2022年微观经济学第四章习题答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆第四章 生产论1. 下面 表 41是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：表 41 可变要素的数量可变要素的总产量可变要素的平均产量可变要素的边际产量1 24 2 10 2 3 4 60 12 6 5 6 7 70 0 8 9 63 1在表中填空；2该生产函数是否表现出边际酬劳递减？假如是,是从第几单位的可变要素投入量开 始的？解答： 1利用短期生产的总产量TP、平均产量 AP和边际产量 MP 之间的关系,可以完成对该表的填空,其结果如表 4 2 所示：表 42 可变要素的数量可变要素的总产量可变要素的平均产可变要素的边际产0 量量1 2 2 2 2 12 6 10 3 24 8 12 4 48 12 24 5 60 12 12 6 66 11 6 7 70 10 4 8 70 8f3 4 9 63 7 7 2所谓边际酬劳递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开头逐步下降的这样一种普遍的生产现象；此题的生产函数表现出边际酬劳递减的现象,具体地说,由表 42 可见,当可变要素的投入量从第 4 单位增加到第 5 单位时,该要素的边际产量由原先的 24 下降为 12；2. 用图说明短期生产函数 QfL ,eq oK,sup6 的 TPL曲线、 APL曲线和MP L曲线的特点及其相互之间的关系；解答： 短期生产函数的 TPL 曲线、 AP L 曲线和 MP L 曲线的综合图如图 41 所示；图 41 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆由图 41 可见,在短期生产的边际酬劳递减规律的作用下,MP L 曲线出现出先上升达到最高点 A 以后又下降的趋势；从边际酬劳递减规律打算的 MP L 曲线动身,可以便利地推导出 TPL 曲线和 APL 曲线,并把握它们各自的特点及相互之间的关系；关于 TP L 曲线；由于 MP Lf dTPL,dL,所以,当 MP L0 时, TPL曲线是上升的；当 MP L 0 时, TPL 曲线是下降的；而当 MP L0 时, TPL 曲线达最高点；换言之,在 L L3 时,MP L 曲线达到零值的 B 点与 TPL 曲线达到最大值的 B 点是相互对应的；此外,在 L L3 即 MP L0 的范畴内,当 MPL 0 时, TPL曲线的斜率递增,即 TPL 曲线以递增的速率上升；当 MPL0 时, TPL曲线的斜率递减,即 TPL 曲线以递减的速率上升；而当MP 0 时,TP L曲线存在一个拐点,换言之, 在 L L 1 时,MP L 曲线斜率为零的 A 点与 TPL曲线的拐点 A 是相互对应的；关于 AP L 曲线；由于 AP LfTP L ,L,所以,在 LL 2时, TPL曲线有一条由原点动身的切线, 其切点为 C；该切线是由原点动身与 TPL 曲线上全部的点的连线中斜率最大的一条连线,故该切点对应的是 APL 的最大值点；再考虑到 APL 曲线和 MP L 曲线肯定会相交在 APL 曲线的最高点；因此,在图 41 中,在 LL 2 时, APL 曲线与 MP L 曲线相交于AP L曲线的最高点 C ,而且与 C 点相对应的是 TPL 曲线上的切点 C；3. 已知生产函数 QfL , K 2KL 0.5L 2 0.5K 2, 假定厂商目前处于短期生产,且K10；1写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量 TPL函数、劳动的平均产量 AP L 函数和劳动的边际产量 MP L 函数；2分别运算当劳动的总产量 TPL、劳动的平均产量 AP L 和劳动的边际产量 MP L 各自达到最大值时的厂商的劳动投入量；3什么时候 AP LMPL？它的值又是多少？