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反常积分初步反常积分初步1. 定义定义定义定义6.2.),)()316(d)(,)()(),)(上上的的无无穷穷限限积积分分在在无无穷穷区区间间为为符符号号上上可可积积，则则称称在在，且且对对任任意意实实数数上上有有定定义义，在在区区间间设设函函数数 axfxxfbaxfabbaxfa一、无穷限积分.d)(莱布尼茨公式莱布尼茨公式的牛顿的牛顿的计算也有类似的计算也有类似关于无穷限积分关于无穷限积分 axxf性质性质 6.9)356()()()(d)()(lim)()(lim),)()( aFFxFxxfxFFxFaxfxFaaxx，则则存存在在，记记且且上上的的原原函函数数，在在是是设设而且定积分的换元法在无穷限积分中也成立而且定积分的换元法在无穷限积分中也成立 .例例 2讨论下列无穷限积分的敛散性讨论下列无穷限积分的敛散性 .;de)1(0 xxx;d)2(1 pxx;de1e)3(2 xxx.d)4(12 xxx解解由分部积分公式可得由分部积分公式可得)1( 00dedexxxxx 00deexxxx 0ex1 xxxxx elime0其其中中要注意，不能出现如下运算要注意，不能出现如下运算 ee0 xx.0elim xxx0 时时，当当1)2( p 11lnd1xxx ，时时当当1 p 1111d1pxxxpp 1111ppp，时发散，时发散，在在故故1d11 pxxp.111 pp时收敛于时收敛于在在由于由于)3( xxxxx22e1dede1e，则，则令令xte 0221de1dettxx 0arctant2 由于由于)4( 112)1(ddxxxxxxxxxd1111 11lnxx2ln 2 . 无穷限积分敛散性的判别无穷限积分敛散性的判别为为保保号号函函数数)()1(xf引论引论存存在在，且且界界，则则极极限限下下上上，且且有有减减上上单单调调递递增增在在区区间间若若Axfaxfx )(lim)()(),)(),)()( axAxfAxf， 定理定理 6.6)()(0,)()()(xgxfxbaxgxf 时，时，上可积，且上可积，且间间在任意有限区在任意有限区，若若比较判别法比较判别法.d)(d)(发发散散发发散散时时，当当 aaxxgxxf；收收敛敛收收敛敛时时，那那么么当当 aaxxfxxgd)(d)(证明证明时时，由由于于 x)()(0 xgxf 时时，使使得得因因此此存存在在), MxaM)()(0 xgxf 具有相同的敛散性，具有相同的敛散性，与与注意到注意到 Maxxfxxfd)(d)(.”来证明定理的结论”来证明定理的结论因此对积分限为“因此对积分限为“ M的的单单增增函函数数，是是，由由于于bxxgxxfbMbM d)(d)(收敛时，由引理可知收敛时，由引理可知当当 Mxxgd)( bMxxfbFd)()( bMxxgd)( Mxxgd)(从而再次由引理知道极限从而再次由引理知道极限 MbxxfbFd)()(lim收收敛敛；存存在在，故故 Mxxfd)(必发散，必发散，发散时，发散时，当当 MMxxgxxfd)(d)(收敛，收敛，若不然由刚才所证可得若不然由刚才所证可得 Mxxfd)(.产生矛盾产生矛盾定理定理 6.7lxgxfbaxgxfx )()(lim,)()()(上上可可积积，若若有有限限区区间间为为非非负负函函数数，且且在在任任何何，设设比比较较判判别别法法的的极极限限形形式式那么有如下结论成立那么有如下结论成立 ：；相相同同的的敛敛散散性性有有与与时时，积积分分当当 aaxxgxxfld)(d)(0)1(；收收敛敛收收敛敛，则则时时，若若当当 aaxxfxxgld)(d)(0)2(.d)(d)()3(发散发散发散，则发散，则时，若时，若当当 aaxxfxxgl 定理定理 6.8lxfxbaxfaxxfpx )(lim,)(),0)()(上上可可积积，如如果果在在任任意意有有限限区区间间，且且，设设柯柯西西判判别别法法则有下列结论成立则有下列结论成立 ：收收敛敛；，则则时时，若若当当 axxfpld)(10)1(.d)(10)2(发发散散，则则时时，若若当当 axxfpl例例3 3判别下列无穷限积分的敛散性判别下列无穷限积分的敛散性 ：;de)1(02 xx.dln1)2(2 xx解解具具有有相相同同的的敛敛散散性性，与与由由于于 10dede)1(22xxxx 11edexxxe1 收敛，收敛，知道知道故由定理故由定理 1de5 . 