2022年微分几何复习题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 曲线论一、单项挑选题1、过点0r 且以非零向量 a 为方向的直线方程为0rsrA、ra0r0 B 、ra0r0 C 、rr0a0 D 、rr0a2、已知向量ab,就必有；sA、ab0 B 、ab C 、ab0 D 、ab03、设r,s分别是可微的向量函数, 就以下运算正确选项；A、rsrs B 、rsrsrs C 、rsrs D 、rs4、过0r 且垂直于非零向量n 的平面方程是0r0；A、rr0n0 B 、rr0n0 C、rr 0vn D、rn5、设rt,st,ut分别是可微的向量函数, 就r,s,u；,s,uA、rsu B、rsu C 、r,'s,'u '' D 、r,s,ur,s,ur6、单位向量函数rt关于 t 的旋转速度等于A、r' t B、r'' t C 、r' t D、r'' t7、向量函数rrt具有固定方向的充要条件是；A、rt1 B 、r' t1 C 、rtr't0 D 、rtr'to8、向量函数rrt具有固定长的充要条件是； A 、rtr't0 B 、r'trt0 C 、rt1 D 、r' t1；9、星形线xacos3t,yasin3t上对应于 t 从 0 到的一段弧的长等于A、 a B、2 a C、 a D、6 a10、已知向量a /b,就必有； A 、ab0 B、ab C、ab0 D、ab011、在曲线的正常点处, 曲线的切线和主法线所确定的平面是曲线上该点的 A 、法平面 B、切平面 C、亲密平面 D、从切平面12、平面曲线的曲率或挠率特点是； A 、曲率0 B、曲率 C、挠率c c0 D、挠率013、设圆的半径为R,就圆上每一点的曲率都是；A、 0 B、1 C、R D、1R14、假如一条曲线的亲密平面固定,就此曲线是；A、平面曲线 B、挠曲线 C、一般螺线 D、直线15、设曲线rrt的自然参数方程为rrs ,就曲线在任一点的单位切向量是1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - A、rt B、rs C、dr D、drdtds16、曲率恒等于零的曲线是；0 A 、平面曲线 B、直线 C、挠曲线 D、一般螺线17、 圆柱螺线rcost,sint,t,在点 t的切线方程是；A、x01yz1 B 、x11yz1 C 、x01yz D 、yz111118、对于一般螺线,以下命题成立的个数是；切线和固定方向作固定角主法线与一个固定方向垂直曲率和挠率的比等于一个常数副法线与一个固定方向作固定角 A 、二个 B、三个 C、四个 D、五个19、以下不是一般螺线性质的是； A 、切线和固定方向作固定角 B、主法线与一个固定方向垂直 C、曲率和挠率的积等于一个常数 E 、曲率和挠率的比等于一个常数 D 、副法线与一个固定方向作固定角20、假如曲线的全部亲密平面都经过一个定点,那么此曲线是；P 时,平面的极限 A 、球面曲线 B、圆 C、平面曲线 D、直线21、空间曲线 c 上正就点 P 的切线和该点邻近点Q 的平面,当点 Q 沿曲线趋于点、从切平面位置称为曲线的点的；A、亲密平面 B、法平面 C、切平面 D二、填空题1、设曲线rrt的自然参数方程为rrs ,就曲线在任一点的单位切向量是；2、 向量函数rt是区间a,b上的连续函数 , 就dxrtdtdxa；3、 直线rtt2,t3, t的自然参数方程是；4、设曲线参数方程rrs ,就参数 s 是自然参数的充要条件是5、最贴近曲线的直线是、最贴近曲线的平面是；6、如空间曲线rrt上的亲密平面都垂直于一固定向量e,就该曲线是7、空间曲线是直线的充要条件是；8、如空间曲线rrt满意r,r,r0,就该曲线是；9、曲线rrt上的点都是正常点,就必有；10、曲线c 上全部点都是正常点时, 就称该曲线c 为 . 11、空间曲线的自然方程是；2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12、rt具有固定长的充要条件是；13、rt具有固定方向的充要条件是；14、空间曲线是平面曲线的充要条件是；15、平面曲线在某点邻近的外形由曲线在该点的打算 . 16、空间曲线在某点邻近的外形由曲线在该点的打算 . 17、圆柱螺线rtcost,sint,t在点（ 1,0,0）处的切线方程是；18、 曲线rt3cost3,sint,5 t上的每一点都是19、由曲线上一点的主法线与副法线构成的平面是曲线在这点的20、由曲线上一点的切线与副法线构成的平面是曲线在这点的；21、设圆的半径为R,就圆上每一点的曲率（按顺时针方向）都是22、切线和固定方向作固定角的曲线称为23、圆柱螺线racost,asint,bt的自然参数表示为；24、 如曲线rr t,atb中的函数是连续可微的函数,就曲线为点；25、根据椭圆点、双曲点、抛物点进行分类,可展曲面上的点都是三、判定题1、如ab0, 就a0或b0 . （）2、 假如 m 是常向量 , 就有bmr tdtmbrtdt. aa3、对空间曲线 , 切向量的正向和曲线的参数t 的增值方向是一样的. 4、 曲线rt3cost,3sint,5 t上的每一点都是正常点. （）5、假如一条曲线的亲密平面固定,就曲线是平面曲线（）6、曲线rrt在P 0t点的亲密平面由P 0t和向量r''0t完全确定 . 7、 如rt和st 是在点t0连续的向量函数, 就rtst在点t0也连续. 8、挠率不恒为零的曲线称为挠曲线 9、 假如一个向量函数的模等于固定长,那么它的微商为零. （）10、切线是通过切点的全部直线当中最贴近曲线的直线. 11、s 是曲线的副法向量对于弧长的旋转速度. （）12、曲线在某点的曲率和挠率完全确定了曲线在该点邻近的近似外形；（13、当曲线在一点处的弯曲程度越大, 切向量对于弧长的旋转速度就越小. 14、 挠率为定数的曲线是平面曲线. 15、空间曲线挠率大于零时, 曲线由下往上成左旋曲线. （）16、空间曲线穿过法平面和从切平面, 但不穿过亲密平面. 17、空间曲线rrt,如r,r,r0,就曲线为平面曲线18、在光滑曲线的正常点处,切线必存在且唯独（）3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 曲面论一、单项挑选题1、 假如 u 1v 1 是曲面 r r u , v 的正常点,就在该点处有；A、r ur v 0 B、r u r v 0 C、r u r v 0 D、r u r v 02、两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是经过适当挑选参数A、它们的第一基本形式相等 B、 它们的其次基本形式相等C、它们的第一基本形式成比例 D、 它们的其次基本形式成比例3、 曲面的曲纹坐标网是正交的充要条件是；A、 F=0 B、 G=0 C、 L=0 D、 M=0 4、 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是；A、 F=0 B、 M=0 C、F=M=0 D、 L=N=0 5、 曲面上的曲纹坐标网是共轭网的充要条件是；A、 F=0 B、 M=0 C、F=M=0 D、 L=N=0 6、 曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是；A、 F=0 B、 M=0 C、F=M=0 D、 L=N=0 7、两个曲面之间的变换是等距变换的充要条件是经过适当的参数变换A、它们的第一基本形式成比例 B、 它们的第一基本形式相等C、 它们的其次基本形式成比例 D、 它们的其次基本形式相等8、 曲面上的一点 P处有 L N M 0 , 在点 P 称为曲面的A、 双曲点 B、 椭圆点 C、抛物点 D、平点9、 以下曲面中不是可展曲面的是 A 、 椭圆抛物面 B、一条曲线的切线曲面 C 、柱面 D、锥面10、 在光滑曲面 r r u , v 上, 微分方程 du 0 表示；A、 一条曲线 B、 一族曲线曲线族 C 、 两条曲线 D 、 两族曲线曲线网11、 曲面在渐近曲线上一点处的切平面肯定是渐近曲线的；A、 法平面 B、 亲密平面 C、 从切平面 D、 法线曲面12、 直纹面 r a u v b u 的 V曲线是；A、直母线 B、与直母线垂直相交的直线C、与导线 a u 垂直的曲线 D、与导线 a u 平行的曲线13、曲面上的一点 P处有 LN M 2 0 , 就点 P 称为曲面的；A、 椭圆点 B、 抛物点 C、 双曲点 D、 