最新压电铁电物理-王春雷yd0911PPT课件.ppt

压电铁电物理压电铁电物理-王春雷王春雷2一般情况下的压电方程组一般情况下的压电方程组 在上节中以在上节中以z z切割的钛酸钡晶片为例，分切割的钛酸钡晶片为例，分别讨论了压电方程组以及各常数之间的别讨论了压电方程组以及各常数之间的关系。下面将进一步给出一般情况下的关系。下面将进一步给出一般情况下的压电方程组以及各常数之间的关系。虽压电方程组以及各常数之间的关系。虽然一般情况下的压电方程组比较复杂，然一般情况下的压电方程组比较复杂，但是处理方法以及各常数之间的关系，但是处理方法以及各常数之间的关系，基本上与节中一致。所以这里只给出结基本上与节中一致。所以这里只给出结果，不作详细地重复讨论。果，不作详细地重复讨论。9压电方程组中各常数之间的关系压电方程组中各常数之间的关系 6161Xxmnmnni miixXmnmnnimiid eg h介电常数与压电常数之间的关系 11()()XxttEEttxXttDDttxxXXd ee ddc des eg hh ggc ghs 10压电方程组中各常数之间的关系压电方程组中各常数之间的关系 弹性常数与压电常数之间的关系 11()()EDttXXttDEttxxttEEDDssdggdddggccehh eeehhcscs31mmjmiEijDij31mmjmiDijE11各类压电常数之间的关系3611361136113611XEmimnniijmjnjxEmimnniijmjnjxDmimnniijmjnjxDmimnniijmjnjdgs eehc dgds hhec gEXExDXDxde sged chgh sdhg 12举例说明举例说明: :第一类压电方程组分量表达式第一类压电方程组分量表达式111112213314415516611121231321212222332442552661212223233131232333344355366131232333414124EEEEEEEEEEEEEEEEEEEExs Xs Xs Xs Xs Xs Xd Ed Ed Exs Xs Xs Xs Xs Xs Xd Ed Ed Exs Xs Xs Xs Xs Xs Xd Ed Ed Exs Xs2343444455466141242343515125235345455556615125235361612623634645656661612623631111122133144EEEEEEEEEEEEEEEEXs Xs Xs Xs Xd Ed Ed Exs Xs Xs Xs Xs Xs Xd Ed Ed Exs Xs Xs Xs Xs Xs Xd Ed Ed EDd Xd Xd Xd Xd15516611112213322112222332442552661212222333311322333344355366131232333XXXXXXXXXXd XEEEDd Xd Xd Xd Xd Xd XEEEDd Xd Xd Xd Xd Xd XEEE13可见压电方程组共包括九个方程式，前六个称为弹性方程，后三个称为介电方程。每个方程又包括九项，前六项与应力有关，后三项与电场强度有关。14第一类压电方程组的矩阵形式为：第一类压电方程组的矩阵形式为： 1111121314151621222233425263132333343536414243444454651552354555566162636465666EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEXxssssssXssssssXssssssXssssssXssssssXssssss11213121223321313233324142434351525356162636dddxdddExdddExdddExdddxddd弹性方程部分15第一类压电方程组的矩阵形式为：第一类压电方程组的矩阵形式为：121111213141516111213132212223242526122223243313233343536132333356XXXXXXXXXXXDddddddEXDddddddEXDddddddEXX介电方程部分16可见可见d dt t矩阵为六行三列，矩阵为六行三列，d d矩阵三行六列。矩阵三行六列。d dt t是是d d的转置矩阵（或称易位矩阵）。的转置矩阵（或称易位矩阵）。d d矩阵的行与列矩阵的行与列互换就成为互换就成为d dt t矩阵。