62xx，时时，且且xxx 21，从从而而xx ee2.de02收敛收敛因此因此 xx由于由于)2( xxxlnlim，发发散散且且 2d1xx.dln17 . 62发发散散知知道道从从而而由由定定理理 xx(2) 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定义定义 6.5；绝对收敛绝对收敛收敛，则称无穷限积分收敛，则称无穷限积分且无穷限积分且无穷限积分上可积，上可积，在任何有限区间在任何有限区间若函数若函数 aaxxfxxfbaxfd)(d)(,)(绝绝对对收收敛敛；收收敛敛，则则称称无无穷穷限限积积分分若若 ccxxfxxfd)(d)(.d)(d)(绝对收敛绝对收敛收敛，则称无穷限积分收敛，则称无穷限积分若若 xxfxxf定义定义 6.6件件收收敛敛；条条发发散散，则则称称无无穷穷限限积积分分无无穷穷限限积积分分收收敛敛无无穷穷限限积积分分且且上上可可积积在在任任何何有有限限区区间间若若函函数数 aaaxxfxxfxxfbaxfd)(d)(,d)(,)(.)d(d)(d)(d)()d(d)(条条件件收收敛敛）（发发散散，则则称称）（）收收敛敛，（若若 cccxxfxxfxxfxxfxxfxxf.)d(,)d(d)(,)d(,)d(d)(一一定定收收敛敛那那么么绝绝对对收收敛敛若若 xxfxxfxxfxxfxxfxxfcaca结论结论例例 4判别下列无穷限积分的敛散性判别下列无穷限积分的敛散性 ：;dsin)1(1 xxx. )0(dsine)2(1 xxxxp解解，有有对对任任何何1)1( b bbxxxxx11dcos1dsinxxxxxbbdcoscos121 bxxxbb12dcoscos1cos.0coslim bbb注注意意到到.dcosdsin121同同时时收收敛敛或或者者同同时时发发散散与与因因此此 xxxxxx,dcos12中中在在 xxx,1cos22xxx 1212dcosd1绝对收敛，绝对收敛，收敛知道收敛知道由由xxxxx收收敛敛，收收敛敛，从从而而 112dsindcosxxxxxx收收敛敛，同同理理可可得得 1d2cosxxxxxxx2sinsin xx22cos1 0 另外另外收敛，收敛，发散，发散，由于由于 11d22cosd21xxxxx发发散散，因因此此 1d22cos1xxx发发散散，知知道道根根据据定定理理 1dsin6 . 6xxx.dsin1条件收敛条件收敛从而从而 xxx(2) 由于由于xpxpxxx esine0elim21 xpxx ，时时，从从而而xxpxpxxx 2121ee1e 收收敛敛，的的收收敛敛性性知知由由 1121dsinedexxxxxpx .dsine1绝绝对对收收敛敛即即 xxxxp 1 . 定义定义定义定义 6.7收敛，收敛，存在，则称瑕积分存在，则称瑕积分若极限若极限上的瑕积分上的瑕积分在在为为称称的瑕点，的瑕点，为为时无界，则称时无界，则称在在但但上可积，上可积，在在，对任意对任意上有定义，并且上有定义，并且在区间在区间设函数设函数 bababaxxfxxfbaxfxxfxfaaxxfbaxfabbaxfd)(d)(lim.,()(d)()()(,)()0(0,()(0 即即并以此极限值为其值，并以此极限值为其值，)366(d)(limd)(0 babaxxfxxf 二、瑕积分.d)(发散发散积分积分若极限不存在，则称瑕若极限不存在，则称瑕 baxxf的收敛性：的收敛性：可以类似地定义瑕积分可以类似地定义瑕积分时无界，时无界，在在为瑕点时，即函数为瑕点时，即函数当当 baxxfbxxfbd)()()376(d)(limd)(d)(d)(lim00 babababaxxfxxfxxfxxf即即且定义其值为极限值，且定义其值为极限值，敛，敛，收收存在，称瑕积分存在，称瑕积分若若.d)(d)(lim0发散发散不存在，则称瑕积分不存在，则称瑕积分若极限若极限 babaxxfxxf ，时无界时无界当当cx bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)()386(d)(limd)(lim00 bccaxxfxxf .d)(发发散散否否则则称称瑕瑕积积分分 baxxf，内内部部一一点点在在一一般般地地，如如果果cbaxf),()(,bca 即即收收敛敛，且且收收敛敛时时，称称瑕瑕积积分分皆皆与与那那么么规规定定两两个个瑕瑕积积分分 babccaxxfxxfxxfd)(d)(d)(例例 5讨论下列瑕积分的敛散性：讨论下列瑕积分的敛散性：;d)1(1)2(20 32 xx;dln)1(10 xxx.d)(1)3( bapxax解解. )1 , 0(0)1( 是是瑕瑕点点，对对任任意意x 11dln2dln xxxxx 11d1ln2 xxxx)2ln(21 x 44ln2 ，由由洛洛必必达达法法则则得得0lnlim0 ，则则4dlnlim10 xxx.4dln10 收收敛敛于于即即瑕瑕积积分分xxx是是瑕瑕点点，1)2( x 10301032013limd)1(1limxxx)1(lim330 3 ；收收敛敛于于因因此此瑕瑕积积分分3d)1(110 32 xx，收收敛敛于于同同样样可可求求得得瑕瑕积积分分3d)1(121 32 xx，先先考考虑虑瑕瑕积积分分 10 32d)1(1xx.6d)1(120 32 收敛于收敛于因此瑕积分因此瑕积分xx是瑕点，是瑕点，ax )3(babaaxxax lnd1 ln)ln( ab时，时，1 pbapbappaxxax 1)(d)(11 1,1)(1,1ppabpp时时，对对任任何何1),0( pab )(1111ppabp 因此因此 bapbapxaxxax d)(1limd)(10时时发发散散；当当即即瑕瑕积积分分1d)(1 pxaxbap.1)(11pabpp 时时收收敛敛于于当当例例 6 判断下列瑕积分的敛散性：判断下列瑕积分的敛散性：;d1)1(022 axxa.d1)2(11 xx解解是是瑕瑕点点，ax )1( 20022dcoscosd1xtataxxaa 20dt,2 .2d1022收收敛敛于于即即瑕瑕积积分分 axxa，则则令令taxsin 是瑕点，是瑕点，0)2( x，与与分分别别考考虑虑瑕瑕积积分分 1001d1d1xxxx.d1)3(511发散发散的结论知的结论知由例由例 xx注意注意 以下计算是错误的：以下计算是错误的：1111lnd1 xxx, 0 .0ln1点点不不连连续续在在的的原原函函数数这这是是因因为为 xxx2 . 瑕积分敛散性的判别瑕积分敛散性的判别定理定理 6.9上上可可积积，间间在在任任何何区区，设设函函数数比比较较判判别别法法), 0(,)()()(abbaxgxf )(lim,)(limxgxfaxax时时，且且,(bax )()(0 xgxf 那么有下列结论成立：那么有下列结论成立：收收敛敛；收收敛敛，则则瑕瑕积积分分若若瑕瑕积积分分 babaxxfxxgd)(d)(.d)(d)(发散发散发散，则瑕积分发散，则瑕积分若瑕积分若瑕积分 babaxxgxxf定理定理 6.10,), 0(,()()()(上可积上可积，何区间何区间上为非负函数，且在任上为非负函数，且在任在在，设设比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式abbabaxgxf lxgxfxgxfaxaxax )()(lim,)(lim,)(lim那么有下列结论成立：那么有下列结论成立：；敛敛散散性性具具有有相相同同的的与与时时，当当 babaxxgxxfld)(d)(0；收收敛敛收收敛敛，则则时时，若若当当 babaxxfxxgld)(d)(0.d)(d)(发发散散发发散散，则则时时，若若当当 babaxxfxxgl.)