2022年小学四年级奥数容斥问题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 容斥问题（一）容斥问题涉及到一个重要的原理包含与排除原理,也称为容斥原理,即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复地计数,应从它们的和中排除重复部分；这一讲我们先介绍容斥原理 1 对 n 个事物,假如采纳两种不同的分类标准：按性质 a 分类与性质 b 分类（如图 1）,那么,具有性质 a 或性质 b 的事物的个数 =Na+Nb-Nab；例 1一个班有 55 名同学,订阅学校生数学报的有 12 人,订阅今日少年报的有 9 人,两种报纸都订阅的有 5 人；（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例 2一个旅行社有 36 人,其中会英语的有 24 人,会俄语的有 18 人,两样都不会的有 4 人,两样都会的有多少人？例 3在 1 到 100 的全部自然数中,既不是 6 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少个？例 4艺术节那天,学校的画廊里展了了每个年级同学的图画作品,其中有 23 幅画不是五年级的,有 21 幅画不是六年级的,五、六年级参展的画共有练习与摸索8 幅；其他年级参展的画共有多少幅？1. 将边长分别为4 厘米和 5 厘米的正方形纸片部分重叠,盖在桌面上 （如图 6）,已知重叠的部分为 9 平方厘米,两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2二（ 2）班有 50 名同学,下课后每人都至少做完了一门作业,其中做完语文作业的有 35 人,做完数学作业的有 40 人,两种作业都做完的有多少人？3有 62 名同学,其中会弹钢琴的有 11 名,会吹竖笛的有 56 名,两样都不会的有 4 名,两样都会的有多少名？4某校选出 50 名同学参与区作文竞赛和数学竞赛,作文竞赛获奖的有 14 人,数学竞赛获奖的有 12 人,有 3人两项竞赛都获奖的,两项竞赛都没获奖的有多少人？5四（ 1）班有 40 个同学,其中有25 人参与数学小组,23 人参与航模水组,有19 人两个小组都参与了,那么,有多少人两个小组都没有参与？6在一次数学测验中,全部同学都答了第 1、2 两题,其中答对第 1 题的有 35 人,答对第 2 题的有 28 人,这两题都答对的有 20 人,没有人两题都答错；一共有多少人参与了这次数学测验？7一个俱乐部里,会下中国象棋的有 69 人,会下国际象棋的有 52 人,这两种棋都不会下的有 12 人,都会下的有 30 人；这个俱乐部里有多少人？8某班上体育课,全班排成4 行（每行的人数相等） ,小芳排的位置是：从前面数第6 个,从后面数第7 个；这个班共有多少名同学？9在 1 到 200 的全部自然数中,既不是8 的倍数也不是5 的倍数的数有多少个？96 件不是第 1 页,共 4 页10科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级同学的科技作品,其中有114 件不是一年级的,有二年级的,一、二年级参展的作品共32 件；其他年级参展的作品共有多少件？名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 容斥问题（二）这一讲介绍容斥原理 2 n 个事物,如何采纳三种不同的分类标准：按性质 a 分类、性质 b 分类与性质 c 分类（如图 1）,那么,具有性质 a 或 b 或 c 的事物的个数 =Na+Nb=Nc-Nab=Nbc=Nca+Nabc ；例 1五（ 1）班的全体同学进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试,有4 名同学在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一个项目达到优秀,这部分同学达到优秀的项目和人数如下表：短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球17 人18 人15 人6 人6 人6 人2 人求全班人数；例 2某班有同学50 人,参与无线电小组,航模小组和生物小组的人数分别是20 人、 20 人和 12 人,其中既参加无线电小组又参与航模小组的有 4 人,既参与航模小组又参与生物小组的有 5 人,既参与生物小组又参与无线电小组的有 3 人；已知全班每人都至少参与了以上三个小组中的某一个,那么, 三个小组参与的同学有多少人？例 3一个体育锤炼小组有 35 名男生,规定他们至少参与篮球、排球、足球三个球队中的一个；结果参与篮球队的有 16 人,参与排球队的有11 人,参与足球队的有20 人,其中有4 人既参与了排球队又参与了篮球队,有3 人既参与了排球队又参与了足球队,没有人三个球队都参与；既参与篮球队又参与足球队的有多少人？例 4. 松山学校 45 名同学参与数学、作文、美术竞赛；有21 人参与数学竞赛,15 人参与作文竞赛,其中7 人既参与作文竞赛又参与数学竞赛,3 人既参与作文竞赛又参与美术竞赛,但没有一人既参与数学竞赛又参与美术竞赛；（1）只参与数学竞赛的有多少人？