2022年初中代数知识点归纳讲课教案 .pdf

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流代数部分第一章：实数基础知识点：一、实数的分类：无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp的形式，其中p、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数， 如 1.101001000100001 ；特定意义的数，如、45sin等。3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。二、实数中的几个概念1、相反数 ：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（1）实数 a 的相反数是 -a ；（2）a 和 b 互为相反数a+b=0 2、倒数：（1）实数 a（a0）的倒数是a1；（2）a 和 b 互为倒数1ab；（3）注意 0 没有倒数3、绝对值：（1）一个数 a 的绝对值有以下三种情况：0,0,00,aaaaaa（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a0，称a叫 a 的平方根，a叫 a 的算术平方根。（2）正数的平方根有两个， 它们互为相反数； 0 的平方根是 0；负数没有平方根。（3）立方根：3a叫实数 a的立方根。（4） 一个正数有一个正的立方根； 0 的立方根是 0； 一个负数有一个负的立方根。三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。四、实数大小的比较1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。2、正数大于 0；负数小于 0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。五、实数的运算1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。3、乘法：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为 0；若 n 个非 0 的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定， 当负因数有偶数个时， 积为正；当负因数为奇数个时，积为负。（3）乘法可使用乘法交换律: 乘法结合律 : 乘法分配律 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流4、除法：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。（3）0 除以任何数都等于0，0 不能做被除数。5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。六、有效数字和科学记数法1、科学记数法 ：设 N0，则 N= an10（其中 1a10，n 为整数） 。2、有效数字 ：一个近似数，从左边第一个不是0 的数，到精确到的数位为止，所有的数字， 叫做这个数的有效数字。 精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。代数部分第二章：代数式基础知识点：一、代数式1、代数式 ：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。2、代数式的值 ：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。3、代数式的分类：无理式分式多项式单项式整式有理式代数式二、整式的有关概念及运算1、概念（1）单项式 ：像 x、7、yx22，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流单项式的次数 ：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。单项式的系数 ：单项式中的数字因数叫单项式的系数。（2）多项式 ：几个单项式的和叫做多项式。多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式的次数 ：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。升（降）幂排列 ：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。（3）同类项 ：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。2、运算（1）整式的加减 ：合并同类项 ：把同类项的系数相加， 所得结果作为系数， 字母及字母的指数不变。去括号法则 ：括号前面是“ +”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“ ”号，把括号和它前面的“ ”号去掉，括号里的各项都变号。添括号法则： 括号前面是“ +”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“ ”号，括到括号里的各项都变号。整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。（2）整式的乘除 ：幂的运算法则 ：其中 m、n 都是正整数同底数幂相乘 ：nmnmaaa；同底数幂相除 ：nmnmaaa；幂的乘方：mnnmaa )(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流积的乘方 ：nnnbaab)(。单项式乘以单项式 ：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母， 用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加。多项式乘以多项式： 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。单项除单项式： 把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式： 把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。乘法公式：平方差公式 ：22)(bababa；完全平方公式：2222)(bababa，2222)(bababa三、因式分解1、因式分解 概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法 ：)(cbammcmbma（2）运用公式法 ：平方差公式 ：)(22bababa；完全平方公式 ：222)(2bababa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（3）十字相乘法 ：)()(2bxaxabxbax（4）分组分解法 ：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。（5）运用求根公式法：若)0(02acbxax的两个根是1x、2x，则有：)(212xxxxacbxax3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式， 应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考虑用分组分解法。四、分式1、分式定义：形如BA的式子叫分式， 其中 A、B 是整式，且 B 中含有字母。（1）分式无意义 ：B=0 时，分式无意义；B0 时，分式有意义。（2）分式的值为 0：A=0，B0 时，分式的值等于0。（3）分式的约分 ：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。（4）最简分式 ：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。（5）通分： 把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。（6）最简公分母： 各分式的分母所有因式的最高次幂的积。（7）有理式： 整式和分式统称有理式。2、分式的基本性质：（1）)0(的整式是MMBMABA；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（2）（2）)0(的整式是MMBMABA（3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3、分式的运算：（1）加、减： 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。（4）乘方： 分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。五、二次根式1、二次根式 的概念：式子)0(aa叫做二次根式。（1）最简二次根式 ：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。（2）同类二次根式 ：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。（3）分母有理化 ：把分母中的根号化去叫做分母有理化。（4）有理化因式 ：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：a与a；dcba与dcba）2、二次根式的性质：（1）)0()(2aaa；（2）)0()0(2aaaaaa；（3）baab（a0，b0） ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（4）)0,0(bababa3、运算：（1）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。