平点14、曲面上的一点 P处有 LN M 2 0 , 就点 P 称为曲面的；A、 椭圆点 B、 抛物点 C、 双曲点 D、 平点215、曲面上的一点 P处有 LN M 0 , 就点 P 称为曲面的；A、 椭圆点 B、 抛物点 C、 双曲点 D、 脐点16、下面除了 之外都是曲面的等距不变量（保长不变量）A 、曲面上曲线的弧长 B、曲面上两曲线的交角 C、曲面域面积 D、曲面曲线的曲率17、曲面 S：r r u , v 的每一点满意 F=M=0,就此曲面的曲率线是4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - A、 u曲线B、 v曲线C、曲面上的 u曲线和 v曲线D、参数曲线的二等分轨线18、曲面 S：rru ,v 在 P点处的两个方向drdu:dv和0u :v既正交又共轭,就A 、drr2,d rn0B、dr0 ,drn0r0C、drrn0D、d r,0drn,d n二、填空题1、在曲面rr u,v 上,微分方程dudv0表示；2、曲面r,z cos,sin,z在点（ 0, 0）处的切平面方程是3、曲面r,z cos,sin,z在点0,处的切平面方程是；4、曲面rr u,v是正就曲面,就必有；5、曲面在脐点处,第一、其次基本量满意；6、曲面在圆点处,第一、其次基本量满意；7、球面上每一点都是；8、两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是9、两个曲面之间的一个变换是等距变换的充要条件是；10、已知平面 到单位球面 s的中心距离为d0d1 , 就 与 s 交线的曲率为11、曲面在渐近曲线上一点处的切平面肯定是渐近曲线的；12、空间曲线rrt的主法线曲面的方程是；13、设曲面rru,v的 u - 曲线与 v - 曲线的交角为,就 cos；14、曲面上一曲线,假如它每一点处的切方向都是该曲面的渐近方向,就此曲线称为曲面的15、曲面上的一点P处有 L=M=N=0,就点 P 称为曲面的；16、曲面上一点P 处使法曲率k =0 的方向为曲面在点P 的；17、曲面上一曲线,假如它每一点处的切方向都是该曲面的主方向,就此曲线称为曲面的18、平面上每一点都是；19、假如曲面上有直线,就它肯定是曲面的；20、曲面在椭圆点邻近的外形近似于；21、曲面的三个基本形式之间满意；22、平面族a2x2 ay2z2a的包络是；23、平面族xcosysinzsin1 的包络是；24、曲面族 S ：xcosysinzsin60的包络为25、曲面族 S ：xsinycoszcos30的包络为三、判定题1、 曲面上一点P处使k =0 的方向称为曲面在点2P 的主法方向 . 曲线的位置关系为正交； （）2、设曲面的第一基本形式为IEdu2Gdv,就 u曲线和 v5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、用曲面S：rru,v的第一基本量表示曲面域D （D 对应 uv 平面上的区域为D ）的面积为DEGF2dudv；（）. 4、 曲面的其次基本形式是正定的. 5、曲面在椭圆点邻近的外形近似于双曲抛物面. 6、曲面的曲纹坐标网都是正交的. 7、 假如曲面上的点都是双曲点, 就曲面上存在两族渐近曲线. 8、平面上每一点都是平点. 9、 等距变换肯定是保角变换, 保角变换却不肯定是等距变换. 10、曲面上一点处的杜邦指标线是在该点的切平面上的有心二次曲线. 11、曲面上的弧长、交角、曲面域的面积等都是等距不变量, 也是曲面的内蕴量. 12、一个曲面假如它每一点处的平均曲率H=0,称之为微小曲面. 13、曲面上一点 非脐点 的主曲率是曲面在这点全部方向的法曲率中的最大值和最小值14 直纹曲面ra uv bu ,当a,b,b0时,是可展曲面. 15、 在椭圆柱面上任何点处, 高斯曲率都等于零. 16、 =2du26dudv3dv2不是曲面的第一基本形式（）17、由于高斯曲率KLNM2,故高斯曲率不是内蕴量. EGF218、一个曲面为可展曲面的充要条件为单参数平面族的包络；（）19、可展曲面只有三类：锥面、柱面、切线面,而直纹面也只有三类；（）6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页