2022年微分中值定理应用之中值点存在性研究报告.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用微分中值定理的应用之中值点存在性的讨论1 引言 微分中值定理 <罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理）是微分 学的基本定理,在微积分中占有特别重要的位置,有着广泛的应用,其中证明某区间上满意 肯定条件的中值点的存在性是微分中值定理特别重要的应用,也是在历年考研试卷中常常出 现的题型之一 . 利用中值定理证明中值点的存在性,要兼顾条件与结论,综合分析,寻求证明思路,解决此类问题的关键是构造帮助函数,而构造帮助函数技巧性较强,本文通过一些 典型题目的求解,全面总结了证明此类问题的技巧与方法 .2 一个中值点的情形 <1） 原函数法在利用微分中值定理证明中值点的存在性问题时,关键是依据所证明的结论构造帮助函 数,构造帮助函数最基本最重要的思想就是寻求原函数,而寻求原函数的方法又因所证结论 不同而不同 . 直接法使得这种方法的解题思路主要是依据题目所证结论中常数项的特点直接得到帮助函数. ,例 1函数在上连续,在内可导,证明: 在内至少存在一点. 分析 ：结论等号左侧明显是函数在区间两端点函数值的差与区间长度之商 , 于是联想到对函数使用拉格朗日中值定理.证明 ：令,明显在上满意拉格朗日中值定理条件. 于是知：在内至少存在 一点,使 得,而,即得结论. 证毕 . 名师归纳总结 例 2函数在上连续,在内可导,试证：存在,第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 使得. 个人资料整理仅限学习使用分析 ：将结论变形为. ,等式左端的形式很简单联想到柯西中值定理,帮助函数明显可取为证明 ：令,易知在上满意柯西中值定理的条件,于是可得：存在,使,即,亦即. 证毕 . 值法此方法的解题思路是：把常数部分设为,然后作恒等变形使等式一端为 与 构成的代数式,另一端为 与 构成的代数式,分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式,如是,就把 <或）改为,相应的函数值 <或）改为,就替换变量后的表达式就是所求的帮助函数 .例 3<拉格朗日中值定理）假如函数 满意：<1）在闭区间 上连续； <2）在开区间 内可导,就在开区间 内至少存在一点,使得 . 分析 ：结论可变形为,令,就,明显这是一个对称式,故可令 . 证 明 ： 作 辅 助 函 数, 显 然 在 上 连 续 , 在 内 可 导 , 且,因此 上满意罗尔定理的条件,于是至少存在一点 使得,即,亦即 . 证毕 .注：例 1、例 2 也可以用此方法证明 . 积分法名师归纳总结 成这种方法的基本思想是利用不定积分寻求帮助函数,详细做法如下：将结论中的换第 2 页,共 9 页,通过恒等变形将结论化成的形式,然后用观看或直接积分<假如不易通过- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 观看得到）求得原函数,积分常数取为个人资料整理仅限学习使用0. 例 4 设函数 在 上连续,在 内可导,且 . 证明：至少存在一点,使 . 分析 ：结论即要证明函数 在 内有根,而,即证明函数 在 内有零点 . 因结论中含有函数导数,故可考虑利用罗尔定理 . 通过观看易发觉,于是帮助函数可取为 .证 明 ： 令, 显 然 在 上 连 续 , 在 内 可 导 , 且, 于 是 由 罗 尔 定 理 知 ： 至 少 存 在 一 点, 使, 而,故,即 . 证毕 . 注：例 1,例 2,例 3 也可使用这种方法证明 . 例 5 设函数,在 上连续,在 内可导,且,证明：至少存在一点,使 . 分析 ：结论即要证明函数 在 内有零点,因结论中含有函数导数 , 故 考 虑 利 用 罗 尔 定 理 , 而 此 函 数 的 原 函 数 通 过 观 察 可 能 感 到 有 点 困 难 . 将零点 . 而变形为,即要证明函数与在内有,明显的导数有相同的零点,于是可取原函数为 .证 明 ： 令 , 显 然 在 上 连 续 , 在 内 可 导 , 且, 于 是 由 罗 尔 定 理 知 ： 至 少 存 在 一 点, 使, 而, 故, 又, 于 是. 证毕 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用当所证明的结论中显现二阶导数时通常可考虑两次使用中值定理证明 . 例 6 设函数 在 上有二阶导数,且 ,证明 : 在内至少存在一点,使得 . 分析 ：结论即要证明函数 在 内有零点,可考虑对函数 使用罗尔定理 ,关键是要找到使得 函数值相等的两个点 . 而,易知,而由题设知 明显在 上满意罗尔定理条件,故必存在点 , 使得,在 上对函数 使用罗尔定理即得结论 .证明 ：明显在 上满意罗尔定理的条件,故存在点 , 使得 . 由于,由条件易知 在 上连续,在 内可导,且,于是由罗尔定理知：在 内至少存在一点,使得. 证毕 . 例7设 函数在上二 阶可导, 且,. 试证： <1）在内；<2）至少存在一点,使. . ,分析 ：<1）类似,或多用反证法证明<2）仍可考虑使用罗尔定理,关键是查找帮助函数,结论可变形为即证函数在内有零点 . 由. 