03第三章导数与微分.doc

*.第三章 导数与微分一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式.3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.5.了解可导、可微、连续之间的关系.重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法.难点 求复合函数和隐函数的导数的方法.（二） 内容提要1.导数的概念导数设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处有增量，仍在该邻域内时，相应地，函数有增量，若极限 存在，则称在点处可导，并称此极限值为在点处的导数，记为，也可记为，即 .若极限不存在，则称在点处不可导.若固定，令，则当时，有，所以函数在点处的导数也可表示为 . 左导数与右导数 函数在点处的左导数 . 函数在点处的右导数.函数在点处可导的充分必要条件是在点处的左导数和右导数都存在且相等 导数的几何意义曲线的切线在曲线上点的附近，再取一点，作割线，当点沿曲线移动而趋向于时，若割线的极限位置存在，则称直线为曲线在点处的切线导数的几何意义函数在点处的导数表示曲线在点处的切线斜率.关于导数的几何意义的3点说明:曲线上点处的切线斜率是纵标变量对横标变量的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时优为重要.如果函数在点处的导数为无穷(即,此时在处不可导),则曲线上点处的切线垂直于轴.函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直于轴的切线.3.变化率函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限，即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变量的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着自变量在某处的变化而变化的快慢程度. 4.可导与连续的关系若函数在点处可导，则在点处一定连续.但反过来不一定成立，即在点处连续的函数未必在点处可导.5. 高阶导数二阶导数函数的一阶导数仍然是的函数，则将一阶导数的导数称为函数的二阶导数，记为或或，即= 或 =.阶导数 阶导数的导数称为阶导数（=3，4，,）分别记为, , ,，或, , ,，或, , , ，二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.6 . 微分微分的定义如果函数在点处的改变量，可以表示成 ，其中是比高阶的无穷小，则称函数在点处可微，称为的线性主部，又称为函数在点处的微分，记为或，即.微分的计算，其中,为自变量.一阶微分形式不变性对于函数,不论是自变量还是因变量,总有成立.7. 求导公式 微分公式表3.1给出了基本初等函数的求导公式及微分公式.表3.1求导与微分公式求导公式微分公式基本初等函数求导公式 基本初等函数微分公式 对求导公式作如下两点说明:(1) 求导公式表示函数对自变量的导数，即=,(2) 求导公式表示函数对函数的导数，即=.8. 求导法则 微分法则求导法则,微分法则见下表3.2复合函数求导法则参数方程求导法则隐函数求导法对数求导法表3.2 求导与微分法则表求导法则微分法则函数的四则运算求导法则函数的四则运算微分法则 复合函数求导法则设，则复合函数的导数为 复合函数微分法则设函数，,则函数的微分为，此式又称为一阶微分形式不变性参数方程确定的函数的导数若参数方程确定了是的函数，则 或 =反函数求导法则设的反函数为，则或 9. 微分近似公式（1）微分进行近似计算的理论依据对于函数,若在点处可导且导数，则当很小时，有函数的增量近似等于函数的微分, 即有近似公式.(2) 微分进行近似计算的4个近似公式设函数在点处可导且导数，当很小时，有近似公式，即， 令，则， 特别地，当，很小时，有 . 二、主要解题方法1用导数的定义求函数导数的方法例1 求在处的导数.解 由导数的定义知.例2 求 ，的导数.解 当时， ， 当时，当时，所以 ，因此 ，于是 小结 求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得.2 用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法例3 设求.解 ，.例 4 设 求 .解 利用复合函数求导法求导，得.