2022年届高三数学大一轮复习函数的奇偶性与周期性教案理新人教A版.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - § 2.3 函数的奇偶性与周期性2022 高考会这样考1. 判定函数的奇偶性；2. 利用函数的奇偶性求参数或参数范畴；3. 函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用复习备考要这样做1. 结合函数的图象懂得函数的奇偶性、周期性；2. 留意函数奇偶性和周期性的小综合问题；3. 利用函数的性质解决有关问题1奇、偶函数的概念一般地,假如对于函数f x 的定义域内任意一个x,都有 f x f x ,那么函数 f x就叫 做偶函数一般地,假如对于函数f x 的定义域内任意一个x,都有 f x f x ,那么函数f x 就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称2奇、偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性相反2 在公共定义域内,两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数3周期性何1 周期函数： 对于函数 yf x ,假如存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任值时,都有 f xT f x,那么就称函数 yf x 为周期函数,称 T 为这个函数的周期小2 最小正周期：假如在周期函数 f x 的全部周期中存在一个最小的正数,那么这个最正数就叫做 f x 的最小正周期名师归纳总结 难点正本疑点清源 第 1 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1函数奇偶性的判定 1 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；2 判定 f x 与 f x 是否具有等量关系在判定奇偶性的运算中,可以转化为判定奇偶性的等价关系式 f x f x 0 奇函数 或 f x f x 0 偶函数 是否成 立2函数奇偶性的性质 1 如奇函数 f x 在 x0 处有定义,就 f 0 0. 2 设 f x ,gx 的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上：奇奇奇,奇× 奇偶,偶偶偶,偶× 偶偶,奇× 偶奇3 奇函数在关于原点对称的区间上如有单调性,就其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上如有单调性,就其单调性恰恰相反1 课本改编题 已知 f x ax2 bx 是定义在 a1,2 a 上的偶函数,那么ab 的值是_答案 解析 即 ax1 3由 f x 是偶函数知, f x f x ,2bxa x2bx,2 bx0, b0. 又 f x 的定义域应关于原点对称,即 a1 2a0, a1 3,故 ab1 3. 22022· 广东 设函数 f x x 答案9 3cos x1. 如 f a 11,就 f a _. 解析 令 g x f x 1x 3cos x,g x x 3cos x x 3cos x g x ,g x 为定义在 R上的奇函数又f a 11,g a f a 110,g a g a 10. 又 ga f a 1, f a g a 1 9. 3设函数 f x 是定义在 R上的奇函数,如当 的 x 的取值范畴是 _答案 1,0 1 ,x0 , 时, f x lg x,就满意 f x>0解析画草图,由f x 为奇函数知： f x>0 的 x 的取值范畴为 1,0 1 , 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4函数 f x 的定义域为R,如 f x1 与 f x1 都是奇函数,就 Af x 是偶函数 B f x 是奇函数 Cf x f x2 D f x 3 是奇函数 答案 D 解析 由于 f x1 与 f x1 都是奇函数,所以 f x1 f x1 ,即 f x f 2 x ,f x1 f x1 ,即 f x f 2x ,于是 f x 2 f x2 ,即 f x f x4 ,所以函数 f x 是周期 T4 的周期函数所以 f x14 f x14 ,f x 3 f x3 ,即 f x3 是奇函数52022· 大纲全国 设 f x 是周期为 2 的奇函数,当 0x1 时,f x 2x1 x,就 f 52等于 1 2. A1 2B1 4C.1 4D.12答案A 解析f x 是周期为 2 的奇函数,f 5 2f 5 22f 1 2 f1 22×1 2×11 2题型一判定函数的奇偶性名师归纳总结 例 1判定以下函数的奇偶性：第 3 页,共 17 页1 f x 9x2x29；2 f x x1 1x 1x；3 f x 2 4x | x3| 3. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 思维启发：确定函数的奇偶性时,必需先判定函数定义域是否关于原点对称如对称,再验证 f x ± f x 或其等价形式f x ± f x 0 是否成立解1 由 9x20x290,得 x± 3.f x 的定义域为 3,3 又 f 3 f 3 0,f 3 f 3 0. 即 f x ± f x f x 既是奇函数,又是偶函数2 由1x 1x01x 0,得 1<x1.f x 的定义域 1,1 不关于原点对称f x 既不是奇函数,也不是偶函数3 由 4x 20| x3| 3 0,得 2 x2 且 x 0.f x 的定义域为 2,0 0,2 ,关于原点对称f x 2 4x34x2. x3xf x f x , f x 是奇函数探究提高 判定函数的奇偶性,其中包括两个必备条件：1 定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以第一考虑定义域对解决问题是有利的；2 判定 f x 与 f x 是否具有等量关系在判定奇偶性的运算中,可以转化为判定奇偶性的等价等量关系式 成立 f x f x 0 奇函数 或 f x f x 0 偶函数 是否以下函数：f x 1x 2x 21；f x x 3x；f x ln xx21 ；f x 3 x 3x2；f x 名师归纳总结 lg 1x 1x. 第 4 页,共 17 页其中奇函数的个数是 A2 B3 C4 D5 答案D 解析f x 1x2x21的定义域为 1,1 ,又 f x ± f x 0,就 f x1x2x 21既是奇函数,也是偶函数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x x3x 的定义域为R,又 f x x3 x x 3x f x ,R,就 f x x3 x 是奇函数；由 xx 21>x| x| 0 知 f x ln xx 21 的定义域为又 f x ln xx21 lnx1x 21 ln xx21 f x ,就 f x 为奇函数；3 x3xf x 2 的定义域为 R,3x3 3 x3 xx又 f x 22 f x,就 f x 为奇函数；由1 x 1 x>0 得 1<x<1,x,恒有 f x2 f x 当 x0,2f x ln 1 x 1 x的定义域为 1,1 ,又 f x ln 1x 1xln1x11x ln1x 1x f x ,就 f x 为奇函数,奇函数的个数为5. 题型二函数的奇偶性与周期性例 2设 f x 是定义在 R上的奇函数, 且对任意实数时, f x 2xx 2. 1 求证： f x是周期函数；2 当 x2,4 时,求 f x 的解析式；3 运算 f 0 f 1 f 2 , f 2 013 思维启发： 1 只需证明 f xT f x ,即可说明f x 是周期函数；2 由 f x 在0,2上的解析式求得f x 在 2,0 上的解析式, 进而求 f x 在2,4上的解析式；3 由周期性求和1 证明f x2 f x ,f x 4 f x2 f x f x 是周期为 4 的周期函数名师归纳总结 2 解x2,4 , x 4, 2 ,第 5 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 x0,2 ,f 4 x 24 x 4 x2 x26x8,又 f 4 x f x f x , f x x 26x8,即 f x x 2 6x8, x2,4 3 解f 0 0,f 2 0,f 1 1,f 3 1. 又 f x 是周期为 4 的周期函数,f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 , f 2 008 f 2 009 f 2 010 f 2 0110. f 0 f 1 f 2 , f 2 013 f 0 f 1 1. 探究提高判定函数的周期只需证明f xTf x T 0 便可证明函数是周期函数,且 周期为 T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题已知 f x 是定义在R 上的偶函数,并且f x2 f1,当 2x3x时, f x x,就 f 105.5 _. 答案2.5 f x4 f x2 2 解析由已知,可得f1f1f xx21故函数的周期为4. xf 105.5 f 4 × 27 2.5 f 2.5 22.5 3,由题意,得 f 2.5 2.5. f 105.5 2.5. 题型三函数性质的综合应用f x2 f x ,当 0x1 时, f x x. 例 3设 f x 是 , 上的奇函数,1 求 f 的值；2 当4 x4 时,求 f x 的图象与 x 轴所围成图形的面积；3 写出 , 内函数 f x的单调区间画思维启发：可以先确定函数的周期性,求 f ；然后依据函数图象的对称性、周期性出函数图象,求图形面积、写单调区间解 1 由 f x2 f x 得,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - f x4 f x2 2 f x2 f x ,所以 f x 是以 4 为周期的周期函数,f f 1× 4 f 4 f 4 4 4. 2 由 f x 是奇函数与 f x2 f x ,得： f x1 2 f x1 f x1 ,即 f 1 x f 1 x 故知函数 yf x 的图象关于直线 x 1 对称就 f x 的图象如图所 又当 0x1 时,f x x,且 f x的图象关于原点成中心对称,示当4 x4 时, f x 的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,就 S4SOAB4×1 2× 2× 1 4. 3 函数 f x 的单调递增区间为4 k1,4 k1 kZ ,单调递减区间为4 k 1,4 k3 kZ 对称性确定函数图象,充分探究提高函数性质的综合问题,可以利用函数的周期性、利用已知区间上函数的性质,表达了转化思想 1 已知定义在R 上的奇函数f x 满意 f x4 f x ,且在区间 0,2上是增函数,就 Af 25< f 11< f 80 Bf 80< f 11< f 25 Cf 11< f 80< f 25 Df 25< f 80< f 11 答案D f x 在 0,2 上是增函数可以推知,f x在 2,2 上递解析由函数 f x 是奇函数且增,又f x4 f x . f x8 f x 4 f x ,故函数 f 1 ,f 11 f 3 f 3 4 f 1 ,f x 以 8 为周期, f 25 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - f 80 f 0 ,故 f 25< f 80< f 11 2 函数 yf x x 0 是奇函数,且当x0 , 时是增函数,如f 1 0,求不等式 f x x 1 2<0 的解集0 , 上为增函数,解yf x为奇函数,且在yf x 在 , 0 上也是增函数,且由 f 1 0 得 f 1 0. 如 f x x1 2<0 f 1 ,1 1就x x2 x x21即 0<x x2<1,1 117 117解得 2<x< 4 或 4 <x<0. 1如 f x x2<0 f 1 ,1 1就x x2 x x2 11由 x x2< 1,解得 x. 原不等式的解集是 x|1 2<x<117或117<x<0 441. 等价转换要规范典例：12 分 函数 f x 的定义域 D x| x 0 ,且满意对于任意x1,x2D. 有 f x1·x2f x1 f x2 1 求 f 1 的值；2 判定 f x 的奇偶性并证明；3 假如 f 4 1,f 3 x 1 f 2 x6 3,且 f x 在0 , 上是增函数,求 x 的取值范畴审题视角1 从 f 1 联想自变量的值为1,进而想到赋值x1x2 1.2 判定 f x 的奇偶性,名师归纳总结 就是讨论f x 、f x 的关系从而想到赋值x1 1,x2 x. 即 f x f 1 第 8 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x 3 就是要显现f M< f N 的形式,再结合单调性转化为M<N或 M>N的形式求解规范解答解 1 令 x1x21,有 f 1 × 1 f 1 f 1 ,解得 f 1 0.2 分 2 f x 为偶函数,证明如下：4 分 令 x1x2 1,有 f 1 × 1 f 1 f 1 ,解得 f 1 0. 