解答： 1由生产函数 Q2KL 0.5L20.5K2,且 K10,可得短期生产函数为Q20L0.5L 2 0.5 ×10 220L0.5L 250 于是,依据总产量、平均产量和边际产量的定义,有以下函数劳动的总产量函数：TPL 20L 0.5L 2 50 劳动的平均产量函数：AP LTP L/L 200.5L 50/L劳动的边际产量函数：MP LdTPL/dL20L 2关于总产量的最大值：令 dTPL/dL 0,即 dTPL/dL20L 0 解得 L 20 且 d2TPL/dL 2 10 所以,当劳动投入量 L20 时,劳动的总产量 TPL 达到极大值；关于平均产量的最大值：令 dAPL/dL 0,即 dAPL/dL 0.550L20 解得 L 10已舍去负值 且 d 2APL/dL 2 100L30 所以,当劳动投入量 L10 时,劳动的平均产量 AP L 达到极大值；关于边际产量的最大值：由劳动的边际产量函数 MP L 20L 可知,边际产量曲线是一条斜率为负的直线；考虑到劳动投入量总是非负的,所以,当劳动投入量 L0 时,劳动的边际产量 MP L 达到极大值；3当劳动的平均产量 AP L达到最大值时,肯定有 AP LMP L；由 2已知,当 L10 时,劳动的平均产量 APL 达到最大值,即相应的最大值为APL 的最大值 200.5 ×1050/1010 将 L10 代入劳动的边际产量函数MP L20L,得 MP L20 1010；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆很明显,当APL MP L10 时, APL 肯定达到其自身的极大值,此时劳动投入量为L 10；4.区分边际酬劳递增、不变和递减的情形与规模酬劳递增、不变和递减的情形；解答：边际酬劳变化是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单位时所引起的总产量的变化量, 即边际产量的变化,而其他生产要素均为固定生产要素,固定要素的投入数量是保持不变的；边际酬劳变化具有包括边际酬劳递增、不变和递减的情形；很明显,边际酬劳分析可视为短期生产的分析视角；规模酬劳分析方法是描述在生产过程中全部生产要素的投入数量均同比例变化时所引起的产量变化特点,当产量的变化比例分别大于、等于、 小于全部生产要素投入量变化比例时,就分别为规模酬劳递增、不变、递减；很明显,规模酬劳分析可视为长期生产的分析视角；5. 已知生产函数为 Qmin2L , 3K ；求：1当产量 Q 36 时, L 与 K 值分别是多少？2假如生产要素的价格分别为 PL2,PK5,就生产 480 单位产量时的最小成本是多少？解答： 1生产函数 Qmin2L , 3K 表示该函数是一个固定投入比例的生产函数,所以,厂商进行生产时,总有 Q2L 3K；由于已知产量 Q36,所以,相应地有 L18,K 12；2由 Q2L 3K ,且 Q480,可得L240, K 160 又由于 PL 2,PK 5,所以有CPL·L PK·K 2×2405×1601 280 即生产 480 单位产量的最小成本为 1 280；6.假设某厂商的短期生产函数为 Q35L8L 2L 3；求： 1该企业的平均产量函数和边际产量函数；2假如企业使用的生产要素的数量为 L6,是否处理短期生产的合理区间？为什么？2解答： 1平均产量函数：APL fQL,L358L L边际产量函数：MPL fdQL, dL3516L3L 22第一需要确定生产要素 L 投入量的合理区间；在生产要素 L 投入量的合理区间的左端,有 APMP,于是, 有 358LL 2 3516L3L 2；解得 L 0 和 L 4； L0 不合理,舍去,故取 L 4；在生产要素 L 投入量的合理区间的右端,有 MP 0,于是,有 3516L3L 20；解得 Lf5,3 和 L7；Lf5,3 不合理,舍去,故取 L7；由此可得,生产要素 L 投入量的合理区间为 4,7 ；因此,企业对生产要素 L 的使用量为 6 是处于短期生产的合理区间的；7.假设生产函数Q 3L0.8K0.2；试问：1该生产函数是否为齐次生产函数？2假如依据欧拉安排定理,生产要素 配后产品仍会有剩余吗？解答： 1由于L 和 K 都按其边际产量领取实物酬劳,那么,分名师归纳总结 f L, K3 L 0.8 K 0.2 ·0.8K 0.2 ·fL,K 0.80.23L0.8K0.2第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆所以,该生产函数为齐次生产函数,且为规模酬劳不变的一次齐次生产函数；2由于MP LfdQ,dL2.4L0.2K 0.2 0.6L 0.8K 0.8MP Kf dQ,dK所以,依据欧拉安排定理,被安排掉的实物总量为MP L·LMP K·K2.4L 0.2K 0.2· L 0.6L2.4L 0.8K 0.20.6L 0.8K 0.23L 0.8K 0.20.8K0.8·K 就所生产的可见, 对于一次齐次的该生产函数来说,如按欧拉安排定理安排实物酬劳,产品刚好分完,不会有剩余；8.