2022年初中数学竞赛定理大全.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载欧拉（ Euler）线：同一三角形的 垂心 、 重心 、 外心 三点共线,这条直线称为三角形的 欧拉线 ；且 外心 与 重心的距离等于九点圆：垂心 与 重心 距离的 一半；任意三角形三边的 中点,三高的垂足 及三顶点与 垂心间线段的中点 ,共九个点共圆,这个圆称为三角形的九点圆 ；其圆心为三角形外心与 的一半 ；垂心 所连 线段的中点,其 半径 等于三角形外接 圆半径名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载费尔马点：已知 P 为锐角 ABC内一点,当 APBBPCCPA120° 时,PAPBPC的值最小,海伦（ Heron）公式：这个点 P称为 ABC的费尔马点 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载塞瓦（ Ceva）定理：在 ABC中,过 ABC的顶点作相交于一点 P 的直线,分别交边 BC、CA、AB 与点 D、E、F,就 BD/DC·密格尔（ Miquel）点：CE/EA· AF/FB1；其逆亦真；如 AE、AF、ED、FB四条直线相交于 A、B、C、D、E、F 六点,构成四个三角形,它们是 就这四个三角形的外接圆 ABF、 AED、 BCE、 DCF,共点,这个点称为密格尔点；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载葛尔刚（ Gergonne）点 : ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点 D、E、F,就 AE、BF、CD三线共点,这个点称为 葛尔刚点 ；西摩松（ Simson）线：已知 P为 ABC外接圆周上任意一点, PDBC,PEACPFAB,D、E、F 为垂足,就 D、E、F 三点共线 ,这条直线叫做 西摩松线 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载黄金分割：把一条 线段AB分成两条线段 ,使其中较大的 线段AC是原线段 AB 与较小线段 BC的比例中项 ,这样的分割称为 黄金分割；帕普斯（ Pappus）定理：已知点 A1、A2、A3 在直线 l1 上,已知点 B1、B2、B3 在直线 l2 上,且 A1 B2 与 A2 B1 交于点 X,A1B3 与 A3 B1 交于点 Y,A2 B3 于 A3 B2 交于 点 Z,就 X、Y、Z 三点共线；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载笛沙格（ Desargues）定理：已知在ABC与 A'B'C'中,AA'、BB'、CC'三线相交于点 O,BC与 B'C'、CA与 C'A'、AB与 A'B'分别相交于点 X、Y、Z,就 X、Y、Z 三点共线 ；其逆亦真摩莱（ Morley）三角形：在已知 ABC三内角 的三等分线 中,分别与 BC、CA、AB相邻的每两线相交于点 D、E、F,就 DEF是正三角形 ,这个正三角形称为 摩莱三角形；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载帕斯卡（ Paskal）定理：已知圆内接六边形 ABCDEF的边 AB、DE延长线交于点 G,边 BC、EF延长线 交于点 H,边 CD、FA延长线交于点 K,就 H、G、K三点共线 ；托勒密（ Ptolemy）定理：在圆内接四边形中 ,AB· CDAD· BCAC·BD （任意四边形都可！哇哈哈）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载斯图尔特（ Stewart）定理：设 P 为 ABC边 BC上一点 , 且 BP：PCn：m,就m·AB 2n·AC 2m·BP 2 n·PC 2（ mn）AP 2 梅内劳斯定理：在 ABC中,如在 BC、CA、AB 或其延长线上被同一条直线截于点 X、Y、Z,就BX/XC· CY/YA· AZ/ZB1 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载阿波罗尼斯（ Apollonius）圆一动点 P 与两定点 A、B 的距离之比等于定比 m:n,就点 P 的轨迹,是以定比 m:n 内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆,这个圆被称为 阿波罗尼斯圆, 简称 “ 阿氏圆” ；布拉美古塔（ Brahmagupta）定理：在圆内接四边形 ABCD中,ACBD,自对角线的交点 P 向一边作垂线,其延长线必平分对边；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载广勾股定理：在任一三角形中,1 锐角对边的平方,等于 两夹边之平方和,减去某夹边和另一夹边在此边上的影射乘积的两倍2 钝角对边的平方,等于 两夹边的平方和,加上某夹边与另一夹边在此边延长上的影射乘积的两倍加法原理 ：做一件事情,完成它有 N类方法,在第一类方法中有 M1种不同的方法,在其次类方法中有 M2种不同的方法, ,在第 N类方法中有 MN种不同的方法,那么完成这件事情共有M1+M2+ +MN 种不同的方法；比如说：从 北京到上海 有 3 种方法可以直接到达上海,1：火车 k12：飞机 k 2 3：轮船 k3,那么从北京- 上海的方法N = k1+k2+k3乘法原理 ：做一件事,完成它需要分成 n 个步骤 ,做第一 步有 m1种不同的方法,做其次步有 m2不同的方法, ,做第n 步有 m·n 不同的方法 . 