令 x1 1,x2x,有 f x f 1 f x ,f x f x f x为偶函数 7 分 3 f 4 × 4 f 4 f 4 2,f 16 × 4 f 16 f 4 3.8 分 由 f 3 x1 f 2 x6 3,变形为 f 3 x12 x6 f 64 * f x 为偶函数, f x f x f | x| 不等式 * 等价于 f |3 x12 x6| f 64 9 分 又 f x 在0 , 上是增函数,|3 x12 x6| 64,且 3 x12 x6 0.7 1 1 解得3x<3或3<x<3 或 3<x5.7 1 1x 的取值范畴是 x| 3x<3或3<x<3 或 3<x5 12 分 温馨提示 数学解题的过程就是一个转换的过程解题质量的高低, 取决于每步等价转换的规范程度 假如每一步等价转换都是正确的、规范的等价转化要做到规范,应留意以下几点：规范的, 那么这个解题过程就肯定是1 要有明确的语言表示如“M” 等价于“N” ,“M” 变形为“N” 2 要写明转化的条件 如本例中： f x 为偶函数,不等式 * 等价于 f |3 x12 x6| f 64 3 转化的结果要等价如本例：由于f |3 x12 x6| f 64 . |3 x12 x6| 64,且 3 x12 x6 0. 如漏掉 3 x 12 x6 0,就这个转化就不等价了 . 方法与技巧名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1正确懂得奇函数和偶函数的定义,必需把握好两个问题：1 定义域在数轴上关于原点对称是函数f x 为奇函数或偶函数的必要非充分条件；2 f x f x 或 f x f x 是定义域上的恒等式2奇偶函数的定义是判定函数奇偶性的主要依据为了便于判定函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式：ffxx± 1 f x 0 3奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于f x ± f x . f x ± f x 0.y 轴对称,反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判定函数的奇偶性失误与防范 1判定函数的奇偶性,第一应当判定函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判定函数f x 是奇函数,必需对定义域内的每一个x,均有 f x f x ,而不能说存在 x0使 f x0 f x0 对于偶函数的判定以此类推3分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判定,不行以利用函数在定义域某一区间 上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性 . 时间： 60 分钟 A 组 专项基础训练 一、挑选题 每道题 5 分,共 20 分 12022· 广东 以下函数为偶函数的是 D项为偶函数Aysin xByx3CyexD ylnx21 答案D 解析由函数奇偶性的定义知A、 B项为奇函数, C项为非奇非偶函数,22022· 天津 以下函数中,既是偶函数,又在区间1,2 内是增函数的为 Aycos 2 x,xRBylog 2| x| ,xR且 x 0名师归纳总结 Cyexex,xRDyx31,xR第 10 页,共 17 页2答案B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析选项 A 中函数 ycos 2 x 在区间0, 2上单调递减,不满意题意；选项 C中的函数为奇函数；选项 D中的函数为非奇非偶函数,应选B. 为奇函数,就a 等于 32022· 辽宁 如函数 f x x1xxaA. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D 1 ,f x4 f x ,当 x0,2 时,答案A 解析f x f x,2x1xxax1xxa2 a 1 x 0, a1 2. 42022· 福州质检 已知 f x 在 R上是奇函数,且满意f x 2x 2,就 f 7 等于 A 2 B 2 C 98 D 98 答案 A 解析f x4 f x , f x是周期为 4 的函数,f 7 f 2 × 4 1 f 1 ,又 f x 在 R上是奇函数, f x f x ,f 1 f 1 ,而当 x0,2 时, f x 2x2, f 1 2× 122, f 7 f 1 f 1 2,故选 A. 二、填空题 每道题 5 分,共 15 分 5设函数 f x xexaex xR 是偶函数,就实数a 的值为 _xae x ,答案1 解析由于 f x 是偶函数,所以恒有f x f x,即 xex aex xe化简得 xexe x a1 0. 由于上式对任意实数 x 都成立,所以 a 1. x2x b b 为常数 ,就 f 1 6设 f x 为定义在 R上的奇函数,当 x0 时, f x 2 _. 答案3 解析 由于 f x 是定义在 R上的奇函数, 因此 f x f x 0. 当 x0 时,可得 f 00,x2x1,因此 f 1 3. 