,就 r s 的值是 _ （答： 0）四实数与向量的积 ：实数 与向量 a 的积是一个向量,记作 a ,它的长度和方向规定如下： 1 a a , 2 当 >0 时,a 的方向与 a 的方向相同,当 <0 时,a 的方向与 a的方向相反,当0 时,a 0,留意 ：a 0；五平面对量的数量积 ：1两个向量的夹角 ：对于非零向量 a , b ,作 OA a OB b,AOB0 称为向量 a, b 的夹角,当0 时, a , b 同向,当时, a , b 反向,当时, a , b 垂直；22 平面对量的数量积：假如两个非零向量 a , b ,它们的夹角为,我们把数量| a b | cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积） ,记作： a b ,即 a b a b cos；规定：零向量与任一向量的数量积是 0,留意数量积是一个实数,不再是一个向量；如（1） ABC 中,| AB | 3,| AC | 4,| BC | 5,就 AB BC _ （答： 9）；（2）已知（3）已知（4）已知a1,1,b0,1,cakb dab ,c与d的夹角为4,就k等于_ 22（答： 1）；a2,b5,a b3,就 ab 等于 _ （答：23 ）；,a b是两个非零向量,且abab ,就 与ab 的夹角为 _ （答： 30 ）名师归纳总结 3 b 在 a 上的投影 为 | | cos,它是一个实数,但不肯定大于0；如第 2 页,共 7 页已知| a|3,| b|5,且ab12,就向量 a 在向量 b 上的投影为 _ （答：12 ）54 ab 的几何意义 ：数量积 ab 等于 a 的模 |a 与 b 在 a 上的投影的积；5向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a , b ,其夹角为,就：aba b0；当 a , b 同向时, ab a b ,特殊地,a2aaa2,a2 a；当 a 与 b 反向时, ab a b ；当为锐角时, ab 0,且 a b、 不同向,a b0是为锐角的必- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 要非充分条件 ；当为钝角时, ab 0,且 a b、 不反向,a b0是为钝角的必要非充分条件 ；非零向量 a , b 夹角的运算公式： cosab； |a b| |a|b；如a b（1）已知a,2,b3,2 ,假如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴是_ （答：4 或 0 且 1）；3 3（2）已知 OFQ 的面积为 S ,且 OF FQ 1,如 1S 3,就 OF , FQ 夹角 的2 2取值范畴是 _ （答： , ）；4 3（3）已 知 a c o x s , x s b i n y , a 与 b 之 间 有 关 系 式k a b 3 a 其中 k b,用k表示 a b ；求 a b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角的大小六向量的运算 ：（答：a bk21k0；最小值为1 2,60 ）4 k1几何运算 ：向量加法：利用“ 平行四边形法就” 进行,但“ 平行四边形法就” 只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法仍可利用 “ 三角形法就” ：设 AB a BC b ,那么向量 AC叫做 a 与 b 的和,即 a b AB BC AC ；向量的减法：用“ 三角形法就”：设 AB a AC b , 那么 a b AB AC CA,由减向量的终点指向被减向量的终点；留意：此处减向量与被减向量的起点相同；如（1）化 简： AB BC CD _ ； AB AD DC _ ； AB CD AC BD _ （答： AD ； CB ； 0 ）；（2）如正方形 ABCD 的边长为 1,ABa BCb ACc ,就 |abc _ （答： 2 2 ）；（3）如 O 是ABC 所在平面内一点,且满意OBOCOBOC2OA ,就ABC的外形为 _ （答：直角三角形）；P A（ 4 ） 如 D 为ABC 的 边 BC 的 中 点 ,ABC 所 在 平 面 内 有 一 点 P , 满 足B PC P ,设| |AP|,就的值为 _ PD|（答： 2）；（5）如点 O 是ABC的外心,且OAOBCO0,就ABC的内角 C 为_ （答： 120 ）；名师归纳总结 2坐标运算 ：设ax 1,y 1,bx 2,y 2,就：第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 向量的加减法运算 ：abx 1x ,2y 1y 2；如（1）已知点A2,3,B 5,4,C7,10,如APABACR ,就当_时,点P 在第一、三象限的角平分线上（答：1）；2（2）已知 A 2,3, B 1,4, 且 1AB sin ,cos ,x y , ,就 x y2 2 2（答：或）；6 2（3）已知作用在点 A 1,1 的三个力 F 1 3,4, F 2 2, 5, F 3 3,1,就合力 F F 1 F 2 F 3的终点坐标是（答：（9,1）实数与向量的积 ：a x y 1 x 1 , y 1；如 A x y 1 , B x 2 , y 2 ,就 AB x 2 x y 2 y 1,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；如设 A 2,3, B 1,5,且 AC 1 AB,AD 3 AB ,就 C、D 的坐标分别是 _ 3（答：1, 11, 7,9）；3平面对量数量积 ：a b x x 1 2 y y ；如 1 2已知向量 a （ sinx,cosx）, b （sinx,sinx）, c（ 1,0）；（1）如 x,3求向量 a 、 c 的夹角；（2）如 x 3, ,函数 f x a b 的最大值为 1 ,求 的值8 4 2（答：1150 ;2 1 或 2 1）；22 2 2 2 2 2向量的模 ：| a | x y , a | a | x y ；如已知 a b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 | a 3 | b _ （答：13 ）；2 2两点间的距离 ：如 A x y 1 1 , B x 2 , y 2,就 | AB | x 2 x 1 y 2 y 1；如如图,在平面斜坐标系 xOy 中,xOy 60,平面上任一点 P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的： 如 OP xe 1 ye ,其中 2 e e 分 1 