（2）只参与作文竞赛的有多少人？（3）只参与美术竞赛的有多少人？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习与摸索1有 30 名运动员、其中 18 人会三级跳远, 16 人会撑杆跳高, 10 人三级跳远、撑杆跳高都不会；既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名？2操场上的同学排成10 路纵队做操,每路纵队的人数同样多,小明站在第4 路纵队,从排头数他是第13 人,从后往前数他是第 8 人；操场上有多少人在做操？3一个年级有 120 人爱好数学, 100 人爱好语文, 85 人爱好美术, 30 人既爱好数学又爱好语文,20 人既爱好语文又爱好美术,35 人既爱好美术又爱好数学,有18 人三个学科都爱好；请问：这个年级中数学、语文、美术三个学科至少爱好一个学科的同学有多少人？4某班全体同学进行了数学、语文、英语三个科目的测试,有8 名同学在这三个科目上都没有达到优秀,其余每人至少有一个科目达到优秀,这部分同学达到优秀的科目和人数如下表：数学语文英语数学、语文语文、英语英语、数学数学、语文、英语20 16 16 4 4 5 3 全班一共有多少名同学？5第三小队的同学有 20 人,手中分别拿有红、黄蓝三种颜色的球,已知手中有红球、黄球、蓝球折同学人数分别为 10 人、 10 人、 6 人,其中手中既有红球又有黄球的有3 人,既有黄球又有蓝球的有2 人,既有蓝球又有红球的有 4 人；已知全队每人手里都至少有一种颜色的球,那么,手中三种颜色的球都有多少人？6某班 50 名同学全部参与数学、语文、美术三个课外爱好小组,参与数学小组的有 29 人,参与语文小组的有21 人,参与美术小组的有 25 人,有 17 人既参与数学小组又参与美术小组,有 15 人既参与数学小组又参与语文小组,有 10 人既参与语文小组又参与美术小组；三个小组都参与的有多少人？7有同学 30 名,他们中有部分同学参与了乒乓球,羽毛球、排球三个训练小组,各组人数分别为 14 人、12 人、10 人,其中既参与羽毛球小组又参与排球小组的有 4 人,既参与羽毛球小组又参与乒乓球小组的有 6 人,既参加乒乓球小组又参与排球小组的有 5 人,三个小组都参与的有 1 人；这些同学中这三个小组都没有参与的有几人？8某外语学习班有 40 名学员,规定他们至少学习英语、日语、德语中的一咱；结果学习英语的有 20 人,学习日语的有12 人, 学习德语的有18 人,其中有 5 人既学习了英语又学习了日语,有 2 人既学习了日语又学习了德语,没有人同时学习三咱语言；既学习英语又学习德语的有多少人？9四（ 1）班有 55 名同学参与音乐、美术、体育爱好组；有22 人参与美术组,有21 人参与音乐组,其中15人既参与音乐组又参与美术组,3 人既参与音乐组又参与体育组,但没有一人既参与美术组又参与优育组；（1）只参与美术组的有多少人？（2）只参与音乐组的有多少人？（3）只参与音乐组的有多少人？名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 才能测试（三）（满分 100 分, 90 分钟完成）一、填空题（每空 6 分,共 54 分）；1小英有 2 分、 5 分的硬币共 35 枚,一共是 1 元 1 角 5 分, 2 分硬币有（）枚, 5 分硬币有（）枚；2从旧旧历中知道,1988 年元旦昌星期五,那么,2000 年元旦是星期（）；3买 5 元 1 千克的糖和 8 元 1 千克的糖共 10 千克,用去 71 元； 5 元 1 千克的糖有（）千克, 8 元 1 千克的糖有（）千克；4图中共有（）个正方形；图中菜有（）个三角形；5新华学校四年级共 40 个同学采集标本,采集昆虫标本的有 27 人,采集植物标本的有 21 人,两种标本都采集的有（）人；6某班同学去图书馆借书,每人都借了语文或数学课外书,统计结果是：借语文书的 39 人,借数学书的 32 人,语文、数学两种书都借的有 26 人,全班同学共（）人；二、应用题（第 1 题 10 分,其余每题 9 分,共 46 分）；1英文字母 A, B,C,D,按规章排列为 ABAACCDABAACCD 共 250 个字母,最终一个字母是什么？A,B,C,D各有多少个？2四年级同学进行数学竞赛,规定算对一题得5 分,错一题扣2 分；试卷上共有20 道题,李华得了86 分,他算对了多少道题？3一个停车场上共停汽车、三轮摩托车25 辆,其中汽车有4 个轮子,三轮摩托车有3 个轮子；这些车共有90个轮子；三轮摩托车有多少辆？4某班同学会打篮球的有40 人,会打排球的有32 人,两种球都会打的有30 人,仍有 3 个同学这两种球都不会打；这个班有同学多少人？5有 43 位同学,他们身上带的钱从8 分到 5 角,钱数都不相同,每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片；画片只有两种：3 分一张和 5 分一张；假如每人都尽量多买5 分一张的画片,那么,他们所买的3 分一张是画片的总数是多少张？名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页