2022年高中排列组合知识点汇总及典型例题 3.pdf

一基本原理1加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二 排列 ： 从 n 个 不同 元 素 中， 任 取m （ m n） 个元 素 ， 按照 一 定 的顺 序 排 成一.mnmnA有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1. 公式：1.!121mnnmnnnnAmn2.规定： 0!1(1)!(1)!,(1)!(1)!nnnnnn(2) !(1)1!(1)!(1)!nnnnnnnnn；(3)1 11111(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!nnnnnnnnn三组合：从 n 个不同元素中任取m （m n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式：CAAn nnmmnm nmnmnmmm11!10nC规定：组合数性质：.2nnnnnmnmnmnmnnmnCCCCCCCC21011，；11112111212211rrrrrrrrrrrrrrrrrrnnrrrnnrrnnnCCCCCCCCCCCCCCCLLL注：若12mm1212m =mm +mnnnCC则或四处理排列组合应用题 1.明确要完成的是一件什么事 （审题）有序还是无序分步还是分类。2解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：直接法；间接法：对有限制条件的问题， 先从总体考虑， 再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。（4）两种途径：元素分析法；位置分析法。3排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法. 即先安排好没有限制条件的元素， 然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。（5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列， 剩余的几个位置放定序的元素， 若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有 1 种排法；若不要求，则有 2 种排法；（6）“小团体”排列问题采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（8）数字问题（组成无重复数字的整数） 能被 2 整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2 整除的数的特征：末位数是奇数。能被 3 整除的数的特征：各位数字之和是3 的倍数；能被 9 整除的数的特征：各位数字之和是9 的倍数能被4 整除的数的特征：末两位是4的倍数。能被 5 整除的数的特征：末位数是0 或 5。能被 25 整除的数的特征：末两位数是25，50，75。能被 6 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数的偶数。4组合应用题：（ 1）. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2） “含”与“不含”用间接排除法或分类法 : 3分组问题：均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。4分配问题：定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。随机分配：（不指定到具体位置） 即不固定位置但固定人数， 先分组再排列， 先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。5隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题例 1. 电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和2 个不同的公益广告， 要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 例 3.6 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？例.有 4 个男生， 3 个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？1. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有2从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛 （1）如果 4 人中男生和女生各选2 人，有种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1 人在内，有种选法；（4）如果 4 人中必须既有男生又有女生，有种选法16 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4 人，则不同的乘车方法数为( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页A40 B50 C60 D70 2有 6 个座位连成一排，现有3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A36 种B48 种 C 72 种D96 种3只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有 ( ) A6 个B9 个 C18 个D36 个4男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有 ( ) A2 人或 3 人 B 3 人或 4 人 C3 人 D4 人5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10 级，上楼可以一步上一级， 也可以一步上两级， 若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则方法有 ( ) A45 种B36 种 C28 种D25 种6某公司招聘来8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( ) A24 种B36 种 C 38 种D108 种7已知集合A5 ，B1,2 ，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( ) 8由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 ( ) A72 B96 C108 D144 9如果在一周内 ( 周一至周日 )安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( ) A50 种B60 种 C 120 种D210种10安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天， 其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有_种(用数字作答 ) 11今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分， 将这 9 个球排成一列有 _种不同的排法 (用数字作答 ) 12将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页14. 将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12 种（B）18 种（C）36 种（D）54 种15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种解析：分两类：甲乙排1、2 号或 6、7 号 共有4414222AAA种方法甲乙排中间 , 丙排 7 号或不排 7 号，共有)(43313134422AAAAA种方法故共有 1008种不同的排法排列组合二项式定理1，分类计数原理完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法2，排列排列定义：从n 个不同元素中，任取m （m n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列数定义；从n 个不同元素中，任取m （m n）个元素的所有排列的个数mnA公式mnA=!()!nnm规定 0！=1 3，组合组合定义从 n 个不同元素中，任取m （m n）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合组合数从 n 个不同元素中，任取m （m n）个元素的所有组合个数mnCmnC=!()!nm nm性质mnC=n mnC11mmmnnnCCC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页排列组合题型总结一直接法1 . 特殊元素法例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？Eg 三个女生和五个男生排成一排（1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法）（2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻）（3）两端不能排女生（4）两端不能全排女生（5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法二插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种,2 ，某市植物园要在30 天内接待 20 所学校的学生参观， 但每天只能安排一所学校， 其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2 天，其余只参观一天，则植物园30 天内不同的安排方法有（1928129AC） （注意连续参观2 天，即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C其余的就是 19 所学校选 28天进行排列）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页三阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例 5 某校准备组建一个由 12 人组成篮球队，这 12 个人由 8 个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种 。五 平均分推问题 eg 6本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？（1）平均分成三堆，（2）平均分给甲乙丙三人（3）一堆一本，一堆两本，一对三本（4）甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案）（5）一人的一本，一人的两本，一人的三本精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页