那么完成这件事共有 N=m1· m2· m3 mn 种不同的方法 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦 的比相等；即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 外接圆的直径）（2R 在同一个三角形中是恒量,是此三角形这肯定理对于任意三角形 ABC,都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 余弦定理：（R 为三角形外接圆半径）对于任意三角形,任何一边的 平方 等于其他 两边平方 的和 减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积,如三边为 a, b, c 三角为 A,B,C , 就满意性质：a 2=b 2+c 2-2bc · Cos A b 2=a 2+c 2-2ac · Cos B c 2=a 2+b 2-2ab · Cos C Cos C= a 2+b 2-c 2/2ab Cos B= a 2+c 2-b 2/2ac Cos A= c 2+b 2-a 2/2bc 解析几何中的基本公式1、 两点间距离：如Ax1,y1,Bx2,y2,就ABl2:x 2x 12y 2y 122、 平行线间距离：如l1:AxByC10,AxByC20就：dC 1C 2A22 B留意点： x,y 对应项系数应相等；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载3、 点到直线的距离：P x , y , l : Ax By C 0Ax By C就 P 到 l 的距离为：d2 2A By kx b4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：F x , y 0消 y：ax 2bx c 0,务必留意 0 .如 l 与曲线交于 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 2 2就：AB 1 k x 2 x 1 5、 如 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ,P（x,y）；P 在直线 AB上,且 P 分有向线段 AB所成的比为,x x 1 x 2x x 1 x 2就 1,特殊地： =1时,P为 AB中点且 2y 1 y 2 y 1 y 2y y1 2变形后：x x 1 或 y y 1x 2 x y 2 y6、 如直线 l1 的斜率为 k1,直线 l2 的斜率为 k2,就 l1到 l2 的角为 , 0 , 适用范畴： k1,k2都存在且 k1k21 ,t a nk2k 1k 11k2如 l1 与 l2的夹角为,就 tank 1k2,0,21k 1k2留意：（1）l1 到 l2的角,指从 l1 按逆时针方向旋转到l2所成的角,范畴0 ,l1 到 l2 的夹角：指l1、l2相交所成的锐角或直角；名师归纳总结 （2）l1l2 时,夹角、到角 =2；第 12 页,共 18 页（3）当 l1 与 l2 中有一条不存在斜率时,画图,求到角或夹角；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7、 （1）倾斜角,0,优秀学习资料欢迎下载；（2）a,b夹角,0,； ,2；=0；（3）直线 l 与平面的夹角,（4）l1 与 l2 的夹角为,2,其中 l 1/l 2 时夹角（5）二面角,0；（6）l1 到 l2 的角, ,8、 直线的倾斜角与斜率 k 的关系a每一条直线都有倾斜角,但不肯定有斜率；b如直线存在斜率 k,而倾斜角为,就 k=tan9、 直线 l1 与直线 l2 的的平行与垂直名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载20（1）如 l1,l2 均存在斜率且不重合：l1/l 2k1=k2l1l2k1k2=1 （2）如l1:A 1xB 1yC1,0l2:A 2xB2yC如 A1、A2、B1、B2都不为零 l1/l 2 A 1 B 1 C 1；A 2 B 2 C 2 l1 l2 A1A2+B1B2=0； l1 与 l2 相交 A 1 B 1A 2 B 2 l1 与 l2 重合 A 1 B 1 C 1；A 2 B 2 C 2留意：如 A2 或 B2 中含有字母,应留意争论字母 =0 与 0 的情形；10、直线方程的五种形式名称 方程 留意点斜截式：y=kx+b 应分斜率不存在斜率存在点斜式：yykxx（1）斜率不存在：xx（ 