2别为与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量,就P 点斜坐标为 , x y ；（1）如点 P 的斜坐标为（ 2, 2）,求 P 到 O 的距离 PO；（2）求以O 为圆心, 1 为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程；x22 yxy10）；（答：（1）2；（2）七向量的运算律 ：名师归纳总结 1交换律： abba,baaabbca , a bb a ；baabab ；第 4 页,共 7 页bcac aabc ,a2结合律：aaa,ab , abccbc ；3安排律：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如以下命题中：abcabac；abcabc；ab2|a2 |2 |a| |b|b2 |； 如ab0,就a0或b0；如a bc b 就 ac ；a22 a ；ab 2a22a ba bb；a b2a22 b ；2 b ；其中正确选项 _ a2a（答：）提示：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除 相约 ；（2）向量的“ 乘法” 不满意结合律,即 a b c a b c,为什么？八向量平行 共线 的充要条件 ：a / b a b a b 2| a | b |2x y 2 y x 0；如1 如向量 a ,1, b 4, x ,当 x _时 a 与 b共线且方向相同（答： 2）；（2）已知a1,1,b4, x ,ua2b ,v2ab ,且u/v ,就 x_ （答： 4）；（3）设PA ,12,PB4,5,PC10, k ,就 k_时, A,B,C 共线（答： 2 或 11）九 向量垂直的充要条件：aba b0|ab| |ab|x x 2y y20.特殊地ABACABAC；如ABACABACOAB,B90（答：3 2）；1 已知OA 1,2,OB3,m ,如 OAOB ,就 m（2）以原点 O 和 A4,2为两个顶点作等腰直角三角形,就点 B 的坐标是 _ （答： 1,3或（3, 1）；（3）已知n , , a b 向量 nm ,且 nm ,就 m的坐标是 _ a或b a , ）（答： ,十线段的定比分点 ：1定比分点的概念 ：设点 P 是直线 P1P 2 上异于 P1 、P 2 的任意一点,如存在一个实名师归纳总结 数,使PPPP ,就叫做点 P 分有向线段PP 所成的比, P 点叫做有向线段 1 2PP 的 1 2第 5 页,共 7 页以定比为的定比分点；2的符号与分点P 的位置之间的关系 ：当 P 点在线段P1 P 2 上时>0；当 P点在线段P1 P2 的延长线上时<1；当 P点在线段 P 2 P1 的延长线上时10 ；如点 P 分有向线段PP 所成的比为 1 2,就点 P 分有向线段P P 所成的比为1；如 2 1如点 P分 AB 所成的比为3 4,就 A分 BP所成的比为 _ （答：7 3）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3线段的定比分点公式 ：设P x y 1 1 1、P x 2 2,y 2,P x y 分有向线段PP 所成的比 1 2为,就 xy xy 1111 xy 22,特殊地,当1 时,就得到线段 P1P 2 的中点公式 xy xy 11 22 xy 22；在使用定比分点的坐标公式时,应明确 , x y , x 1 , y 1 、 x 2 , y 2 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标；在详细运算时应依据题设条件,敏捷地确定起点,分点和终点,并依据这些点确定对应的定比；如MP1MN,就点 P 的坐标为 _ （1）如 M （-3,-2）,N（6,-1）,且3（2）已知A a ,0,B3,2a ,直线y1（答： 6,7）；3ax 与线段 AB交于 M ,且AM2MB ,就 a 等2于_ （答：或）十一平移公式 ：假如点 P x y 按向量 a h k 平移至 P x , y ,就 x x h；曲y y k线 f x y 0 按向量 a h k 平移得曲线 f x h y k 0 .留意 ：（1）函数按向量平移与平常“ 左加右减” 有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊！如（1）按向量 a 把 2, 3 平移到 1, 2 ,就按向量 a 把点 7,2 平移到点 _ （答：（,）；（2）函数ysin2x的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是ycos x1,就a _ 12、向量中一些常用的结论：（答：41, ）（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要留意运用；G|（2）|a|b| |ab| |a|b ,特殊地,当 a b、 同向或有 0|ab| |a| |a|b| |ab；当 a b、 反向或有 0|ab| |a|b|a|b| |ab；当 a b、 不共线|a|b| |ab| |a|b 这些和实数比较类似 . （ 3 ） 在ABC 中 , 如A x y 1 1,B x 2,y 2,C x y 3 3, 就 其 重 心 的 坐 标 为x 1x2x3 ,y1y2y；如33如ABC的三边的中点分别为（ 2,1）、（-3 ,4）、心的坐标为 _ （-1 ,-1 ）,就 ABC的重名师归纳总结 PG1 3PAPBPCG 为ABC 的重心,特殊地PA（答：2 4 3 3）；第 6 页,共 7 页PBPC0P为ABC 的重心；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PA PBPB PCPC PAP 为ABC 的垂心；向量|AB|AC |0所在直线过ABC 的内心 是BAC 的角平分线所在直ABAC线 ；| AB PC | BC PA | CA PB 0 P ABC 的内心；（3）如 P 分有向线段 PP 所成的比为,点 M 为平面内的任一点,就 MP MP 1 MP 2,1特殊地 P 为 PP 的中点 1 2 MP MP 1 MP 2；2（4）向量 PA PB PC 中三终点 A、 、C 共线 存在实数、使得 PA PB PC且 1.如平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点 A 3 1, , B 3,1 , 如 点 C 满 足OC 1 OA 2 OB , 其中 1, 2 R 且 1 2 1 , 就点 C 的轨迹是 _ （答：直线 AB）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页