其余三类压电方程组的情况矩阵。其余三类压电方程组的情况与（与（4-274-27）、（）、（4-284-28）和（）和（4-294-29）式类似，这里）式类似，这里不再一一列出。在压电晶体中，除去属于三斜晶不再一一列出。在压电晶体中，除去属于三斜晶系的压电晶体外，其它晶系的对称性较高，独立系的压电晶体外，其它晶系的对称性较高，独立的弹性常数、介电常数和压电常数随着对称性程的弹性常数、介电常数和压电常数随着对称性程度增高而相应减少，压电方程组也相对应简化。度增高而相应减少，压电方程组也相对应简化。 17几种典型晶体的压电方程组实用化晶体：石英:属32点群钛酸钡:属4mm点群 铌酸锂和钽酸锂:属3m点群压电陶瓷:可用m表示，与6mm点群相同18钛酸钡晶体的第一类方程组11311112132231121113333313133344154455154466660000000000000000000000000000000000000EEEEEEEEEEEExXdsssxXdsssxXdsssxXdsxXdsxXs123EEE12115111321511243313133333560000000000000000000XXXXXDdEXDdEXDdddEXX19分量形式为 111112213331321212221333233131132333333444415254451516666115511121541123311312333333EEEEEEEEEEEEXXXxs Xs Xs Xd Exs Xs Xs Xd Exs Xs Xs Xd Exs Xd Exs Xd Exs XDd XEDd XEDd Xd Xd XE20铌酸锂和钽酸锂的第一类方程组112231111213142221211131433131333441414445544146614111100000000000000002000022()EEEEEEEEEEEEEEEEEEExXddssssxXdssssxXsssxXsssxXssxXsss23113321531522000000200dEdEdEdd121152211132222215112433131333335600002000000000000XXXXXDddEXDdddEXDdddEXX 21分量形式为 11111221331442223132121222133144222313313113233333341411424441525445146151614511126221122()2EEEEEEEEEEEEEEEEEEExs Xs Xs Xs Xd Ed Exs Xs Xs Xs Xd Ed Exs Xs Xs Xd Exs Xs Xs Xd Exs Xs Xd Exs XssXd EDd155226111222122215411233113123333332XXXXd XEDd Xd Xd XEDd Xd Xd XE 22压电陶瓷的第一类方程组11311112132231121113333313133344154455154466111100000000000000000000000000000000000002()EEEEEEEEEEEEExXdsssxXdsssxXdsssxXdsxXdsxXss123EEE12115111321511243313133333560000000000000000000XXXXXDdEXDdEXDdddEXX23写成为分量为 111112213331321211121333133131132333333444415254451516111261155111215411233113123333332()EEEEEEEEEEEEEXXXxs Xs Xs Xd Exs Xs Xs Xd Exs Xs Xs Xd Exs Xd Exs Xd ExssXDd XEDd XEDd Xd Xd XE24几点注意几点注意 在这里，这四类压电方程组是作为根据实验结果而得到的，但是从热力学理论也可以严格地导出这四类压电方程组。在本章中讨论这四类压电方程组时，并没有考虑压电晶体与工作环境（例如空气）交换热量问题。因为压电体工作时机械能与电能之间转换过程是很快的，所以可以近似认为转换过程中与工作环境无热量交换。就是说压电方程组是在绝热过程绝热过程中建立的。 25关于单位问题。关于单位问题。