2022年小学数学典型应用题归纳汇总种题型.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学校数学典型应用题归纳汇总 30 种题型1 归一问题在解题时,先求出一份是多少（即单一量）,然后以单一量为标准,求出所要【含义】求的数量；这类应用题叫做归一问题；【数量关系】总量÷ 份数 1 份数量1 份数量× 所占份数所求几份的数量另一总量÷ （总量÷ 份数）所求份数【解题思路和方法】先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量；例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱,买同样的铅笔 16 支,需要多少钱？解（ 1）买 1 支铅笔多少钱？0.6 ÷ 50.12 （元）（ 2）买 16 支铅笔需要多少钱？0.12 × 16 1.92 （元）列成综合算式 0.6÷ 5× 16 0.12 × 16 1.92 （元）答：需要 1.92 元；2 归总问题解题时,常常先找出“ 总数量”,然后再依据其它条件算出所求的问题,叫【含义】归总问题；所谓“ 总数量” 是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等；【数量关系】1 份数量× 份数总量总量÷ 1 份数量份数总量÷ 另一份数另一每份数量名师归纳总结 【解题思路和方法】先求出总数量,再依据题意得出所求的数量；2.8 米；原第 1 页,共 21 页例 1 服装厂原先做一套衣服用布3.2 米,改进裁剪方法后,每套衣服用布- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 来做 791 套衣服的布,现在可以做多少套？解（1）这批布总共有多少米？3.2 × 791 2531.2 （米）（2）现在可以做多少套？2531.2 ÷ 2.8 904 （套）列成综合算式 3.2 × 791 ÷ 2.8904 （套）答：现在可以做 904 套；3 和差问题【含义】已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题；【数量关系】大数（和差）÷2 小数（和差）÷2 【解题思路和方法】简洁的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式；例 1 甲乙两班共有同学 98 人,甲班比乙班多 6 人,求两班各有多少人？解 甲班人数（ 98 6）÷ 252 （人）乙班人数（ 98 6）÷ 246 （人）4 和倍问题答：甲班有52 人,乙班有46 人；,要求这两【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题；名师归纳总结 【数量关系】总和 ÷ （几倍 1）较小的数第 2 页,共 21 页总和 较小的数 较大的数较小的数× 几倍 较大的数【解题思路和方法】简洁的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式；例 1 果园里有杏树和桃树共248 棵,桃树的棵数是杏树的3 倍,求杏树、桃树各多- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 少棵？解（1 ）杏树有多少棵？248 ÷ （31） 62 （棵）（2 ）桃树有多少棵？62 × 3186 （棵）答：杏树有 62 棵,桃树有 186 棵；5 差倍问题【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）,要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题；【数量关系】两个数的差÷ （几倍1）较小的数较小的数× 几倍较大的数【解题思路和方法】简洁的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式；例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍,而且桃树比杏树多 124 棵；求杏树、桃树各多少棵？解（ 1）杏树有多少棵？124 ÷ （3 1） 62 （棵）（ 2）桃树有多少棵？62 × 3186 （棵）答：果园里杏树是 62 棵,桃树是 186 棵；6 倍比问题【含义】有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的如干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题；【数量关系】总量÷ 一个数量倍数另一个数量× 倍数另一总量名师归纳总结 【解题思路和方法】先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数；第 3 页,共 21 页例 1 100 千克油菜籽可以榨油40 千克,现在有油菜籽3700 千克,可以榨油多少？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解（1） 3700 千克是 100 千克的多少倍？3700 ÷ 100 37 （倍）（2）可以榨油多少千克？40 × 37 1480 （千克）列成综合算式 40 × （3700 ÷ 100 ） 1480 （千克）答：可以榨油 1480 千克；7 相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地动身相向而行,在途中相遇； 这类应用题叫做相遇问题；【数量关系】相遇时间总路程÷ （甲速乙速）总路程（甲速乙速）× 相遇时间【解题思路和方法】简洁的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式；例 1 南京到上海的水路长 392 千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行 28 千米,从上海开出的船每小时行 21 千米,经过几小时两船相遇？解 392 ÷ （28 21 ） 8（小时）答：经过 8 小时两船相遇；8 追及问题两个运动物体在不同地点同时动身（或者在同一地点而不是同时动身,或者在【含义】不同地点又不是同时动身）作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在肯定时间之内,后面的追上前面的物体；这类应用题就叫做追及问题；【数量关系】追准时间追及路程÷ （快速慢速）追及路程（快速慢速）× 追准时间名师归纳总结 【解题思路和方法】简洁的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式；第 4 页,共 21 页例 1 好马每天走120 千米, 劣马每天走75 千米, 劣马先走 12 天, 好马几天能追上劣- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 马？解（1）劣马先走12 天能走多少千米？75 × 12 900 （千米）（2）好马几天追上劣马？900 ÷ （120 75 ） 20 （天）列成综合算式 75 × 12 ÷ （120 75 ） 900 ÷ 45 20 （天）答：好马 20 天能追上劣马；9 植树问题【含义】按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量,要求第三个量,这类应用题叫做植树问题；【数量关系】线形植树 棵数距离÷ 棵距1 环形植树 棵数距离÷ 棵距方形植树 棵数距离÷ 棵距4 三角形植树 棵数距离÷ 棵距3 面积植树 棵数面积÷ （棵距× 行距）【解题思路和方法】先弄清晰植树问题的类型,然后可以利用公式；例 1 一条河堤 136 米,每隔 2 米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂柳？解 136 ÷ 2168 1 69 （棵）答：一共要栽 69 棵垂柳；10 年龄问题【含义】这类问题是依据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差不变,但是,两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化；【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着亲密联系,特别与差倍问题的解题思路是一样的,要紧紧抓住“ 年龄差不变” 这个特点；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解题思路和方法】可以利用“ 差倍问题” 的解题思路和方法；例 1 爸爸今年 35 岁,亮亮今年 5 岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？解 35 ÷ 5 7 （倍）（35+1 ）÷ （5+1 ） 6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍,明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍；11 行船问题【含义】行船问题也就是与航行有关的问题；解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差；【数量关系】（顺水速度逆水速度）÷2船速（顺水速度逆水速度）÷2水速顺水速船速×2逆水速逆水速水速×2 逆水速船速×2顺水速顺水速水速×2 【解题思路和方法】大多数情形可以直接利用数量关系的公式；例 1 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时,水流速度为每小时 15 千米,这只船逆水行这段路程需用几小时？名师归纳总结 解由条件知,顺水速船速水速320 ÷ 8,而水速为每小时15 千米,所以,船速为每第 6 页,共 21 页小时320 ÷ 815 25 （千米）船的逆水速为25 15 10 （千米）船逆水行这段路程的时间为320 ÷ 10 32 （小时）答：这只船逆水行这段路程需用32 小时；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12 列车问题【含义】这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要留意列车车身的长度；【数量关系】火车过桥：过桥时间（车长桥长）÷ 车速火车追及：追准时间（甲车长乙车长距离）÷ （甲车速乙车速）火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离）÷ （甲车速乙车速）【解题思路和方法】大多数情形可以直接利用数量关系的公式；例 1 一座大桥长 2400 米,一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要 3 分钟；这列火车长多少米？解 火车 3 分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和；（1）火车 3 分钟行多少米？900 × 32700 （米）（2）这列火车长多少米？2700 2400 300 （米）列成综合算式 900 × 3 2400 300 （米）答：这列火车长 300 米；13 时钟问题【含义】就是讨论钟面上时针与分针关系的问题,如两针重合、 两针垂直、 两针成一线、两针夹角为 60 度等；时钟问题可与追及问题相类比；【数量关系】分针的速度是时针的 12 倍,二者的速度差为 11/12 ；通常按追及问题来对待,也可以按差倍问题来运算；名师归纳总结 【解题思路和方法】变通为“ 追及问题” 后可以直接利用公式；第 7 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 从时针指向4 点开头,再经过多少分钟时针正好与分针重合？解 钟面的一周分为 60 格,分针每分钟走一格,每小时走 60 格；时针每小时走 5 格,每分钟走 5/60 1/12 格；每分钟分针比时针多走（11/12 ） 11/12 格； 4 点整,时针在前,分针在后,两针相距 20 格；所以分针追上时针的时间为 20 ÷ （1 1/12 ） 22 （分）答：再经过 22 分钟时针正好与分针重合；14 盈亏问题【含义】依据肯定的人数,安排肯定的物品,在两次安排中,一次有余（盈）,一次不足（亏）,或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题；【数量关系】一般地说,在两次安排中,假如一次盈,一次亏,就有：参与安排总人数（盈亏）÷ 安排差假如两次都盈或都亏,就有：参与安排总人数（大盈小盈）÷ 安排差参与安排总人数（大亏小亏）÷ 安排差【解题思路和方法】大多数情形可以直接利用数量关系的公式；例 1 给幼儿园小伴侣分苹果,如每人分 3 个就余 11 个；如每人分 4 个就少 1 个；问有多少小伴侣？有多少个苹果？解 依据“ 参与安排的总人数（盈亏）÷ 安排差” 的数量关系：（1）有小伴侣多少人？（11 1）÷ （43） 12 （人）名师归纳总结 15 （2）有多少个苹果？3× 12 11 47 （个）第 8 页,共 21 页工程问题答：有小伴侣12 人,有 47 个苹果；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【含义】工程问题主要讨论工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系；这类问题在已知条件中, 常常不给出工作量的详细数量,只提出“ 一项工程”、“ 一块土地”、“ 一条水渠”、“ 一件工作” 等,在解题时,常常用单位“1” 表示工作总量；【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1” ,这样,工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几）率、工作时间三者之间的关系列出算式；工作量工作效率× 工作时间 工作时间工作量÷ 工作效率,进而就可以依据工作量、工作效工作时间总工作量÷ （甲工作效率乙工作效率）【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式；例 1 一项工程,甲队单独做需要 10 天完成,乙队单独做需要 15 天完成,现在两队合作,需要几天完成？解 题中的“ 一项工程” 是工作总量,由于没有给出这项工程的详细数量,因此,把此项工程看作单位“1” ；由于甲队独做需 10 天完成,那么每天完成这项工程的 1/10 ；乙队单独做需 15 天完成,每天完成这项工程的 1/15 ；两队合做,每天可以完成这项工程的（1/101/15 ）；由此可以列出算式：1÷ （1/10 1/15 ） 1÷ 1/6 6（天）答：两队合做需要 6 天完成；16 正反比例问题【含义】两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,假如这两种量中相对应的两个数的比的比值肯定（即商肯定）,那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系；正比例应用题是正比例意义和解比例等学问的综合运用；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,假如这两种量中相对应的两个数的积肯定, 这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系；反比例应用题是反比例的意义和解比例等学问的综合运用；【数量关系】判定正比例或反比例关系是解这类应用题的关键；很多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷；【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比,应用比和比例的性质去解应用题；正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似；例 1 修一条大路,已修的是未修的1/3 ,再修 300 米后,已修的变成未修的1/2 ,求这条大路总长是多少米？解 由条件知,大路总长不变；原已修长度总长度现已修长度总长度比较以上两式可知,把总长度当作1 （1 3） 14312 1 （1 2） 13412 12 份,就 300 米相当于（ 4 3）份,从而知大路总长为 300 ÷ （4 3）× 12 3600 （米）答：这条大路总长 3600 米；17 按比例安排问题【含义】所谓按比例安排,就是把一个数依据肯定的比分成如干份；这类题的已知条件一般有两种形式： 一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数；名师归纳总结 【数量关系】从条件看,已知总量和几个部重量的比；从问题看,求几个部重量各是多第 10 页,共 21 页少；总份数比的前后项之和- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【解题思路和方法】先把各部重量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母,比的前后项分别作分子）,再依据求一个数的几分之几是多少的运算方法,分别求出各部重量的值；例 1 学校把植树 560 棵的任务按人数安排给五年级三个班,已知一班有 47 人,二班有 48 人,三班有 45 人,三个班各植树多少棵？解 总份数为 47 48 45 140 一班植树 560 × 47/140 188 （棵）二班植树 560 × 48/140 192 （棵）三班植树 560 × 45/140 180 （棵）18 百分数问题【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数；百分数是一种特别的分数；分数常常可以通分、约分,而百分数就无需；分数既可以表示“ 率”,也可以表示“ 量”,而百分数只能表示“ 率”；分数的分子、分母必需是自然数,而百分数的分子可以是小数；百分数有一个特地的记号“%” ；在实际中和常用到“ 百分点” 这个概念,一个百分点就是 1% ,两个百分点就是 2% ；【数量关系】把握“ 百分数”、“ 标准量” “ 比较量” 三者之间的数量关系：百分数比较量÷ 标准量标准量比较量÷ 百分数名师归纳总结 【解题思路和方法】一般有三种基本类型：第 11 页,共 21 页（1）求一个数是另一个数的百分之几；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）已知一个数,求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少,求这个数；例 1 仓库里有一批化肥,用去 720 千克, 剩下 6480 千克, 用去的与剩下的各占原重量的百分之几？解（1）用去的占720 ÷ （720 6480 ） 10% （2）剩下的占6480 ÷ （720 6480 ） 90% 答：用去了10% ,剩下 90% ；19 “ 牛吃草” 问题【含义】“ 牛吃草” 问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“ 牛顿问题”；这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素；【数量关系】草总量原有草量草每天生长量× 天数【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量；例 1 一块草地, 10 头牛 20 天可以把草吃完,15 头牛 10 天可以把草吃完；问多少头牛 5 天可以把草吃完？解 草是匀称生长的,所以,草总量原有草量草每天生长量× 天数；求“ 多少头牛5 天可以把草吃完”,就是说 5 天内的草总量要 5 天吃完的话, 得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为 1,按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量由于,一方面 20 天内的草总量就是10 头牛 20 天所吃的草, 即（1× 10 × 20 ）；另一方面,20 天内的草总量又等于原有草量加上 20 天内的生长量,所以1× 10 × 20 原有草量 20 天内生长量名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 同理 1× 15 × 10 原有草量 10 天内生长量由此可知（ 20 10 ）天内草的生长量为1× 10 × 20 1× 15 × 10 50 因此,草每天的生长量为 50 ÷ （20 10 ） 5 20 鸡兔同笼问题【含义】这是古典的算术问题；已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题；已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做其次鸡兔同笼问题；【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡,就有兔数（实际脚数假设全都是兔,就有2× 鸡兔总数）÷ （ 42）鸡数（ 4× 鸡兔总数实际脚数）÷ （42）其次鸡兔同笼问题：假设全都是鸡,就有兔数（ 2× 鸡兔总数鸡与兔脚之差）÷ （4 2 ）假设全都是兔,就有鸡数（ 4× 鸡兔总数鸡与兔脚之差）÷ （4 2 ）【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔；假如先假设都是鸡,然后以兔换鸡；假如先假设都是兔,然后以鸡换兔；这类问题也叫置换问题；通过先假设,再置换,使问题得到解决；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里；数数头有三十五,脚数共有九十四；请你仔细算一算,多少兔子多少鸡？解 假设 35 只全为兔,就鸡数（ 4× 35 94 ）÷ （42） 23 （只）兔数 35 23 12 （只）也可以先假设 35 只全为鸡,就兔数（ 94 2 × 35 ）÷ （42） 12 （只）鸡数 35 12 23 （只）答：有鸡 23 只,有兔 12 只；21 方阵问题将如干人或物依肯定条件排成正方形（简称方阵） ,依据已知条件求总人数或【含义】总物数,这类问题就叫做方阵问题；【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数（每边人数1 ）× 4 每边人数四周人数÷41 （2 ）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数每边人数× 每边人数空心方阵：总人数（外边人数）（内边人数）内边人数外边人数层数×2 （3 ）如将空心方阵分成四个相等的矩形运算,就：名师归纳总结 总人数（每边人数层数）× 层数×4 实心方阵的求法是以每边的数自乘；第 14 页,共 21 页【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 空心方阵的变化较多,其解答方法应依据详细情形确定；例 1 在育才学校的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22 人,参与体操表演的同学一共有多少人？解 22 × 22 484 （人）答：参与体操表演的同学一共有 484 人；22 商品利润问题【含义】这是一种在生产经营中常常遇到的问题,包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题；【数量关系】利润售价进货价100% 利润率（售价进货价）÷ 进货价×售价进货价× （ 1 利润率）亏损进货价售价亏损率（进货价售价）÷ 进货价×100% 【解题思路和方法】简洁的题目可以直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式；例 1 某商品的平均价格在一月份上调了 10% ,到二月份又下调了 10% ,这种商品从原价到二月份的价格变动情形如何？解设这种商品的原价为1,就一月份售价为（110% ）,二月份的售价为（110% ）×（1 10% ）,所以二月份售价比原价下降了1（ 110% ）× （ 110% ） 1% 名师归纳总结 答：二月份比原价下降了1% ；第 15 页,共 21 页23 存款利率问题【含义】把钱存入银行是有肯定利息的,利息的多少,与本金、利率、存期这三个因- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 素有关； 利率一般有年利率和月利率两种；年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数；【数量关系】年（月）利率利息÷ 本金÷ 存款年（月）数×100% 利息本金× 存款年（月）数× 年（月）利率本利和本金利息本金× 1年（月）利率× 存款年（月）数【解题思路和方法】简洁的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式；例 1 李大强存入银行 1200 元,月利率 0.8% ,到期后连本带利共取出 1488 元,求存款期多长；解 由于存款期内的总利息是（1488 1200 ）元,所以总利率为（1488 1200 ）÷ 1200 又由于已知月利率,所以存款月数为（1488 1200 ）÷ 1200 ÷ 0.8% 30 （月）答：李大强的存款期是 30 月即两年半；24 溶液浓度问题【含义】在生产和生活中,我们常常会遇到溶液浓度问题；这类问题讨论的主要是溶剂（水或其它液体） 、溶质、溶液、浓度这几个量的关系；例如,水是一种溶剂,被溶解的东西叫溶质, 溶解后的混合物叫溶液；溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度,也叫百分比浓度；名师归纳总结 【数量关系】溶液溶剂溶质第 16 页,共 21 页浓度溶质÷ 溶液×100% 【解题思路和方法】简洁的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 爷爷有 16% 的糖水 50 克,（1 ）要把它稀释成10% 的糖水, 需加水多少克？ （2）如要把它变成 30% 的糖水,需加糖多少克？解（1 ）需要加水多少克？50 × 16% ÷ 10% 50 30 （克）（2 ）需要加糖多少克？50 × （116% ）÷ （130% ） 50 10 （克）答：（1）需要加水 30 克,（ 2）需要加糖 10 克；25 构图布数问题【含义】这是一种数学嬉戏,也是现实生活中常用的数学问题；所谓“ 构图”,就是设计出一种图形；所谓“ 布数”,就是把肯定的数字填入图中；“ 构图布数” 问题的关键是要符合所给的条件；【数量关系】依据不同题目的要求而定；【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑；依据题意来构图布数,符合题目所给的条件；例 1 十棵树苗子,要栽五行子,每行四棵子,请你想法子；解 符合题目要求的图形应是一个五角星；4× 5÷ 210 由于五角星的 5 条边交叉重复,应减去一半；26 幻方问题【含义】把 n× n 个自然数排在正方形的格子中,使各行、 各列以及对角线上的各数之和都相等,这样的图叫做幻方；最简洁的幻方是三级幻方；名师归纳总结 【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等,这个“ 和” 叫做“ 幻和”；第 17 页,共 21 页三级幻方的幻和45 ÷ 315 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 五级幻方的幻和325 ÷ 565 【解题思路和方法】第一要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和）,其次是确定正中间方格的数,然后再确定其它方格中的数；例 1 把 1 ,2,3 ,4, 5,6,7,8,9 这九个数填入九个方格中,使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等；解 幻和的 3 倍正好等于这九个数的和,所以幻和为（ 123 456 789）÷ 3 45 ÷ 315 九个数在这八条线上反复显现构成幻和时,每个数用到的次数不全相同,最中心的那个数要用到四次 （即显现在中行、 中列、和两条对角线这四条线上）,四角的四个数各用到三次,其余的四个数各用到两次；看来,用到四次的“ 中心数” 位置重要,宜优先考虑；设“ 中心数” 为 ,由于 显现在四条线上,而每条线上三个数之和等于15 ,所以（12345 67 89）（ 41） 15 × 4 2 7 6 45 3 60 所以 5 9 5 1 4 3 8 即接着用奇偶分析法查找其余四个偶数的位置,它们分别在四个角,再确定其余四个奇数的位置,它们分别在中行、中列,进一步尝试,简洁得到正确的结果；27 抽屉原就问题【含义】把 3 只苹果放进两个抽屉中,会显现哪些结果呢？要么把 2 只苹果放进一个抽屉,剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3 只苹果都放进同一个抽屉中；这两种情形可名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 用一句话表示：肯定有一个抽屉中放了问题；2 只或 2 只以上的苹果；这就是数学中的抽屉原就【数量关系】基本的抽屉原就是：假如把n1 个物体（也叫元素）放到n 个抽屉中,那么至少有一个抽屉中放着2 个或更多的物体（元素） ；抽屉原就可以推广为：假如有m 个抽屉,有k× m r（0rm ）个元素那么至少有一个抽屉中要放（ k 1）个或更多的元素；通俗地说,假如元素的个数是抽屉个数的k 倍多一些,那么至少有一个抽屉要放（k1）个或更多的元素；【解题思路和方法】（1）改造抽屉,指出元素；（ 2）把元素放入（或取出）抽屉；（ 3）说明理由,得出结论；例 1 育才学校有367 个 1999 年诞生的同学,那么其中至少有几个同学的生日是同一天的？名师归纳总结 解由于 1999 年是润年,全年共有366 天,可以看作366 个“ 抽屉” ,把 367 个 1999第 19 页,共 21 页年诞生的同学看作367 个“ 元素” ；367 个“ 元素”放进 366 个“ 抽屉”中,至少有一个 “ 抽屉” 中放有2 个或更多的“ 元素”；这说明至少有2 个同学的生日是同一天的；28 公约公倍问题【含义】需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题；【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答；【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数,再求出答案； 最大公约数和最小公倍数的求法,最常用的是“ 短除法”；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 一张硬纸板长60 厘米,宽 56 厘米,现在需要把它剪成如干个大小相同的最大的正方形,不许有剩余；问正方形的边长是多少？解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长；60 和 56 的最大公约数是 4；答：正方形的边长是 4 厘米；29 最值问题【含义】科学的进展观认为,国民经济的进展既要讲求效率,又要节省能源,要少花钱多办事,办好事,以最小的代价取得最大的效益；这类应用题叫做最值问题；【数量关系】一般是求最大值或最小值；【解题思路和方法】依据题目的要求,求出最大值或最小值；例 1 在火炉上烤饼, 饼的两面都要烤, 每烤一面需要 3 分钟,炉上只能同时放两块饼,现在需要烤三块饼,最少需要多少分钟？解 先将两块饼同时放上烤,3 分钟后都熟了一面,这时将第一块饼取出,放入第三块饼,翻过其次块饼；再过 3 分钟取出熟了的其次块饼,翻过第三块饼,又放入第一块饼烤另一面,再烤 3 分钟即可；这样做,用的时间最少,为 9 分钟；答：最少需要 9 分钟；30 列方程问题【含义】把应用题中的未知数用字母 代替,依据等量关系列出含有未知数的等式方程,通过解这个方程而得到应用题的答案,这个过程,就叫做列方程解应用题；名师归纳总结 【数量关系】方程的等号两边数量相等；第 20 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【解题思路和方法】可以概括为“ 审、设、列、解、验、答” 六字法；（1 ）审：仔细审题,弄清应用题中的已知量和未知量各是什么,问题中的等量关系是什么；（2）设：把应用题中的未知数设为 ；（3）列；依据所设的未知数和题目中的已知条件,依据等量关系列出方程；（4）解；求出所列方程的解；（5）验：检验方程的解是否正确,是否符合题意；（6）答：回答题目所问,也就是写出答问的话；同学们在列方程解应用题时,一般只写出四项内容,即设未知数、 列方程、 解方程、 答语；设未知数时要在 后面写上单位名称,在方程中已知数和未知数都不带单位名称,求出的值也不带单位名称,在答语中要写出单位名称；检验的过程不必写出,但必需检验；名师归纳总结 例 1 甲乙两班共90 人,甲班比乙班人数的2 倍少 30 人,求两班各有多少人？第 21 页,共 21 页解第一种方法：设乙班有 人,就甲班有（90 ）人；找等量关系：甲班人数乙班