2022年高中数学《三角函数模型的简单应用》学案4-新人教A版 .pdf

精品资料欢迎下载三角函数式模型的简单应用三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧. 难点磁场( ) 已知ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B.BCAcos2cos1cos1，求cos2CA的值 . 案例探究例 1在海岛A上有一座海拔1 千米的山， 山顶设有一个观察站P，上午11 时，测得一轮船在岛北30东，俯角为60的B处，到11 时 10 分又测得该船在岛北60西、俯角为30的C处。(1) 求船的航行速度是每小时多少千米；(2) 又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力. 知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系. 错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错. 技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题. 解： (1) 在 RtPAB中，APB=60PA=1，AB=3 ( 千米 ) 在 Rt PAC中，APC=30，AC=33 ( 千米 ) 在ACB中，CAB=30+60=90)/(30261330330)3()33(2222时千米ABACBC(2) DAC=90 60=30sinDCA=sin(180 ACB)=sinACB=101033303BCABsinCDA=sin( ACB30)=sinACBcos30 cosACBsin30 10103. 2010)133()10103(121232在ACD中，据正弦定理得CDAACDCAADsinsin，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载13392010) 133(1010333sinsinCDADCAACAD答：此时船距岛A为1339千米 . 例2 已 知 ABC的 三 内 角A、B、C满 足A+C=2B， 设x=cos2CA，f(x)=cosB(CAcos1cos1). (1) 试求函数f(x) 的解析式及其定义域；(2) 判断其单调性，并加以证明；(3) 求这个函数的值域. 命题意图：本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力，属级题目. 知识依托：主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题. 错解分析：考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题. 技巧与方法：本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x) 的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式. 在求定义域时要注意|2CA| 的范围 . 解： (1) A+C=2B，B=60，A+C=120,3421221)cos()cos(2cos2cos2coscoscoscos21)(22xxxxCACACACACACAxf0 |2CA| 60，x=cos2CA(21，1又 4x230，x23，定义域为(21，23) (23，1 . (2) 设x1x2，f(x2) f(x1)=342342211222xxxx=) 34)(34()34)(222212121xxxxxx，若x1，x2(23,21) ，则 4x1230， 4x2230，4x1x2+3 0，x1x20，f(x2) f(x1) 0 即f(x2) f(x1) ，若x1，x2(23，1 ，则 4x123 0. 4x223 0，4x1x2+30，x1x20，f(x2) f(x1) 0. 即f(x2) f(x1) ，f(x)在 (21,23) 和(23， 1上都是减函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载(3) 由(2) 知，f(x) f(21)= 21或f(x) f(1)=2. 故f(x) 的值域为 ( ，21) 2，+). 锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1) 运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；(2) 熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3) 能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘. 歼灭难点训练一、选择题1.( ) 给出四个命题：(1) 若 sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形；(2) 若sinA=cosB，则ABC为直角三角形；(3) 若 sin2A+sin2B+sin2C2，则ABC为钝角三角形；(4) 若 cos(AB)cos(BC)cos(CA)=1 ，则ABC为正三角形 . 以上正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题2.( ) 在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则2tan2tan32tan2tanCACA的值为 _. 3.( ) 在ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=34，sinB=54，则 cos2(B+C)=_. 三、解答题4.( ) 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4， 求四边形ABCD的面积 . 5.( ) 如右图， 在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，角和这一点到光源的距离r的平方成反比，即I=k2sinr，其中k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？6.( ) 在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，27cos22sin42ACB. (1) 求角A的度数；(2) 若a=3，b+c=3，求b和c的值 . 7.( ) 在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又AC=2，试求A、B、C的值 . 8.( ) 在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求ADAB的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载参考答案难点磁场解法一：由题设条件知B=60，A+C=120 . 设=2CA，则AC=2，可得A=60+，C=60 ，,43coscossin43cos41cossin23cos211sin23cos211)60cos(1)60cos(1cos1cos1222CA所以依题设条件有,cos243coscos2B.2243coscos,21cos2B整理得 42cos2+2cos 32=0(M) (2cos 2)(22cos+3)=0， 22cos+30，2cos 2=0. 从而得 cos222CA. 解法二：由题设条件知B=60，A+C=12022cos1cos1,2260cos2CA ，把式化为cosA+cosC=22cosAcosC，利用和差化积及积化和差公式，式可化为)cos()cos(22cos2cos2CACACACA，将 cos2CA=cos60=21，cos(A+C)= 21代入式得：)cos(2222cosCACA将 cos(AC)=2cos2(2CA) 1代入： 42cos2(2CA)+2cos2CA 32=0， (*) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载.222cos:,022cos2,032cos22, 0)32cos22)(222cos2(CACACACACA从而得歼灭难点训练一、 1. 解析：其中 (3 ）(4 ）正确 . 答案： B 二、 2. 解析：A+B+C=，A+C=2B，.32tan2tan32tan2tan)2tan2tan1(32tan2tan,3)2tan(,32CACACACACACA故答案：33. 解析：A为最小角 2A+C=A+A+CA+B+C=180. cos(2A+C)= 54， sin(2A+C)=53. C为最大角，B为锐角，又sinB=54. 故 cosB=53. 即 sin(A+C)=54，cos(A+C)=53. cos(B+C)= cosA=cos(2A+C) (A+C) =2524，cos2(B+C)=2cos2(B+C) 1=625527. 答案：625527三、 4. 解：如图：连结BD，则有四边形ABCD的面积：S=SABD+SCDB=21ABADsinA+21BCCDsinCA+C=180， sinA=sinC故S=21(ABAD+BCCD)sinA=21(2 4+64)sinA=16sinA由余弦定理，在ABD中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=20 16cosA在CDB中，BD2=CB2+CD22CBCDcosC=52 48cosC2016cosA=5248cosC， cosC= cosA，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载64cosA=32，cosA=21，又 0A180，A=120故S=16sin120 =83. 5. 解：R=rcos，由此得：20,cos1Rr，RRhRkIRkRkIRkRkrkI22tan,33sin,392)32()()sin1)(sin1(sin2)(2)cos(sincossinsin232222222222222此时时成立等号在由此得7. 解：由a、b、3c成等比数列，得：b2=3acsin2B=3sinCsinA=3(21) cos(A+C) cos(AC) B= (A+C). sin2(A+C)= 23cos(A+C) cos2即 1cos2(A+C)= 23cos(A+C) ，解得 cos(A+C)=21. 0A+C，A+C=32.又AC=2A=127，B=3，C=12. 8. 解：按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设BAP= ，DPA=，BDP=2，再设AB=a，AD=x，DP=x. 在ABC中，APB=180ABPBAP=120 由正弦定理知：APBABBAPBPsinsin. BP=)120sin(sina在PBD中，60sin2sin)120sin(sin,60sinsin,sinsinxaxBPBDPBPDBPDP从而所以, .3)260sin(23)120sin(2sin60sinsinaax0 60， 60 60+2180，当60+2=90，即 =15时，sin(60 +2 )=1，此时x取得最小值)332(323aa，即AD最小，ADDB=233. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页