假设生产函数 Q min5L,2K ；1作出 Q50 时的等产量曲线；2推导该生产函数的边际技术替代率函数；3分析该生产函数的规模酬劳情形；42解答： 1生产函数Qmin5 L,2K 是固定投入比例生产函数,其等产量曲线如图所示为直角外形,且在直角点两要素的固定投入比例为K/L 5/2；图 42当产量 Q50 时,有 5L 2K50,即 L 10,K25；相应的 Q50 的等产量曲线如 图 42 所示；2由于该生产函数为固定投入比例,即 代率 MRTS LK 0；3 由于 QfL ,Kmin5L,2K L 与 K 之间没有替代关系,所以,边际技术替f L, Kmin5 L,2 Kmin5L,2K 所以该生产函数为一次齐次生产函数,出现出规模酬劳不变的特点；名师归纳总结 9.已知柯布道格拉斯生产函数为KQ AL K；请争论该生产函数的规模酬劳情形；第 4 页,共 11 页解答： 由于QfL , KAL- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆f L, KA L K ALK所以当 >1时,该生产函数为规模酬劳递增；当酬不变；当 <1时,该生产函数为规模酬劳递减；10. 已知生产函数为aQ5L2；f1,3K；f2,3；bQfKL,K LcQ KLdQmin3L , K ；求： 1厂商长期生产的扩展线方程；1 时,该生产函数为规模报2当 PL1, PK1,Q 1 000 时,厂商实现最小成本的要素投入组合；eq f1,3解答： 1a关于生产函数Q5Lf1,3Kf2,3；MP Lf5,3Lf2,3Kf2,3MP Kf10,3Lf1,3Kf1,3由最优要素组合的均衡条件fMP L,MP KfP L,PK,可得eq f5,3L eq f2,3Keq f2,3,eq f10,3LKf1,3fPL,PK 整理得fK,2LfP L,PK即厂商长期生产的扩展线方程为Kblcrcavs4alco1f2PL,PK L 2,K L 2,K L2 2,可得b关于生产函数QfKL,K L；MP LfKK L KL,K L2 2fKMP KfLK L KL,K LfL由最优要素组合的均衡条件fMP L,MP KfP L,PKfK2/K L2,L2/K L2fPL,PK整理得fK2,L2fP L,PK 即厂商长期生产的扩展线方程为名师归纳总结 Kblcrcavs4alco1fPL,PKf1,2·L 第 5 页,共 11 页c关于生产函数QKL2；MP L2KL MP KL 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆由最优要素组合的均衡条件fMP L,MP KfP L,PK,可得f2KL,L2fP L,PK 即厂商长期生产的扩展线方程为Kblcrcavs4alco1fPL,2PK L d关于生产函数 Qmin3L, K；由于该函数是固定投入比例的生产函数,即厂商的生产总有3L K,所以,直接可以得到厂商长期生产的扩展线方程为K3L；Kf2,3；K eq 2a关于生产函数Q5Lf1,3当PL 1 , PK 1 , Q 1 000时 , 由 其 扩 展 线 方 程blcrcavs4alco1f2PL,PKL 得K2L 代入生产函数Q5Lf1,3Kf2,3得K eq 5Lf1,32Lf2,3 1 000 于是,有 L f200,r3,4,K f400,r3,4；b关于生产函数QfKL,K L；当PL 1 , PK 1 , Q 1 000时 , 由 其 扩 展 线 方 程blcrcavs4alco1fPL,PKf1,2L 得KL 代入生产函数QfKL,K L,得fL2,L L1 000 于是,有 L 2 000,K2 000；c关于生产函数QKL2；时 , 由 其 扩 展 线 方 程K eq 当PL 1 , PK 1 , Q 1 000blcrcavs4alco1fPL,2PKL 得·L21 000 Kf1,2L 代入生产函数QKL2,得blcrcavs4alco1fL,2于是,有 L 10r3,2,K 5r3,2；d关于生产函数 Qmin3L , K ；当 PL1,PK1,Q1 000 时,将其扩展线方程K3L1 000 于是,有 K1 000,Lf1 000,3；K 3L ,代入生产函数,得名师归纳总结 11. 已知生产函数QAL1/3K2/3；第 6 页,共 11 页判定： 1在长期生产中,该生产函数的规模酬劳属于哪一种类型？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆2在短期生产中,该生产函数是否受边际酬劳递减规律的支配？