名师归纳总结 故可取为原函数 . ,明显在上满意罗第 4 页,共 9 页证明 ： <1）假设存在一点使- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 尔定理条件. 于是存在,个人资料整理仅限学习使用. 而在使得,上又满意罗尔定理条件,于是存在,使得,与题设条件冲突 . 故在内.上连续,在内可导,且<2）令,明显在, 由 罗 尔 定 理 知 至 少 存 在 一 点, 使 得, 又,故. 由 1> 知,即得. 证毕 .<2） 泰勒公式法当题设中显现高阶导数 中值点的存在性 . <三阶或三阶以上的导数）时,通常可考虑使用泰勒公式证明例 8 如函数 在 上有三阶导数,且,设,试证：在 内至少存在一个点,使 . 分析 ：由题设明显函数 在 上有三阶导数,故考虑利用 的泰勒绽开式 . 证明 ：在 处的二阶泰勒绽开式为：至少存在一个点,使得. 由于,. 而,所以,故,于是得. 证毕 . 名师归纳总结 注：此题也可使用三次罗尔定理证明. . ,第 5 页,共 9 页例 9 设函数在闭区间上具有三阶连续导数,且. 试证：在开区间内至少存在一点,使证明 ：由,得在处的二阶泰勒公式为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理仅限学习使用）. <介于 0 与之间,由题设知,两式相减,可得. 又在区间连续,从而在上也连续,故在区间上有最大值和最小值. 从而有,由介值定理知,至少存在一点,使得. 证毕 . 3 两个中值点的情形在证明两个中值点存在性的命题时,通常可考虑使用两次中值定理 . 例 10 已知函数 在 上连续,在 内可导,且,证明 : <1）存在,使；<2）存在不同的两个点,使得分析 ：<1）即证函数 在 内有零点,可用零点定理证之 . <2）要证满意条件的两个 不同点 , 可考虑在 不同区间 上使用中值定理 . 而 1> 中点即把区间 分为两个区间,对 在两个区间上分别使用拉格朗日中值定理,再寻求两个结论之间的关系即可 .证 明 ： 1> 令, 显 然 在 上 连 续 , 且,就由零点定理知,至少存在一点,使,即 . <2）显 然 在 区 间 上 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 条 件 , 故 存 在 一 点, 使 得, 即； 存 在 一 点, 使 得, 即 . 从 而. 证毕 . 名师归纳总结 例 11 函数在上连续,在可导,试证 : 存在,第 6 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 使得. 个人资料整理仅限学习使用分析 ：结论中两点只要存在即可,不要求肯定不同,故可在同一区间上使用两次中值定理. 同时结论中的 部分可看作函数 与 在点 处的导数之商,故联想到柯西中值定理 . 再对 使用拉格朗日中值定理,然后寻求两个结论之间的关系 .证明 ：令,易知 与 在 上连续,在 可导,且 . 由 柯 西 中 值 定 理 知 , 存 在,使 得, 即,. 而由拉格朗日中值定理知,存在,使得, 使即 . 由以上两式得 : 存在. 证毕 . 4 含中值点的积分等式的证明这种命题的基本思路是：将题设中的定积分转化为变限积分的函数,这一函数通常即可作为帮助函数,再结合微分中值定理得到证明 . 例 12 设 函 数 在 上 连 续 , 在 内 可 导 , 且, 如 极 限存 在 , 证 明 ： <1 ） 在 内； <2 ） 在 内 存 在 一 点, 使；<3）在内存在与 <2）中不同的点,使. 名师归纳总结 分析 ：<1）可用连续性及极限的相关学问证明. 第 7 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - <2）将结论变形为个人资料整理仅限学习使用可看,就左侧作函数 在 端点函数值之差,而 . 再由等式特点可知对函数 在 上利用柯西中值定理即可 .<3）结论中显现了,联想到对函数 在区间 上利用拉格朗日中值定理 . 证明 ：<1）由 存在及函数 在区间 上连续,知. 又因 知 在 内单调增加,故当 时,有 . <2） 令, 显 然 在 上 连 续 ,在内 可 导 , 又, 故 满 足 柯 西 中 值 定 理 的 条 件 , 所 以 存 在 一 点,使得,即 . 3> 对函数 在区间 上利用拉格朗日中值定理知存在,使得,即,代入 <2）的结论,即得. 证毕 . 注：将题设中的定积分转化为变限积分的函数是定积分证明题中的常用方法 . 例 13 设函数 在 上连续,且,. 证明：在内至少存在两个不同的点,使 . 分析 ：直接证明函数 在 内至少存在两个不同的零点比较困难,如令,而,故可证 在 内至少存在两个不同的零点 . 证明 ：设,就,. 又,名师归纳总结 由积分中值定理知存在,使得. 而时,第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - , 故. 在 区 间个人资料整理仅限学习使用上 分 别 使 用 罗 尔 定 理 知 ： 存 在例 14 设函数,使得在. ,. 即. 证毕 . 上连续,且,试证：至少存在一点,使分析 ：将结论变形为 , 简单看出对函数,在上使用柯西中值定理即可. 证明 ：设,明显,在上满意柯西中值定理的条件,于是知至少存在一点,使得,即. 证毕 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页