2022年导数在生活中的应用教案.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载课 题： 38 函数的最大值与最小值（二）教学目的：1. 进一步娴熟函数的最大值与最小值的求法；初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点： 解有关函数最大值、最小值的实际问题教学难点： 解有关函数最大值、最小值的实际问题授课类型： 新授课 课时支配： 1 课时 具：多媒体、实物投影仪 教 教学过程 ：一、复习引入：fx1. 极大值：一般地, 设函数 fx在点 x0 邻近有定义, 假如对 x 0邻近的全部的点,都有fx0 ,就说 fx0 是函数 fx的一个极大值,记作y极大值=fx0 ,x0 是极大值点2. 微小值：一般地,设函数 fx在 x0 邻近有定义, 假如对 x 0邻近的全部的点, 都有 fxfx0. 就说 fx0 是函数 fx的一个微小值,记作y 微小值 =fx0,x0是微小值点3. 极大值与微小值统称为极值fx4. 判别 f x0 是极大、微小值的方法: x 是fx的极值点,如x 满意fx00,且在x 的两侧fx的导数异号,就0是极值,并且假如fx在x 两侧满意“ 左正右负”,就x 是fx的极大值点,fx0是极大值； 假如f x 在x 两侧满意“ 左负右正” ,就x 是fx的微小值点,fx0是微小值5. 求可导函数 f x 的极值的步骤 : 1 确定函数的定义区间,求导数 f x 2 求方程 f x=0 的根3 用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成如干小开区间,并列成表格 .检查 f x 在方程根左右的值的符号,假如左正右负,那么 f x 在这个根处取得极大值；假如左负右正, 那么 f x 在这个根处取得微小值；那么 f x在这个根处无极值假如左右不转变符号即都为正或都为负,6. 函数的最大值和最小值: 在闭区间a,b上连续的函数fx在a,b上必有最大值与最小值在开区间 , a b 内连续的函数函数的最值是fx不肯定有最大值与最小值比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点邻近函数值得出的函数fx在闭区间a,b上连续,是fx在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件 4 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不 止一个,也可能没有一个名师归纳总结 7. 利用导数求函数的最值步骤: 求f x在 , a b 内的极值；将fx的各极值与第 1 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fa、fb比较得出函数fx在学习必备欢迎下载a,b上的最值二、讲解范例：例 1 在边长为 60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起 如图 ,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm,就箱高h60xcm,得箱子容积2Vxx2h60x2x30x60 x2V 60x3x20x6060xxx2令V 60x3x2 0,解得 x=0 （舍602去）,x=40,并求得V40=16 000 0）或过大（接近60）时,箱子容积很小,因此,16 000由题意可知,当x 过小（接近是最大值答：当 x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16 000cm3x60-2x60-2x小 ,解法二：设箱高为xcm,就箱底长为 60-2 xcm,就得箱子容积Vx602x2x0x30（后面同解法一,略）由题意可知,当x 过小或过大时箱子容积很60-2x所以最大值显现在极值点处事实上,可导函数Vxx2h60x2x3、6060-2xx260Vx602x2x在各自的定义域中都只有一个极值点,从图象角度懂得即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点,不必考虑端点的函数值例 2 圆柱形金属饮料罐的容积肯定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h,底半径为R,就表面积2 S=2 Rh+2 R名师归纳总结 由 V= R 2h,得hV2,就2 +2 R第 2 页,共 4 页RSR= 2 RV2+ 2 R 2= 2VRR令s R 2 V+4 R=0 R2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得, R=3V,从而 h=V2=3学习必备欢迎下载V=3 4V=23 V2RV22即 h=2R 由于 SR只有一个极值,所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时,所用材料最省变式： 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用材料最省？2提示： S=2 Rh+ 2 R 2h= S 2 R2 R2V R= S 2 R R 2 = 1 S 2 R 2 R 1SR R 32 R 2 22 2 2V ' R =0 S 6 R 6 R 2 Rh 2 R h 2 R例 3 已知某商品生产成本 C与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的函数关系式为 p 25 1 q求产量 q 为何值时,利润 L 最大？8分析：利润 L 等于收入 R减去成本 C,而收入 R等于产量乘价格由此可得出利润 L 与产量q 的函数关系式,再用导数求最大利润解：收入Rq pq251q25q12 q,221 q1000q10088利润LRC25q1q21004 1q88L1q21844令L0,即1q210,求得唯独的极值点q4答：产量为84 时,利润 L 最大三、课堂练习 ：1. 函数 y=2x 33x 212x+5 在 0, 3上的最小值是 _. 2. 函数 f x=sin2 xx 在,上的最大值为 _；最小值为 _. 2 23. 将正数 a 分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成 _和_. 2 24. 使内接椭圆 x2 y2 =1 的矩形面积最大,矩形的长为 _,宽为 _. a b5. 在半径为 R的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_时,它的面积最大名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案： 1. 15 2.22 3.a学习必备欢迎下载2 b 5.3 R 2a 4. 22 a2四、小结： 解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个变量之间的关系,找出适当的函数关系式,并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义依据问题的实际意义来判定函数最值时,假如函数在此区间上只有一个极值点,那么这个极值就是所求最值, 不必再与端点值比较单 五、课后作业 ：相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简1. 有一边长分别为8 与 5 的长方形, 在各角剪去相同的小正方形,把四边折起作成一个无盖小盒,要使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形的边长应为多少？解：（1）正方形边长为x, 就 V=（82x ·5 2x x=22 x 313x 2+20x0< x<5 2V=43 x213x+100< x<5 , V2=0 得 x=1 依据实际情形,小盒容积最大是存在的,当 x=1 时,容积 V取最大值为18. ED断面尺2. 一条水渠,断面为等腰梯形,如下列图,在确定Ah600周寸时, 期望在断面ABCD的面积为定值S 时,使得湿l =AB+BC+CD最小,这样可使水流阻力小,渗透少,BbC求此时的高 h 和下底边长b. 解：由梯形面积公式,得S=1 AD+BC h, 其中 AD=2DE+BC,DE= 23 h, BC=b 3AD=233h+b, S=1233h2bh3hbh23CD=h2h, AB=CD. l =2h× 2+b cos3033由得 b=S3h, 代入 , l =433hS3h3 hSh3h3h>0. l =3S=0, h= 4 3 S , 当 h<S 时, l 4 3<0, h>S 时, l 4 3h2h=S 时, l 取最小值,此时 4 3b=243S3六、板书设计 （略）七、教学反思： 通过本节课学习使同学明白导数在生活中的应用,应用题最值问题的步骤是先建立函数模型,然后再用导数求最值；同时让同学清晰解决函数名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页
