2022年华南理工大学《高等数学》期末试题及答案三.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（下册）测试题三一、填空题1如函数f x y , 2x2axxy22y 在点 1, 1 处取得极值,就常数a52设f x 1x1f x dxe21y e d y,就x03设 S 是立方体0x,y,z1的边界外侧,就曲面积分x5d d y zy6d d z xz7d d x y 3 s4设幂级数nn a x 的收敛半径为3 ,就幂级数nnanx1n1的收敛区间为012,4 5微分方程y3ybx4yx2e4x用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形式为yx ax2ce4x二、挑选题名师归纳总结 1函数f , sin 2x2y2y2 ,x2y20,在点 0,0 处（ D ）第 1 页,共 5 页x2x2y20,2,（B）无极限；（A）无定义；（C）有极限但不连续；（D）连续2设zsec xy1,就z（ B ）x（A） sec xy1tanxy1；（B）ysecxy1tanxy1；（C）y2 tan xy1；（D）y2 tan xy13两个圆柱体2 xy22 R ,x2z22 R 公共部分的体积V 为（ B ）（A）2Rdx0R 2x2R2x2d y ；（B）8Rd x0R2x 2R22 xd y ；00（C）RdxR22x 22R2x2dy；（D）4Rd xR2x22R2x2dyRRxRR 2x4如a n0,S nkn1a,就数列S n有界是级数收敛的（ A ）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （A）充分必要条件；（C）必要条件, 但非充分条件；（ B）充分条件,但非必要条件；（D）既非充分条件, 又非必要条件25函数 y C sin x （ C 为任意常数）是微分方程 d y2 sin x 的（ C ）d x（A）通解；（B）特解；（C）是解,但既非通解也非特解；（D）不是解x y三、 求曲面 e z e z 4 上点 M 0ln 2,ln 2,1 处的切平面和法线方程x y x y解：n e z 1,e z 1, x2 e z y2 e z 2,2, 4ln 2 / 1,1, 2ln 2z z z z M 0切平面为 x ln2 y ln2 2ln2 z 1 x y 2 ln2 0z 1法线为 x ln 2 y ln 22ln 2x y 0四、 求通过直线 L : 的两个相互垂直的平面,其中一个平面平行x y z 2 0于直线 L 1: x y z 解：设过直线 L 的平面束为 x y z 2 x y 0,即 1 x 1 y z 2 0, n 1 , 1,1第一个平面平行于直线 L 1: x y z ,1即有 n s 1 1 , 1,1 1,1,1 2 1 0,2从而第一个平面为 1 1 x 1 1 y z 2 0, x 3 y 2 z 4, n 1 1, 3,22 3其次个平面要与第一个平面垂直,名师归纳总结 也即n n1, 3,21,1,11332260,3第 2 页,共 5 页从而其次个平面为4x2yz2000, 2 处与直线五、求微分方程y4y3y0的解,使得该解所表示的曲线在点2x2y40相切yx2,k1,从而有定解条件y1,y02,解：直线 2x2y40为特点方程为r24r30,r3r10,r 13,r 21- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方程通解为y3 c exx c e ,由定解的初值条件c 1c 22y3 3 c exx c e ,由定解的初值条件3 c 1c 21y从而c 11,c 25,特解为y13 ex5ex2222六、设函数f u 有二阶连续导数,而函数zfx e siny 满意方程2z2zze2xx2y2试求出函数f u exsiny2fu exsin解：由于zfx u esiny,2zfuxx2zfx u ecos ,2zfux ecosy2fx u e sin yy22z2zf2 u ex2 xf u e ,fuf u 0x2y2特点方程为r210,r 11,r 21,fuu c ec eu七、运算曲面积分其中是球体xy2cosyx2cosz2cos dS,2 x的表面,x2y22 z2z 与锥体zx2y2的公共部分cos, cosy21, cos是其外法线方向的方向余弦x22 y22 z2 z2 2 z2 , z z 10,z 21,解：两表面的交线为zx2 yz1原式2 xy22 z dv,投影域为D x2y21,用柱坐标: 02 ,0r1, rz11r22111r2r22z dz212 r r zz211r2dr原式drdrr0r001r2r11r22r2dr2r r2110名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11t33 1t1dt212rr3r4dr2200r4113t61t81221t5321t312r21r522530450022211181127545510102cos另解：用球坐标: 02 ,04,0242cos2sin 22cos2sind原式dd000323cos sindcos1624d2cos4sin007 cos3 52 cosd245 25 cos051dt169t64t82419t54t72210105556582222710八、试将函数fxxet2dt展成x的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并0指出其收敛区间） 名师归纳总结 解：fxxet2dtxn=01nt2ndt第 4 页,共 5 页00n.1n0 的敛散性1x2n1,x,n=0n. 2 nn九、判定级数n1n,0解：lim nunn1lim nnn1nu1n当 01,1,级数收敛；当1,1 ,级数发散；当1,1时级数收敛；当1,01时级数发散- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 十、运算曲线积分L1x2 eydxx2 e2y1dy,其中 L 为x22y24 在第一象限内逆时针方向的半圆弧名师归纳总结 解：再取L 1:y0, : 04,围成半圆的正向边界50的最短距离第 5 页,共 5 页就 原式LL 1L 11xe2ydxx22 ey1dyD0dxdy41x dxx1x2412020十一 、求曲面 S ：2 xy22 z1到平面： 2x2yz24解：问题即求d2 x2yz5在约束x2y22 z1下的最小值44124可先求fx y z9d22x2yz52在约束x2y2z21下的最小值点24取L x y z2x2yz522 xy22 z1242y0,L x4 2x2yz5x0,Ly4 2x2yz5Lz2 2x2yz5z0,x2y2z21224510 时x2yz,4y21,y1,xz1,2d1,1,12 1 153,d1,1, 121 133223这也说明白0 是不行能的,由于平面与曲面最小距离为1 3；- - - - - - -