, 于是有解答： 1由于 QfL , K ALf1,3Kf2,3f2,3f L, KA Lf1,3 Kf2,3Af1,3eq Lf1,3Kf2,3 ALf1,3Kf2,3 ·fLK 所以,生产函数 Q AL eq f1,3 K eq f2,3 属于规模酬劳不变的生产函数；2假定在短期生产中,资本投入量不变,以 oK,sup6 表示；而劳动投入量可变,以 L 表示；对于生产函数 QAL f1,3 oK,sup6 f2,3,有MP Lf1,3 AL f2,3 oK,sup6 f2,3且 eq f dMPL ,dL eq f2,9 AL eq f5,3 eq oK,sup6 f2,30 这说明： 在短期资本投入量不变的前提下,随着一种可变要素劳动投入量的增加,劳动的边际产量 MP L 是递减的；类似地,假定在短期生产中,劳动投入量不变,以 oL,sup6 表示；而资本投入量可变,以 K 表示；对于生产函数 QA oL,sup6 f1,3 K f2,3,有MP Kf2,3 A oL,sup6 f1,3 Kf1,3且 eq fdMP K,dKeq f2,9 A eq oL,sup6 eq f1,3Kf4,30 这说明： 在短期劳动投入量不变的前提下,随着一种可变要素资本投入量的增加,资本的边际产量 MP K 是递减的；以上的推导过程说明该生产函数在短期生产中受边际酬劳递减规律的支配；12. 令生产函数 fL , K01LK f1,22K3L,其中 0 i1,i0,1,2,3；1当满意什么条件时,该生产函数表现出规模酬劳不变的特点；2证明：在规模酬劳不变的情形下,相应的边际产量是递减的；解答： 1依据规模酬劳不变的定义f L, K ·fL, K 0 于是有f L, K01 L Kf1,2 2 K3 L00 1LKf1,2 2K 3L 01LKf1,22K 3L 1 ·,K 1 由上式可见,当00 时,对于任何的0,有 f L, K ·fL, K成立,即当0 时,该生产函数表现出规模酬劳不变的特点；2在规模酬劳不变,即00 时,生产函数可以写成名师归纳总结 fL ,K 1LKf1,22K3L 第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆相应地,劳动与资本的边际产量分别为MP LL,K f.fL ,K, .L f1,21Lf1,2Kf1,23f.fL ,K, .Kf1,21Lf1,2KMP KL ,K f1,22而且有f3,2f .MPLL ,K, .Lf.2fL ,K,.L2f1,41L Kf1,2f.2fL ,K, .K2f1,41Lf.MP KL ,K, .Kf1,2Kf3,2明显,劳动和资本的边际产量都是递减的；13. 已知某企业的生产函数为QLf2,3Kf1,3,劳动的价格w2,资本的价格r 1；求：1当成本 C 3 000 时,企业实现最大产量时的 2当产量 Q 800 时,企业实现最小成本时的L 、K 和 Q 的均衡值；L、 K 和 C 的均衡值；解答： 1依据企业实现给定成本条件下产量最大化的均衡条件fMP L,MP K fw,rf1,3KLf1,3其中MP Lf dQ,dLf2,3L MP Kf dQ,dKf1,3Lf2,3Kf2,3w2r1 ,eq f1,3eq f2,3于是有eq f2,3Leq f1,3Keq f1,3Kf2,3f2,1整理得fK,Lf1,1即KL 再将 KL 代入约束条件2L 1·K 3 000,有2LL3 000 解得L*1 000 1 000f2,3f1,3且有K* 1 000 将 L*K*1 000 代入生产函数,求得最大的产量Q*L*f2,3K*f1,3 1 000 此题的运算结果表示：在成本C3 000 时,厂商以L*1 000,K*1 000 进行生产所达到的最大产量为Q*1 000；此外,此题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解；名师归纳总结 s.t.omax,sdo4L ,KLf2,3Kf1,3第 8 页,共 11 页2L1·K 3 000 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆LL,K,Lf2 ,3Kf1,33 000 2LK 将拉格朗日函数分别对L、K 和 求偏导,得极值的一阶条件f.L ,.Lf2 ,3Lf1,3Kf1 ,3 201 f.L ,.Kf1,3Lf2 ,3Kf2,302 f.L ,.3 0002LK03 由式 1、式 2可得fK,L f1,1即 KL将 KL 代入约束条件即式 3,可得3 000 2LL0 解得 且有L *1 000 K * 1 000 f2 ,3f1 ,3再将 L*K* 1 000 代入目标函数即生产函数,得最大产量Q*L*f2 ,3K*f1 ,31 