(1)(时时，则则有有下下面面的的判判别别法法当当取取paxxg 定理定理 6.11上上可可积积，且且，在在任任何何区区间间设设柯柯西西判判别别法法), 0(,)()(abbaxf lxfaxxfpaxax )()(lim,)(lim那么那么收收敛敛；，则则时时，若若当当 baxxfpld)(10.d)(10发散发散，则，则时，若时，若当当 baxxfpl例例 7判别下列瑕积分的敛散性：判别下列瑕积分的敛散性：;d)1ln()1(10 xxxp.d)1()2(10 xxxqp解解时时，当当0)1( p可能是瑕点，可能是瑕点，0 x,0 时时注注意意到到 x,1)1ln(,)1ln(1 ppxxxxx时时收收敛敛，时时发发散散，当当当当由由1111d1101 ppxxp.22d)1ln(10时发散时发散时收敛，当时收敛，当当当可知可知 ppxxxp都是瑕点，都是瑕点，与与时，时，当当1000)2( xxqp是瑕点，是瑕点，时，时，当当00 xppqpxxx)1( 210210d1dxxxxpp而而.d)1(d)1(121210 xxxxxxqpqp与与因因此此分分别别考考虑虑中，中，在在 210d)1(xxxqp时，时，且且 0 x.1,1d)1(210时发散时发散当当时收敛时收敛当当因此因此 ppxxxqp时时发发散散，当当时时收收敛敛，当当11 pp.11d)1(121时时发发散散时时收收敛敛，当当当当同同理理可可得得 qqxxxqp.11d)1(10其其余余情情况况皆皆发发散散时时收收敛敛，且且当当因因此此 qpxxxqp例例 8.de01的的敛敛散散性性讨讨论论反反常常积积分分 xxx 解解瑕瑕点点，时时，当当01 x ,dedede1110101 xxxxxxxxx ，又有无穷限积分，又有无穷限积分瑕积分瑕积分中既有中既有这时这时时，时，中，中，在在 0de101xxxx 11e xxx时时发发散散，时时收收敛敛，当当当当由由于于1111d1d101101 xxxx知道它是收敛的；知道它是收敛的；，由例，由例对于对于)2(4de11 xxx 收收敛敛，时时因因此此当当 01de0 xxx .de001发散发散时时当当 xxx B函函数数 .1函数，记为函数，记为的函数称为的函数称为为参变量为参变量作作称为参变量称为参变量其中其中反常积分反常积分 )(de01xxx)396(de)(01 xxx 性质性质6.10满足下列关系：满足下列关系：)( ; )()1()1( ;1)1()2( . )(!)1()3(为为自自然然数数nnn 三、 函数与 函数证明证明 由分部积分公式可得由分部积分公式可得 0de)1(xxx 0dexx 010deexxxxx )( 0de)1(xx 0ex1 ，则则中中取取在在n )()1()()1(nnn )1()1( nnn)1(12)1( nn!n 函数函数B.2函函数数，记记为为函函数数就就称称为为的的，作作为为参参变变量量反反常常积积分分Bd)1(1011qpxxxqp )406(d)1(),(B1011 xxxqpqp性质性质 6.11 B 函数满足下列条件：函数满足下列条件：;),(B),(B)1(pqqp ;), 1(B1)1, 1(B)2(qpqpqqp .)()()(),(B)3(qpqpqp 证明证明，则则中中令令在在tx 1)406( 1011d)1(),(Bxxxqpqp 1011d)1(tttpq),(Bpq 10d)1()1, 1(Bxxxqpqp 101)d(1)1(xxxxqp 1011101d)1(d)1(xxxxxxqpqp 1011d)1(), 1(Bxxxqpqp得得中利用分部积分公式可中利用分部积分公式可在在 1011d)1(xxxqp 1011011)1(d1d)1(qpqpxxqxxx 10101d)1(1)1(1xxxqpxxqqpqp)1, 1(B1 qpqp因此因此)1, 1(B1), 1(B)1, 1(B qpqpqpqp求得求得)., 1(B1)1, 1(Bqpqpqqp 例例 9；，求求 2121,21B)1(.de)2(02 xx求求解解(1) 由于由于 102d121,21Bxxx是是瑕瑕点点，由由配配方方法法可可得得，其其中中10 xx 102102d)12(112d1xxxxx，有有再再令令12 xt 102d11tt2 因此因此21,21 B可可知知由由性性质质)3(11. 6 112102d1121d)12(11ttxx.21,2121 B 对无限区间上的积分称为无穷限积分，对无界函对无限区间上的积分称为无穷限积分，对无界函数的积分称为瑕积分，统称为数的积分称为瑕积分，统称为反常积分反常积分 .，则则中中令令在在20de)2(2xtxx 00de121de2ttxtx 2121.2