压电方程组中各物理量的单位，在实际应用中，压电方程组中各物理量的单位，在实际应用中，常用常用MKSMKS单位制，因此这里中也采用单位制，因此这里中也采用MKSMKS单位制。单位制。参考资料中也有采用参考资料中也有采用CGSCGS单位制的。为了便于单位制的。为了便于换算，在表换算，在表4-64-6中给出了中给出了MKSMKS单位制与单位制与CGSCGS单位单位制之间的换算因子。制之间的换算因子。26压电方程组是分析讨论压电元件性能的根据，压电方程组是分析讨论压电元件性能的根据，在大多数情况下，是从第一类压电方程组出发，在大多数情况下，是从第一类压电方程组出发，其次是第三类方程组。至于第二类和第四类压其次是第三类方程组。至于第二类和第四类压电方程组，往往只在某一个方向的应变分量远电方程组，往往只在某一个方向的应变分量远大于其它应变分量的情况下，才被选用（例如，大于其它应变分量的情况下，才被选用（例如，在细长杆压电元件以及利用厚度振动模的压电在细长杆压电元件以及利用厚度振动模的压电元件中，有时就选用第二类和第四类压电方程元件中，有时就选用第二类和第四类压电方程组）。组）。27 机电耦合系数机电耦合系数 前面已经引入了介电常数、弹性常数和压电常数来描写材料材料的压电性质，但是在实际应用上，还使用另一个衡量元件元件压电性质好坏的重要物理量机电耦合系数机电耦合系数（也称压电耦合因子）。例如，压电滤波器的频率宽度、压电变压器的升压比等等都直接与机电耦合系数有关。 Electro-mechanical coupling factorElectro-mechanical coupling 28所谓所谓“机电耦合系数机电耦合系数”就是指压电材料中与压电效就是指压电材料中与压电效应相联系的相互作用强度（也称压电能密度）与弹应相联系的相互作用强度（也称压电能密度）与弹性能密度和介电能密度的几何平均值之比。用数学性能密度和介电能密度的几何平均值之比。用数学式表示为式表示为: :MUkUUIE（4-37） 机电耦合系数机电耦合系数29式中k代表机电耦合系数，UI为相互作用能密度，UM为弹性能密度，UE为介电能密度， 为弹性能密度和介电能密度的几何平均值。 UUMEMUkUUIE30因为压电常数、弹性常数、介电常数和机电因为压电常数、弹性常数、介电常数和机电耦合系数都是描写材料压电性能的物理量，耦合系数都是描写材料压电性能的物理量，因此机电耦合系数与这些常数之间存在一定因此机电耦合系数与这些常数之间存在一定的关系。这个关系可通过压电材料的内能以的关系。这个关系可通过压电材料的内能以及机电耦合系数的定义（及机电耦合系数的定义（4-374-37）式而导出。）式而导出。31压电晶体的内能与应力、应变、电位移和电场强压电晶体的内能与应力、应变、电位移和电场强度之间的一般关系为度之间的一般关系为: :63111122iimmimUx XD E式中式中U U为压电晶体的内能。为压电晶体的内能。（4-384-38）32如果要得到某个压电晶体的内能表达式，将该晶如果要得到某个压电晶体的内能表达式，将该晶体的压电方程组代入到内能表达式（体的压电方程组代入到内能表达式（4-384-38）后，）后，即可得到体系的内能即可得到体系的内能U U。实际上常用的压电元件都。实际上常用的压电元件都是采用沿晶体的某个方向切下的晶片，例如薄长是采用沿晶体的某个方向切下的晶片，例如薄长条片、薄圆片或细长杆等都具有较简单的形状，条片、薄圆片或细长杆等都具有较简单的形状，这样的压电元件的内能表示式也比较简单。这样的压电元件的内能表示式也比较简单。 33求出内能表示式后，再代入到机电耦合系数表达求出内能表示式后，再代入到机电耦合系数表达式（式（4-374-37），即得到相应的机电耦合系数），即得到相应的机电耦合系数k k。举例如下：举例如下：薄长条片的机电耦合系数薄长条片的机电耦合系数; ; 细长杆的机电耦合系数细长杆的机电耦合系数; ; 平面机电耦合系数平面机电耦合系数; ; 厚度切变机电耦合系数厚度切变机电耦合系数; ; 34薄长条片的机电耦合系数薄长条片的机电耦合系数 设为设为z z切割晶片，如图切割晶片，如图4-174-17所示，若晶片受到沿所示，若晶片受到沿x x方向的应力方向的应力X X1 1与沿与沿z z 方向的电场强度方向的电场强度E E3 3 的作用，的作用，其它其它X X2 2、X X3 3、X X4 4、X X5 5、X X6 6、E E1 1、E E2 2皆等于零，在此皆等于零，在此情况下，晶片的内能表示式为：情况下，晶片的内能表示式为： 11331122Ux