小结 若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求高阶导数时更要注意这一点.另外，还要注意应用四则运算法则的前提条件是：函数在点可导，否则法则失效.如在点，用四则运算法则求导，不存在，但由例1知 在的导数为0.对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.3对数求导方法例 5 已知 = ，求.解 两边取对数，得：，两边对同一自变量求导，得，.小结 对数求导法适合两类函数的求导：（1）幂指函数，（2）函数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的.4隐含数的求导法例 6 已知 求.解 两端对求导，得 ，整理得 ，故 ，上式两端再对求导，得=，将 代入上式，得.小结 在对隐函数求二阶导数时，要将的表达式代入中，注意，在的最后表达式中，切不能出现.5由参数方程所确定的函数的求导法例7 设 求 .解 ，.小结 求由参数方程所确定的函数的导数时，不必死记公式，可以先求出微分、，然后作比值，即作微商.求二阶导数时，应按复合函数求导法则进行，必须分清是对哪个变量求导.6求函数微分的方法例8 求函数的微分.解一 用微分的定义求微分， 有. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得 .小结 求函数微分可利用微分的定义，微分的运算法则，一阶微分形式不变性等.利用微分形式不变性可以不考虑变量之间是怎样的复合关系，有时求微分更方便.7利用微分求近似值例9 求的近似值.解 设 ，由近似公式，得 ，取 ，则有 .例10 有一批半径为的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层钢，厚度为，估计每只球需要用铜多少克？（铜的密度为）解 所镀铜的体积为球半径从增加时，球体的增量.故由知，所镀铜的体积为 ，质量为 .小结 利用公式计算函数近似值时，关键是选取函数的形式及正确选取.一般要求 便于计算，越小，计算出函数的近似值与精确值越接近.另外，在计算三角函数的近似值时，必须换成弧度.8求曲线的切线方程例11 求曲线的切线，使该切线平行于直线. 解 方程 两端对求导，得 ， ， ，由于该切线平行于直线 所以有 ， ， ，.因为切线必在曲线上，所以，将代入曲线方程得 ，解之 ，此时 ，切点的坐标为,，切线的斜率分别为 ，因此得切线的方程分别为 ， 即 ， ， 即 .9求函数的变化率例 12 落在平静水面上的石头，产生同心圆形波纹，若最外一圈半径的增大率总是，问2末受到扰动的水面面积的增大率为多少？解 设最外圈波纹半径为，扰动水面面积为，则 两边同时对 求导，得 从而 ， 又 为常数，故 （类似于匀速直线运动路程与速度、时间的关系），因此 ，故有 .因此，2末受到扰动的水面面积的增大率为.小结 对于求变化率的模型，要先根据几何关系及物理知识建立变量之间的函数关系式.若是相关变化率模型，求变化率时要根据复合函数的链式求导法，弄清是对哪个变量的导数.三、学法建议 1本章重点为导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法，其难点是求复合函数和隐函数的导数方法.2 要正确理解导数与微分的概念，弄清各概念之间的区别与联系.比如，可导必连续，反之，不一定成立.可导与可微是等价的.这里等价的含义是：函数在某点可导必定得出在该点可微，反之，函数在某点可微，必能推出在该点可导.但并不意味着可导与可微是同一概念.导数是函数改变量与自变量改变量之比的极限，微分是函数增量的线性主部，在概念上两者有着本质的区别.3 复合函数求导法既是重点，又是难点，不易掌握，怎样才能达到事半功倍的效果呢？首先，必须熟记基本的求导公式，其次，对求导公式必须弄清每一项是对哪个变量求导，如 , 因为 理解公式还要和微商结合起来，右边的微分约分之后必须等于左边的微商.另外，要想达到求导既迅速又准确，必须多做题.但要牢记，导数是函数改变量之比的极限，不能因为有了基本初等函数的求导公式及求导法则后，就认为求导仅是利用这些公式与法则的某种运算而忘记了导数的本质. 4利用导数解决实际问题，本章主要有三类题型.一类几何应用，用来求切线、法线方程.其关键是求出切线的斜率及切点的坐标；另一类是变化率模型，求变化率时，一定要弄清是对哪个变量的变化率，如速度再有一类是用微分近似计算求某个量的改变量，解决这类问题的关键是选择合适的函数关系，正确选取及，切莫用中学数学方法求问题的准确值，否则是不符合题意的.