（2）二次根式的乘法：abba（a0，b0） 。（3）二次根式的除法：)0,0(bababa二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。代数部分第三章：方程和方程组基础知识点：一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0 （其中 x 是未知数， a、b 是已知数， a0）（2）一元一次方程的最简形式：ax=b （其中 x 是未知数， a、b 是已知数， a0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流移项、合并同类项系数化为 1。（4）一元一次方程有唯一的一个解。2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：02cbxax（其中 x 是未知数， a、b、c 是已知数， a0）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。（4）一元二次方程的根的判别式：acb42当 0 时方程有两个不相等的实数根；当=0时方程有两个相等的实数根；当 0 时方程没有实数根，无解；当 0 时方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若21,xx是一元二次方程02cbxax的两个根，那么：abxx21，acxx21（6） 以 两 个 数21, xx为根 的一 元二 次方 程（ 二次 项系 数为1） 是 ：0)(21212xxxxxx三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。特殊方法：换元法。（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为 0 的就是原方程的根； 使得最简公分母为0 的就是原方程的增根， 增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。四、方程组1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组3、一次方程组：（1）二元一次方程组：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流一般形式：222111cybxacybxa（212121,ccbbaa不全为 0）解法：代入消远法和加减消元法解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。（2）三元一次方程组：解法：代入消元法和加减消元法4、二元二次方程组：（1）定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。（2）解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方程组。代数部分第四章：列方程（组）解应用题知识点：一、列方程（组）解应用题的一般步骤1、审题：2、设未知数；3、找出相等关系，列方程（组） ；4、解方程（组）；5、检验，作答；二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；1、工程问题（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率工作时间（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量 =甲、乙合作的工作总量（3）注意：工程问题常把总工程看作“1” ，水池注水问题属于工程问题2、行程问题（1）基本量之间的关系：路程=速度时间（2）常见等量关系：相遇问题：甲走的路程 +乙走的路程 =全路程追及问题（设甲速度快） ：同时不同地：甲的时间 =乙的时间；甲走的路程 乙走的路程 =原来甲、乙相距路程同地不同时：甲的时间 =乙的时间 时间差；甲的路程 =乙的路程3、水中航行问题：顺流速度 =船在静水中的速度 +水流速度；逆流速度 =船在静水中的速度 水流速度4、增长率问题：常见等量关系：增长后的量 =原来的量 +增长的量；增长的量 =原来的量（1+增长率） ；5、数字问题：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流基本量之间的关系：三位数=个位上的数 +十位上的数 10+百位上的数100 三、列方程解应用题的常用方法1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。例题：例 1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作 5 天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作1 天就可完成， 若单独完成这项工程乙组比甲组多用2 天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？分析：设工作总量为1，设甲组单独完成工程需要x 天，则乙组完成工程需要(x+2)天，等量关系是甲组 5 天的工作量 +乙组 6 天的工作量 =工作总量解：略例 2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的 A 地，1 小时 45分后，因任务需要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28 千米，恰好在全程的31处追上甲连。求乙连的行进速度及追上甲连的时间分析：设乙连的速度为 v 千米/小时，追上甲连的时间为t 小时，则甲连的速度为（ v 28）千米 /小时，这时乙连行了)47(t小时，其等量关系为：甲走的路程=乙走的路程 =30 例 3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60 台支援抗洪，由于改进了操作技术； 每天生产的台数比原计划多50%，结果提前 2 天完成任务， 求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台？分析：设原计划每天生产通讯设备x 台，则改进操作技术后每天生产x（1+0.5）台，等量关系为：原计划所用时间 改进技术后所用时间 =2 天解：略例 4、某商厦今年一月份销售额为60 万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降 10%，以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到 96 万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？分析：设三、四月份平均每月增长率为x%，二月份的销售额为60（1 10%）万元， 三月份的销售额为二月份的 （1+x） 倍， 四月份的销售额又是三月份的 （1+x）倍，所以四月份的销售额为二月份的（1+x）2倍，等量关系为：四月份销售额为=96 万元。解：略例 5、一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳 20%的利息税，例如存入一年期 100 元，到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流税后利息 =%)201%(25.2100%20%25.2100%25.2100已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是450 元， 问该储户存入了多少本金？分析： 设存入 x 元本金， 则一年期定期储蓄到期纳税后利息为2.25%(1-20%)x元，方程容易得出。例 6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平均每天可多售出2 件。若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？分析：设每件衬衫应该降价x 元，则每件衬衫的利润为（ 40-x）元，平均每天的销售量为（ 20+2x）件，由关系式：总利润 =每件的利润售出商品的叫量，可列出方程解：略代数部分第五章：不等式及不等式组知识点：一、不等式与不等式的性质1、 不等式：表示不等关系的式子。（表示不等关系的常用符号： ，） 。2、不等式的性质：（l）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a b， c 为实数acbc （2）不等式两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号方向不变，如ab，c0acbc。（3）不等式两边都乘以（或除以） 同一个负数，不等号方向改变，如ab，c0acbc. 注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。3、任意两个实数 a，b 的大小关系（三种）：（1）a b 0ab （2）a b=0a=b （3）a b0ab 4、 （1）ab0ba（2）ab022ba二、不等式（组）的解、解集、解不等式1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流2求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）。三、不等式（组）的类型及解法1、一元一次不等式：（l）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。2、一元一次不等式组：（l）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -