2022年高中基本不等式 .pdf
精品资料欢迎下载第 44 课基本不等式考试目标主词填空1若 a,bR,则 a2+b22ab,当且仅当a=b 时取等号 .2设 a,bR+ ,则称2ba为 a,b 的算术平均值；称ab为 a,b 的几何平均值. 32baab(当且仅当a=b 时取等号 )为原形 . 变形有 :a+bab2；ab22ba,当且仅当a=b 时取等号 .4利用平均值不等式求最大最小值，是对“能取等号”而言的.要注意不能取等号的情况. 5如果 a,bR+ ,ab=P(定值 ),当且仅当a=b 时 ,a+b 有最小值P2;如果 a,bR+ ,且 a+b=S(定值 ),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S. 题型示例点津归纳【例 1】设 x 2,5),求下列函数的最值.(1)y=(3+2x)(6-x); (2)y=(3+2x)(4-x);(3)y=4x-92x+1+80;(4)y=6722xx.【解前点津】(1)因 3+2x=12-2x 时,x=49 2,5,故可直接应用平均值不等式; (2)因 3+2x=8-2x 时 ,x=45但452,5故不能使用平均值不等式; (3)可分解为y=(2x-8)(2x-10); (4)因方程61622xx无根 ,故不能使用平均值不等式，而考虑其“单调性”. 【规范解答】(1)y=(3+2x)(6-x)=21(3+2x) (12-2x) 2141(3+2x)+(12-2 x)2=8225,当且仅当3+2x=12-2x,即 x=49时,ymax=8225, 又 x=2 时,y=28;x=5 时,y=130,应确定为圆形地皮.【解后归纳】在一切封闭平面图形中，若周长一定，则只有圆的面积最大.【例 3】若正数 a、b 满足 aba+b +3,试求 a+b 的取值范围 . 【解前点津】设 a+b=x ,利用平均值不等式，可推导出一个关于x 的不等式 . 【规范解答】设 a+b=x ,则 x0,abx+3,又 ab22ba=42x，故由不等式的传递性得42xx+3,解之 x6,故 a+b 的取值范围是6,+ .【解后归纳】求某表达式的取值范围，常可使用“换元法”，从而达到等价转化的目的. 【例 4】已知 :x、y、zR+,且满足 x+y+z =1,求zyx941的取值范围 . 【解前点津】不具备用平均值不等式的条件，但是x1+mx,mzzmyy9,4(m0),则可用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载等价变形，构造使用平均值不等式的条件可求范围.【规范解答】x+y+z=1,引入参数m0,mx+my+mz=mzyx941=(x1+mx)+( )9()4mzzmyy-m2m+4m+6m-m=12m-m. 当且仅当x1=mx 且y4=my 且z9=mz,即 x=,1m且 y=m2且 z=m3时取等号 .代入 x+y+z =1 得 : m1+m2+m3=1.解之 m=36. 12m-m=1236-36=36. 综上所述可知 :zyx941的取值范围是36,+). 【解后归纳】为了使用平均值不等式，可引入一个参数，构造一个含有参数的不等式，它能运用平均值不等式，使运算能进行下去，最后，依据相等的条件，可解出参数的值.对应训练分阶提升一、基础夯实1.已知 x,yR,且 2x2+y2-4x0,则( ) A.y24xB.y20,-bdac,bcad,以其中两个作条件，余下一个作结论，可以组成正确命题的个数是( )A. 0 B.1 C.2 D.3.对于 x 0,1的一切值，则a+2b0 是使 ax+b0 恒成立的( )A.充分不必要条件B.C.充要条件D.既不充分又不必要条件.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x,则有( )A.x=21(a+b) B.x21(a+b)C.x21(a+b) D.x21(a+b).若不等式x+2xya(x+y)对一切正数x,y 恒成立，则正数a 的最小值为( )A.1 B.2 C.212D.22+1.建造一个容积为8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为 180 元和 80 元，那么水池的最低总造价为( )元.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载A.1000 B.1500 C.2000 D.2500.设 x,y 是满足 2x+y=20 的正数 ,则 lgx+lg y 的最大值是( )A.50 B.2 C.1+lg5 D.1 8.已知正数a,b 满足 ab=a+b+5,则 ab 的取值范围是( )A.7+6,+) B.7-6,+) C.7+26,+) D. 7-26,+)二、思维激活9.点 P(x,y)是直线 x+3y-2=0 上的动点 ,则代数式3x+27y的最小值是. 10.如果 |x|4,则函数 f(x)=cos2x+sinx 的最大值是. 11.如果圆柱轴截面的周长L 的定值，则圆柱体积的最大值为. 12.某厂年产值第二年比第一年增长的百分率为P1，第三年比第二年增长的百分率为P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，若 P1+P2+P3为定值，则年平均增长率的百分率P 的最大值为. 三、能力提高13.已知 2b+ab+a=30(a0,b0),求 y=ab1的最小值 . 14.求函数 y=1)2)(5(xxx(x-1)的值域 . 15.已知 :ab0,求2223196babbaba的最小值 . 16.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位 )由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米时)的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米时 )的函数，并指出该函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载第 2 课 基本不等式习题解答1.D 因 2x24x-y2成立 ,故必有 4x-y2 0 即 y24x. 2.D 可逐一检验 . .B,x=0 时,b0,x=1 时,a+b0a+2b0. .B(1+x)2=(1+a)(1+b)(1+2ba)2. .B由 条 件 :2xy (a-1)x+ay恒 成 立 , 而 (a-1)x+ay 2xyaa) 1(, 令2xy=2xyaa) 1(,a(a-1)=2,a=2. .Cx m,总 造 价 为y 元 ,则 池 底 的 邻 边 之 长 为x4m,由 条 件得:y=180 xx4+802(2x+x8)=720+320( x+x4)720+3202xx4=2000. 7.Clgx+lgy=lgxy=lgx(20-2x)=lg2 x(10-x) lg22210 xx=lg50=1+lg5. 8.Cab=a+b+52ab+5,得(ab)2-2ab 5(ab-1)26ab7+26. 9.3x+27y=32-3y+33y2yy33233=6,故最小值为6. 10.f(x)=1-sin2x+sinx=1+sinx(1-sinx)1+(21)2=45.11. 因4R+2h=L为 定 值 , 故V柱= R2 h= (2R) (2R) (2h) 81833222hRR=8(3L)3=2161L3为所求最大值 . 12.由题意 :(1+P1)(1+P2)(1+P3)=(1+x)3,(1+x)3332113PPP, x31(P1+P2+P3),故 P 的最大值为31(P1+P2+P3). 13.2b+ab+a=30,30 ab+22ab,-52ab32,当且仅当a=2b 时,取等号,解方程组3022aabbba得 a=6 且 b=3ymin=181.14.x-1,x+10,令 m=x+1,则 m0 且 y=54) 1)(4(mmmmm 2mm4+5=9,当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载且仅当 m=2 时取等号 ,故 ymin=9. 又当 m时 ,y ,故原函数的值域是9,+). 15.ab0,a-b0,故)(196)(196)(196222223babababbabababbaba. 而 b(a-b)=2)(bab22bab=42a(当且仅当b=a-b 即 2b=a 时取等号 ). 故 b(a-b)有最大值42a.故原式 =a2+)(196baba2+24196a2224196aa=56. (当且仅当a2=24196a,2b=a,即 a=27,7 b时取等号 ). 故原式的最小值为56. 16.(1) 由 条 件 知 :汽 车 从 甲 地 匀 速 行 驶 到 乙 地 所 用 的 时 间 为s v,全 程 运 输 成 本 为y=avs+bv2vs=s(va+bv),故所求函数及定义域为:y=s(va+bv),v(0,c).(2)因 s、a、 b、v 都为正数，故有s(va+bv)2sab,当且仅当va=bv,即 v=ba时取等号. 若bac,则当 v=ba时,全程运输成本y 最小 ;若bac,当 v(0,c 时，有 s (va+bv)-s (ca+bc)=sacv11+b(v-c) =vcs (c-v) (a-bcv). 因为 c-v0 且 abc2,故 a-bcva-bc20. 所以 sbvvasbcca. 当且仅当v=c 时等号成立，也即v=c 时，全程运输成本y 最小 ;综上所述知：为使全程运输成本y 最小 ,当bac 时,行驶速度应为v=ba;当bac 时,行驶速度应为v=c. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