XD E35图图4-17 4-17 薄长条片压电晶片示意图薄长条片压电晶片示意图36选选X X、E E为自变量，则晶体的第一类压电方程组为，为自变量，则晶体的第一类压电方程组为，11113133311333EXxs Xd EDd XE63111122iimmimUx XD E37式中：式中：s sE E1111X X1 12 2/2/2为晶片的弹性能密度为晶片的弹性能密度U UM M； X X3333E E3 32 2/2/2为晶片的介电能密度为晶片的介电能密度U UE E；d d3131E E3 3X X1 1/2/2为与压电效应有为与压电效应有关的相互作用能密度关的相互作用能密度U UI I。 1113131311333322111333313111()()221112()222EXEXUs Xd EXd XE Es XEd E X将上式代入（将上式代入（4-394-39）式得到晶片的内能表示式为：）式得到晶片的内能表示式为：11113133311333EXxs Xd EDd XE63111122iimmimUx XD E38将这些结果代入到（将这些结果代入到（4-374-37）式即得晶片的机电耦合）式即得晶片的机电耦合系数系数k k为：为：313131221113331211()()22EXd E Xks XE313111 33EXdks即：即：MUkUUIE2211133331311112()222EXUs XEd E X与元件的形状有关！与元件的形状有关！39式中机电耦合系数式中机电耦合系数k k3131的前一个下标代表电场的方的前一个下标代表电场的方向是沿向是沿z z 轴方向，后一个下足标代表晶片是轴方向，后一个下足标代表晶片是x x方方向的伸缩振动。从（向的伸缩振动。从（4-404-40）式可以看出长条晶片）式可以看出长条晶片的机电耦合系数的机电耦合系数k k3131与压电常数与压电常数d d3131成正比；与短路成正比；与短路弹性柔顺常数弹性柔顺常数s sE E1111和自由介电常数和自由介电常数 X X3333的乘积的平的乘积的平方根成反比方根成反比 。40k k3131的数值举例的数值举例钛酸钡晶片：钛酸钡晶片：d d3131=-34.5=-34.5 1010-12-12 库仑库仑/ /牛顿牛顿s sE E1111 =8.05 =8.05 1010-12 -12 米米2 2/ /牛顿牛顿 X X3333 =168 =168 8.858.85 1010-12 -12 法拉法拉/ /米米故有：故有：k k3131=0.317=41k k3131的数值举例的数值举例PZT-4PZT-4压电陶瓷压电陶瓷d d3131 =-123 =-123 1010-12-12 库仑库仑/ /牛顿牛顿s sE E1111 =12.3 =12.3 1010-12-12 米米2 2/ /牛顿牛顿 X X3333 =1300 =1300 8.858.85 1010-12 -12 法拉法拉/ /米米故有：故有：k k3131=0.327=42钛酸钡陶瓷钛酸钡陶瓷d d3131 =-78 =-78 1010-12-12 库仑库仑/ /牛顿牛顿s sE E1111 =9.1 =9.1 1010-12-12 米米2 2/ /牛顿牛顿 X X3333 =1700 =1700 8.858.85 1010-12-12 法拉法拉/ /米米故有：故有：k k3131=0.212=0.212计算时已将计算时已将d d3131中的负号省去中的负号省去 43细长杆的机电耦合系数细长杆的机电耦合系数设细长杆的长度方向与设细长杆的长度方向与z z轴平行，电极面与轴平行，电极面与z z轴轴垂直。若杆只受到沿垂直。若杆只受到沿z z轴方向的应力轴方向的应力X X3 3以及电场以及电场E E3 3的作用，在此情况下，杆的内能表示式为：的作用，在此情况下，杆的内能表示式为：33331122Ux XD E44图图4-18 4-18 细长杆压电振子示意图细长杆压电振子示意图选选T T、E E为自变量，杆的第一为自变量，杆的第一类压电方程组为类压电方程组为33333333333333EXxs Xd EDd XE45代入到（代入到（4-414-41）式得到杆的内能为：）式得到杆的内能为：2233333333331112()222EXUs XEd E X22333333333311,2212EXUs XUEUd E XMEI故得：故得：46可见电场与形变都沿可见电场与形变都沿z z方向的细长杆的机电耦合方向的细长杆的机电耦合系数与系数与d d3333成正比，与成正比，与s sE E3333 X X3333的根方成反比。的根方成反比。33333333EXdks再代入到（再代入到（4-374-37）式，即得细长杆的机电耦合系）式，即得细长杆的机电耦合系数为，数为，47k k3333的数值举例的数值举例钛酸钡晶片：钛酸钡晶片：d d3333=86.5=86.5 1010-12-12 库仑库仑/ /牛顿牛顿s sE E3333 =15.7 =15.7 1010-12-12 米米2 2/ /牛顿牛顿 X X3333 =168 =168 8.858.85 1010-12-12 法拉法拉/ /米米故得：故得：k k3333=0.565=48PZT-4PZT-4压电陶瓷压电陶瓷d d3333=289=289 1010-12-12 库仑库仑/ /牛顿牛顿s sE E 3333=15.5=15.5 1010-12-12 米米2 2/ /牛顿牛顿 X X3333 =1300 =1300 8.858.85 1010-12-12 法拉法拉/ /米米故得：故得：k k3333=0.70=49钛酸钡陶瓷钛酸钡陶瓷d d3333=190=190 1010-12-12 库仑库仑/ /牛顿牛顿s sE E3333 =9.51 =9.51 1010-12-12 米米2 2/ /牛顿牛顿 X X3333 =1700 =1700 8.858.85 1010-12-12 法拉法拉/ /米米故得：故得：k k3333=0.50=50平面机电耦合系数平面机电耦合系数设所研究的晶片为设所研究的晶片为z z 切割的薄圆片，并有切割的薄圆片，并有s sE E1111=s=sE E2222，d d3131=d=d3232，电极面与，电极面与z z轴垂直，晶片只受轴垂直，晶片只受到应力到应力X X1 1与与X X2 2以及电场以及电场E E3 3的作用。在此情况下，的作用。在此情况下，选选X X、E E为自变量，则第一类压电方程组为：为自变量，则第一类压电方程组为：111112231321211123133311312333EEEEXxs Xs Xd Exs Xs Xd EDd Xd XE51图图4-19 4-19 薄圆片压电振子示意图薄圆片压电振子示意图52考虑到薄圆片存在考虑到薄圆片存在s sE E1111=s=sE E2222，d d3131=d=d3232等对称性，等对称性，因而有因而有X X1 1=X=X2 2=X=Xp p，并引入平面应变，并引入平面应变x xp p=x=x1 1+x+x2 2，平，平面压电常数面压电常数d dp p=2d=2d3131，平面弹性柔顺常数，平面弹性柔顺常数s sE Ep p=2=2（s sE E1111+s+sE E2222），利用这些关系，压电方程组可），利用这些关系，压电方程组可简化为：简化为：1211123133313332()22EEpXpxxssXd EDd XE53即：即：33333EppppXppxs Xd EDd XE1211123133313332()22EEpXpxxssXd EDd XEX1=X2=Xp，xp=x1+x2，dp=2d31，sEp=2（sE11+sE22）54又薄片的内能表示式为：又薄片的内能表示式为：112233123311122211()22pUx Xx XD Exx XD E331122ppUx XD E即：即：55将（将（4-434-43）式代入（）式代入（4-444-44）式可得）式可得2233331112()222EXppppUs XEd E X22333311,2212EXppppUs XUEUd E XMEI式中：式中：56再代入到（再代入到（4-374-37）式，即得薄圆片的机电耦合系）式，即得薄圆片的机电耦合系数为：数为：33122333331211 3311313111 3322(1)2211ppppEXEXEEXpppEEXd E Xddks XE57式中式中k kp p称为称为平面机电耦合系数平面机电耦合系数， =-s=-sE E1212/s/sE E1111称为称为泊松比，可见平面机电耦合系数泊松比，可见平面机电耦合系数k kp p k k3131。应该。