又 f 1 f 1 ,所以 f 1 可得 b 1,此时 f x 2名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 72022· 江南十校联考 已知定义在R上的函数 yf x 满意条件 f x3 2 f x ,且函数 y f x3 4为奇函数,给出以下四个命题：函数 f x 是周期函数；函数 f x 的图象关于点3 4,0 对称；函数 f x 为 R上的偶函数；函数 f x 为 R上的单调函数其中真命题的序号为_T3,为真命题；又y f x3 4关答案解析由 f x f x3 . f x 为周期函数,且于0,0 对称,yf x3 4向左平移3 4个单位得 yf x 的图象,4x3 4 f 就 yf x 的图象关于点3 4,0 对称,为真命题；又 y f x3 4为奇函数,f x3 4 f x3 4,f x3 43 4 fx ,f x3 2 f x , f x f x3 f x3 2f x , f x 为偶函数,不行能为 R上的单调函数所以为真命题,为假命题三、解答题 共 25 分 812 分 已知函数 f x x 2a x x 0 1 判定 f x 的奇偶性,并说明理由；2 如 f 1 2,试判定f x 在2 , 上的单调性解 1 当 a0 时, f xx 2,f x f x ,函数是偶函数当 a 0 时, f x x 2a x x 0 ,取 x± 1,得 f 1 f 1 2 0；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - f 1 f 1 2a 0,f 1 f 1 ,f 1 f 1 函数 f x 既不是奇函数也不是偶函数2 如 f 1 2,即 1a2,解得 a1,1这时 f x x 2x. 任取 x1,x22 , ,且 x1<x2,就 f x1 f x2 x 21x1 x 1 21 x2 x1x2 x1x2 x2x1 x1x21 x1x2 x1x2x1x2. 由于 x12, x22,且 x1<x2,1x1x2<0,x1x2> x1x2,所以 f x1< f x2 ,故 f x 在2 , 上是单调递增函数913 分 已知函数 f x 是定义在 R上的奇函数,且它的图象关于直线 x1 对称1 求证： f x是周期为 4 的周期函数；2 如 f x x 0< x1 ,求 x 5, 4 时,函数 f x的解析式1 证明 由函数 f x 的图象关于直线 x1 对称,有 f x1 f 1 x ,即有 f x f x2 又函数 f x 是定义在 R上的奇函数,故有 f x f x 故 f x2 f x 从而 f x4 f x2 f x ,即 f x 是周期为 4 的周期函数2 解 由函数 f x 是定义在 R上的奇函数,有 f 0 0. x 1,0 时, x 0,1 , f x f x x. 故 x 1,0 时, f x x. x 5, 4 时, x4 1,0 ,f x f x4 x4. 从而, x 5, 4 时,函数 f x x4. B 组 专项才能提升一、挑选题 每道题 5 分,共 15 分 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12022· 安徽 设 f x 是定义在 R上的奇函数, 当 x0 时,f x 2x2x,就 f 1 等于 A 3 B 1 C1 D 3 答案 A 解析f x 是奇函数,当 x0 时, f x 2x 2 x,f 1 f 1 2 × 1 2 1 3. 2已知 f x 是定义在 R上的偶函数, g x 是定义在 R 上的奇函数,且 g xf x1 ,就 f 2 013 f 2 015 的值为 A 1 B 1 C0 D 无法运算答案C g x f x 1 ,解析由题意,得又 f x 是定义在 R上的偶函数, g x 是定义在 R上的奇函数, g x g x ,f x f x ,f x 1 f x1 ,f x f x2 , f x f x4 ,f x 的周期为 4,f 2 013 f 1 ,f 2 015 f 3 f 1 ,又 f 1 f 1 g0 0,f 2 013 f 2 015 0. 32022· 淄博一模 设奇函数 f x 的定义域为R,最小正周期T3,如 f 1 1, f 2 2a 3 a1,就 a 的取值范畴是 f 1 f 1 Aa< 1 或 a2 3Ba<1 C 1<a2 3 Da23答案C 解析函数 f x 为奇函数,就由 f 1 f 1 1,得 f 1 1；函数的最小正周期 T3,就 f 1 f 2 ,2a3 2 由 a1 1,解得 1<a3. 二、填空题 每道题 4 分,共 12 分 名师归纳总结 42022· 浙江 如函数 f x x2| xa| 为偶函数,就实数a_