132杨辉三角与二项式系数的性质（一）.ppt
一般地，对于一般地，对于n N*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二项定理二项定理:一、新课引入一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过们先通过杨辉三角杨辉三角观察观察n为特殊值时，二项式系数为特殊值时，二项式系数有什么特点？有什么特点？1“杨辉三角杨辉三角”的来历及规的来历及规律律 展开式中的二项式系数，如下表所示：展开式中的二项式系数，如下表所示： nba)( 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba()nab 0111C C012222C C C01233333C C C C0123444444C C C C C012345555555C C C C C C01234566666666C C C C C C C0121.rnnnnnnnnC C CCCC 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n2二项式系数的性质二项式系数的性质 （1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象的对称轴图象的对称轴：2nr （2）增减性与最大值）增减性与最大值 kknkkknnnnknkn1C)!1() 1()2)(1(C1由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 knC1Cknkkn1（2）增减性与最大值）增减性与最大值 由由：2111nkkkn 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。得最大值。 21nk 可知，当可知，当 时，时，（2）增减性与最大值）增减性与最大值 因此，因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数，中间两项的二项式系数 、21Cnn21Cnn相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1bannnnnn2CCCC210 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：nba)( n2同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式这是组合总数公式 一般地，一般地， 展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：nba)( （1 1）nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2） （3 3）当）当 时，时， （4 4）mnmnmnCCC1121nr1rnrnCC 当当 时，时，21nrrnrnCC1nnnnnCCC210课堂练习：课堂练习：1）已知）已知 ，那么，那么 = ；2） 的展开式中，二项式系数的最大值的展开式中，二项式系数的最大值是是 ；3）若）若 的展开式中的第十项和第十一的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则项的二项式系数最大，则n= ；591515,Ca Cb1016C9()ab()nab 例例1 证明在证明在 的展开式中，奇的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项式系数的和nba)( nxx)2(34项的二项式系数是倒数第项的二项式系数是倒数第2项的二项式系项的二项式系数的数的7倍，求展开式中倍，求展开式中x的一次项的一次项例例2 已知已知 的展开式中，的展开式中，第第 例例3： 的展开式中第的展开式中第6项与第项与第7项的系项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。大的项。(12 )nx例例5 已知已知 的展开式中的展开式中x3的系数的系数 为为 ，则常数，则常数a的值是的值是_。 92xxa94例例4 、求、求(1-x3)(1+x)10的展开式中的展开式中x5的系数。的系数。例例6、若若 展开式中前三项系数成等差展开式中前三项系数成等差 数列，求数列，求（1）展开式中含）展开式中含x的一次幂的项；的一次幂的项； （2）展开式中所有展开式中所有x 的有理项；的有理项； （3）展开式中系数最大的项。）展开式中系数最大的项。42 xn1( x+) 二项展开式中的二项式系数都是一些特二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意好，同时要注意“系数系数”与与“二项式系数二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握尤其要理解和掌握“取特值取特值”法，它是解决法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。有关二项展开式系数的问题的重要手段。1、 已知已知 的展开式中的展开式中x3的系数的系数 为为 ，求常数，求常数a的值。的值。 92xxa94nxx)2(34项的二项式系数是倒数第项的二项式系数是倒数第2项的二项式系项的二项式系数的数的7倍，求展开式中倍，求展开式中x的一次项的一次项2 2 已知已知 的展开式中，第的展开式中，第