2 ） 斜 率 存 在 时 为yykxxxyyy 1xx 1轴于其中 l 交 x 轴于a0, ,交 y两点式：y2y 1x2x1截距式：1ab0,b 当直线 l 在坐标轴上,截距相等时应分：一般式：AxByAx0ByC02yb2x（1）截距 =0 设 y=kx （ 2 ） 截 距 =a0设y a1a即 x+y=a（其中 A、B 不同时为零）11、直线C与圆xar2的位置关系有三种名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如dAa2Bb2C,d优秀学习资料欢迎下载0r相离0ABdr相切dr相交013、圆锥曲线定义、标准方程及性质（一）椭圆定义：如 F1,F2 是两定点, P为动点,且PF 1PF 22 aF 1F 2（ a 为常数）就 P 点的轨迹是椭圆；定义：如 F1 为定点, l 为定直线,动点 P 到 F1 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e（0<e<1）,就 P 点的轨迹是椭圆；2 2标 准 方 程 ：x2 y2 1a b a b 0 定 义 域 ： x a x a 值域： x b y b 长轴长 = a 2 ,短轴长=2b 焦距： 2c 准线方程：xca2e xa2,PF2e a2x,PF 12 aPF 2,c焦 半 径 ：PF1ccaPF 1ac等（留意涉及焦半径用点P 坐标表示,第肯定义；）名师归纳总结 留意：（1）图中线段的几何特点：A 1F 1A 2F2ab ,c,A 1F 2a2A 2F 1ac第 15 页,共 18 页B 1F 1B 1F 2B 2F 2B2F 1a,A 2B 2A 1B 2b2等等；顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与a ,c有关；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（2）PF 1F 2 中常常利用余弦定理、三角形面积公式 将有关线段 PF 、PF 、2c,有关角 F 1PF 2 结合起来,建立 PF + PF 、PF 1 PF 2等关系（3）椭圆上的点有常常用到三角换元：xacos；y 轴ybsin（4）留意题目中椭圆的焦点在x 轴上仍是在 y 轴上,请补充当焦点在上时,其相应的性质；二、双曲线（一）定义：如 F1,F2 是两定点,PF 1PF22 aF 1F 2（ a 为常数）,就动点 P 的轨迹是双曲线；如动点 P 到定点 F 与定直线 l 的距离之比是常数 e（e>1）,就动点 P 的轨迹是双曲线；（二）图形：（三）性质方程：x2y21a,0b0 y2x21a0,b0 a2b2a2b2定义域：xxa 或 xa ；值域为 R；实轴长 = a 2 ,虚轴长 =2b 焦距： 2c 名师归纳总结 准线方程：xa2第 16 页,共 18 页c- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2 2焦半径：PF 1 e x ac ,PF 2 e ac x ,PF 1 PF 2 2 a；留意：（1）图中线段的几何特点：AF 1 BF2 c a,AF 2 BF1 a c2 2顶 点 到 准 线 的 距 离 ：a a或 a a； 焦 点 到 准 线 的 距 离 ：c c2 2 2c a或 c a ;两准线间的距离 = 2 ac c c2 2 2 2（2）如双曲线方程为 x2 y2 1 渐近线方程：x2 y2 0 y b xa b a b a如 渐 近 线 方 程 为 y b x x y0 双 曲 线 可 设 为a a b2 2x y2 2a b2 2 2 2如双曲线与 x2 y2 1 有公共渐近线,可设为 x2 y2a b a b（0 ,焦点在 x 轴上,0 ,焦点在 y 轴上）（3）特殊地当 a b 时 离心率 e 2 两渐近线相互垂直,分别为y= x ,此时双曲线为等轴双曲线,可设为 x 2y 2；（4）留意 PF 1F 2 中结合定义 PF 1 PF 2 2 a 与余弦定理 cos F 1 PF 2,将有关线段 PF 、PF 、F 1F 2 和角结合起来；二、抛物线（一）定义：到定点 F 与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；即：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e（e=1）；（二）图形：名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （三）性质：方程：y22优秀学习资料p欢迎下载；px ,p0,焦参数焦点： p 20,通径AB2p；准线：p 2；xCD焦x 1半径p：x1CFpxpx2x222留意：（1）几何特点：焦点到顶点的距离径长 = pp, 过 焦 点 弦 长2= p ；焦点到准线的距离 = p ；通2顶点是焦点向准线所作垂线段中点；名师归纳总结 （ 2 ） 抛 物 线y2x2px上 的 动 点 可 设 为Py2,y或第 18 页,共 18 页2pP2pt2,2pt或P ,y其中y22px- - - - - - -