应该注意，因为导出（注意，因为导出（4-454-45）式时曾用到）式时曾用到s sE E1111=s=sE E2222，d d3131=d=d3232等对称性关系，所以（等对称性关系，所以（4-454-45）式规定的平）式规定的平面机电耦合系数适用范围为：属于四方晶系中的面机电耦合系数适用范围为：属于四方晶系中的4 4、4mm4mm点群，三方晶系中的点群，三方晶系中的3 3、3m3m点群，六方晶点群，六方晶系中的系中的6 6、6mm6mm点群等晶体以及压电陶瓷。点群等晶体以及压电陶瓷。 58k kp p 的数值举例的数值举例钛酸钡晶体的钛酸钡晶体的k kp p值：值： =-s=-sE E1212/s/sE E1111=2.35=2.35 1010-12-12/8.08/8.08 1010-12-12= 0.292= 0.292k k3131=0.317=0.317故得：故得：k kp p =0.529 =59PZT-4PZT-4压电陶瓷的压电陶瓷的k kp p值：值： =4.05=4.05 1010-12-12/12.3/12.3 1010-12-12=0.33=0.33k k3131=0.327=0.327故：故：k kp p =0.562 =60钛酸钡陶瓷的钛酸钡陶瓷的k kp p值值 =2.7=2.7 1010-12-12/9.1/9.1 1010-12-12=0.296=0.296k k3131=0.212=0.212故有：故有：k kp p =0.358 =61厚度切变机电耦合系数厚度切变机电耦合系数设有压电常数设有压电常数d d1515 0 0的的x x切割的晶片，电极面切割的晶片，电极面与与x x轴垂直，若此晶片只受到切应力轴垂直，若此晶片只受到切应力X X5 5以及电以及电场强度场强度E E1 1的作用。在此情况下选的作用。在此情况下选X X5 5、E E1 1为自为自变量，第一类压电方程组为：变量，第一类压电方程组为：55551511155111EXxs Xd EDd XE62厚度切变压电振子示意图厚度切变压电振子示意图图图4-204-63晶片内能为晶片内能为: :551122555111151511221112()2222EXUx XD Es XEd E XUUUMEI64代入到（代入到（4-374-37）式，即得晶片的机电耦合系）式，即得晶片的机电耦合系数为数为: :151555 11EX65对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的晶体，对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的晶体，具有具有d d1515 0 0的压电晶体以及压电陶瓷（的压电晶体以及压电陶瓷（z z轴为极轴为极化轴）都存在化轴）都存在s sE E5555=s=sE E4444，故（，故（4-464-46）式可改写）式可改写为为151544 11EX66对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的大多对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的大多数晶体以及压电陶瓷，除了数晶体以及压电陶瓷，除了s sE E5555=s=sE E4444外，还存外，还存在在d d1414=d=d1515关系。于是可得到切变机电耦合系数关系。于是可得到切变机电耦合系数k k1414为：为：15141555 11EX67可见切变机电耦合系数可见切变机电耦合系数k k1515和和k k1414与与d d1515成正比，成正比，与与s sE E5555 X X1111平方跟成反比。平方跟成反比。k k1515和和k k1414的数值举例，钛酸钡晶体：的数值举例，钛酸钡晶体：d d1515=392=392 1010-12-12 库仑库仑/ /牛顿牛顿s sE E5555 =18.4 =18.4 1010-12-12 米米2 2/ /牛顿牛顿 X X1111 =2920 =2920 8.858.85 1010-12-12 法拉法拉/ /米米故得故得k k1515= k= k1414=0.568=68小结小结一般情况下的四类压电方程组，矩阵形一般情况下的四类压电方程组，矩阵形式和分量形式，参量之间的关系；式和分量形式，参量之间的关系； 机电耦合因子：定义，如何求得；薄长机电耦合因子：定义，如何求得；薄长条片的机电耦合系数，细长杆的机电耦条片的机电耦合系数，细长杆的机电耦合系数，平面机电耦合系数，厚度切变合系数，平面机电耦合系数，厚度切变机电耦合系数机电耦合系数。69 结束语结束语