2022年高中数学人教A版必修优秀教案11示范教案 .pdf

2.3.4 平面与平面垂直的性质整体设计教学分析空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“ 高级 ” 的定理 .(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理 . 三维目标1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 重点难点教学重点 :平面与平面垂直的性质定理. 教学难点 :平面与平面性质定理的应用. 课时安排1 课时教学过程复习（1）面面垂直的定义. 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. （2）面面垂直的判定定理. 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：ABAB .两个平面垂直的判定定理图形表述为：图 1 导入新课思路 1.(情境导入 ) 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？思路 2.(事例导入 ) 如图 2，长方体 ABCD ABCD中，平面AADD 与平面 ABCD 垂直 ,直线 AA 垂直于其交线 AD. 平面 AADD 内的直线AA 与平面 ABCD 垂直吗？图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页推进新课新知探究提出问题如图 3,若 , =CD,AB ,AB CD,AB CD=B.请同学们讨论直线AB 与平面 的位置关系 . 图 3 用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明. 设平面 平面 ,点 P ,P a,a, 请同学们讨论直线a与平面 的关系 . 分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点. 总结应用面面垂直的性质定理的口诀. 活动 :问题引导学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面 的关系 . 问题引导学生进行语言转换. 问题引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面 的关系 . 问题引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点. 问题引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀. 讨论结果： 通过学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面 垂直 ,如图 3. 两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面. 两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4. 图 4 两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：BCDABCDABCDABAB .两个平面垂直的性质定理证明过程如下：图 5 如图 5，已知 , =a,AB ，AB a于 B. 求证： AB.证明： 在平面 内作 BE CD 垂足为 B,则 ABE 就是二面角CD 的平面角 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页由 , 可知 AB BE.又 AB CD，BE 与 CD 是 内两条相交直线,AB.问题也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：求证： 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 .下面给出证明. 如图 6,已知 ，P ，Pa，a.求证： a.图 6 证明： 设 =c，过点 P 在平面 内作直线bc， , b.而 a ， Pa, 经过一点只能有一条直线与平面垂直,直线 a应与直线b 重合 .那么 a.利用 “ 同一法 ” 证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b 和直线a重合，相对容易些.点 P 的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上 . 我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直， 因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理. 应用面面垂直的性质定理口诀是：“ 见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.应用示例思路 1例 1 如图 7，已知 ，a,a , 试判断直线a 与平面 的位置关系 . 图 7解:在 内作垂直于与 交线的垂线b, ,b.a,ab. a,a.变式训练如图 8,已知平面交平面 于直线 a. 、 同垂直于平面 ， 又同平行于直线b.求证：(1)a ；(2)b.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页图 8 图 9 证明： 如图 9, (1)设 =AB， =AC.在 内任取一点P 并在 内作直线PMAB ，PNAC. ， PM.而 a ， PMa. 同理 ,PNa.又 PM ，PN ， a .(2)在 a 上任取点 Q，过 b 与 Q 作一平面交 于直线 a1，交 于直线 a2. b ， ba1. 同理 ,b a2. a1、a2同过 Q 且平行于b， a1、a2重合 . 又 a1 ，a2 ， a1、a2都是 、的交线，即都重合于a. ba1， ba.而 a ， b.点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“ 见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.例 2 如图 10，四棱锥PABCD 的底面是AB=2 ，BC=2的矩形，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB底面 ABCD. 图 10 图 11 （1）证明侧面PAB侧面 PBC；（2）求侧棱PC 与底面 ABCD 所成的角；（3）求直线AB 与平面 PCD 的距离 . （1）证明： 在矩形 ABCD 中， BCAB, 又面 PAB底面 ABCD, 侧面 PAB 底面 ABCD=AB, BC侧面 PAB. 又 BC侧面 PBC,侧面 PAB侧面 PBC. （2）解： 如图 11,取 AB 中点 E，连接 PE、CE,又 PAB 是等边三角形 ,PE AB. 又侧面 PAB底面 ABCD ， PE面 ABCD. PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角 . PE=23BA=3 ,CE=22BCBE=3 , 在 RtPEC 中， PCE=45 为所求 . （3）解： 在矩形 ABCD 中， AB CD, CD侧面 PCD，AB侧面 PCD， AB 侧面 PCD. 