000 1 000 在此略去关于极大值的二阶条件的争论；2依据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件fMP L,MP Kfw,r其中 MP Lfd Q,dLf2 ,3 Lf1 ,3 K f1 ,3MP Kfd Q,dKf1 ,3 L f2 ,3 Kf2 ,3w2 r1 于是有 eq f2,3 Leq f1,3 K eq f1,3 , eq f1,3 L eq f2 ,3Kf2 ,3 f2,1整理得 f K,Lf1,1即 KL再将 KL 代入约束条件 L f2,3 K f1,3 800,有L f2,3 L f1 ,3800 解得 L *800 且有 K * 800 将 L *K *800 代入成本方程 2L1·KC,求得最小成本C *2×8001×8002 400 此题的运算结果表示：在 Q800 时,厂商以 L*800,K*800 进行生产的最小成本为 C *2 400；此外,此题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆mion,sdo4 L,K2LKs.t.Lf2,3Kf1 ,3800 Kf1 ,3 LL,K,2LK800Lf2 ,3将拉格朗日函数分别对L、K 和 求偏导,得极值的一阶条件f.L ,.L2f2,3 Lf1,3Kf1,301 f.L ,.K1f1 ,3 Lf2 ,3Kf2,302 f.L ,.800 Lf2 ,3Kf1 ,303 由式 1、式 2可得fK,L f1,1即 KL将 KL 代入约束条件即式 3,有800L f2 ,3 L f1,30 解得 L800 且有 K800 再将 L *K * 800 代入目标函数即成本等式,得最小的成本C 2L1·K2× 8001×8002 400 在此略去关于微小值的二阶条件的争论；14. 画图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的；图 43 解答： 以图 43 为例,要点如下：名师归纳总结 1由于此题的约束条件是既定的成本,所以,在图43 中,只有一条等成本线AB；第 10 页,共 11 页此外,有三条等产量曲线Q1、 Q2 和 Q3 以供分析,并从中找出相应的最大产量水平；2在约束条件即等成本线AB 给定的条件下, 先看等产量曲线Q3,该曲线处于AB 线以外,与 AB 线既无交点又无切点,所以,等产量曲线Q3 表示的产量过大,既定的等成本线AB 不行能实现Q3的产量；再看等产量曲线Q1,它与既定的AB 线交于 a、b 两点；在这种情形下,厂商只要从a 点动身,沿着AB 线往下向 E 点靠拢,或者从b 点动身,沿着AB 线往上向E 点靠拢,就都可以在成本不变的条件下,通过对生产要素投入量的调整,不断地增加产量,最终在等成本线AB 与等产量曲线Q2 的相切处E 点,实现最大的产量；由此可得,厂商实现既定成本条件下产量最大化的均衡条件是MRTSLKeq fw,r,且整理可得fMP L,wf MP K,r；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆图 44 15. 画图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的；解答： 以图 44 为例,要点如下：1由于此题的约束条件是既定的产量,所以, 在图 44 中,只有一条等产量曲线eq oQ,sup6；此外,有三条等成本线AB、AB和 AB以供分析,并从中找出相应的最小成本；2在约束条件即等产量曲线 oQ,sup6 给定的条件下,先看等成本线 AB,该线处于等产量曲线 eq oQ,sup6 以下,与等产量曲线 eq oQ,sup6 既无交点又无切点,所以,等成本线 AB 所代表的成本过小,它不行能生产既定产量 eq oQ,sup6；再看等成本线 AB,它与既定的等产量曲线交于 a、b 两点；在这种情况下,厂商只要从 a 点动身,沿着等产量曲线 oQ,sup6 往下向 E 点靠拢,或者,从 b 点动身,沿着等产量曲线 oQ,sup6 往上向 E 点靠拢,就都可以在既定的产量条件下,通过对生产要素投入量的调整,不断地降低成本,最终在等产量曲线名师归纳总结 oQ,sup6与等成本线AB的相切处E 点,实现最小的成本；由此可得,厂商实eq 第 11 页,共 11 页现既定产量条件下成本最小化的均衡条件是MRTSLKfw,r,且整理可得f MP L,wf MP K,r；- - 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