取 CD 中点 F，连接 EF、PF，则 EFAB. 又 PEAB, AB 平面 PEF.又 AB CD, CD平面 PEF.平面 PCD平面 PEF. 作 EGPF，垂足为 G，则 EG平面 PCD. 在 RtPEF 中， EG=530PFECPE为所求 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页变式训练如图 12，斜三棱柱ABC A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60 角，侧面 BCC1B1面ABC. 求平面 AB1C1与底面 ABC 所成二面角的大小. 图 12 活动 :请同学考虑面BB1C1C面 ABC 及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线 .解： 面 ABC 面 A1B1C1，则面 BB1C1C面 ABC=BC, 面 BB1C1C面 A1B1C1=B1C1,BCB1C1，则 B1C1面 ABC. 设所求两面交线为AE，即二面角的棱为AE, 则 B1C1AE ，即 BCAE. 过 C1作 C1D BC 于 D，面 BB1C1C面 ABC, C1D面 ABC ， C1D BC. 又 C1CD=60 ,CC1=a,故 CD=2a,即 D 为 BC 的中点 . 又ABC 是等边三角形, BCAD. 那么有 BC面 DAC1,即 AE面 DAC1. 故 AEAD ，AEAC1, C1AD 就是所求二面角的平面角. C1D=23a，AD=23a，C1DAD, 故 C1AD=45 . 点评 :利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键. 思路 2例 1 如图 13，把等腰直角三角形ABC 沿斜边 AB 旋转至 ABD 的位置，使CD=AC, 图 13 （1）求证：平面ABD 平面 ABC ；（2）求二面角CBDA 的余弦值 . （1）证明：(证法一 ):由题设 ,知 AD=CD=BD, 作 DO平面 ABC ，O 为垂足， 则 OA=OB=OC. O 是ABC 的外心，即AB 的中点 . OAB ，即 O平面 ABD. OD平面 ABD. 平面 ABD 平面 ABC. (证法二 ):取 AB 中点 O，连接 OD、OC, 则有 ODAB，OCAB ，即 COD 是二面角CABD 的平面角 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页设 AC=a，则 OC=OD=a22, 又 CD=AD=AC, CD=a. COD 是直角三角形，即COD=90 . 二面角是直二面角，即平面ABD 平面 ABC. （2）解:取 BD 的中点 E，连接 CE、OE、OC, BCD 为正三角形，CEBD. 又BOD 为等腰直角三角形,OE BD. OEC 为二面角CBDA 的平面角 . 同（ 1）可证 OC平面 ABD, OCOE. COE 为直角三角形 . 设 BC=a，则 CE=23a，OE=21a,cosOEC=33CEOE即为所求 . 变式训练如图 14，在矩形 ABCD 中， AB=33,BC=3 ，沿对角线BD 把BCD 折起，使 C 移到 C ，且C 在面 ABC 内的射影 O 恰好落在 AB 上. 图 14 （1）求证： AC BC ；（2）求 AB 与平面 BC D 所成的角的正弦值；（3）求二面角CBDA的正切值 . （1）证明： 由题意 ,知 CO面 ABD, COABC ,面 ABC 面 ABD. 又 AD AB,面 ABC 面 ABD=AB, AD面 ABC . AD BC .BC CD, BC 面 AC D. BC AC .(2)解:BC 面 AC D,BC面 BC D, 面 ACD面 BC D.作 AH CD于 H,则 AH 面 BC D, 连接 BH,则 BH 为 AB 在面 BC D 上的射影 , ABH 为 AB 与面 BC D 所成的角 . 又在 RtAC D 中,CD=33,AD=3, AC =32.AH=6 . sinABH=32ABAH,即 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为32. (3)解:过 O 作 OGBD 于 G,连接 CG,则 CGBD,则 C GO 为二面角C BDA的平面角 . 在 RtAC B 中,CO=6ABBCAC, 在 RtBC D 中,CG=233BDDCBC. OG=22CGC=23.tanC GO=22OGOC, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页即二面角 CBDA的正切值为22. 点评 :直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了. 例 2 如图 15,三棱柱ABC A1B1C1中， BAC=90 ，AB=BB1=1，直线B1C 与平面ABC成 30 角，求二面角BB1CA 的正弦值 . 图 15 活动 :可以知道，平面ABC 与平面 BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线.解： 由直三棱柱性质得平面ABC 平面 BCC1B1，过 A 作 AN 平面 BCC1B1，垂足为N，则 AN 平面 BCC1B1（AN 即为我们要找的垂线）,在平面 BCB1内过 N 作 NQ棱 B1C，垂足为 Q，连接 QA，则 NQA 即为二面角的平面角. AB1在平面 ABC 内的射影为AB ，CA AB，CA B1A.AB=BB1=1，得 AB1=2. 直线 B1C 与平面 ABC 成 30 角， B1CB=30 ，B1C=2. 在 RtB1AC 中，由勾股定理,得 AC=2.AQ=1. 在 RtBAC 中， AB=1 ，AC=2，得 AN=36. sinAQN=AQAN=36, 即二面角 BB1CA 的正弦值为36. 变式训练如图 16，边长为2 的等边 PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=22，M 为 BC 的中点 . (1)证明： AM PM；(2)求二面角PAMD 的大小 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页图 16 图 17 (1)证明： 如图 17,取 CD 的中点 E，连接 PE、EM 、EA, PCD 为正三角形 , PECD， PE=PDsin PDE=2sin60 =3 . 平面 PCD平面 ABCD, PE平面 ABCD. 四边形 ABCD 是矩形 , ADE 、ECM 、ABM 均为直角三角形. 由勾股定理可求得EM=3 ，AM=6 ，AE=3, EM2+AM2=AE2.AM EM. 又 EM 是 PM 在平面 ABCD 上的射影 , AME=90 .AM PM. (2)解:由(1)可知 EMAM ，PMAM, PME 是二面角PAMD 的平面角 . tanPME=33EMPE=1. PME=45 . 二面角 PAMD 为 45 . 知能训练课本本节练习 . 拓展提升(2007 全国高考 ,理 18)如图 18,在三棱锥SABC 中,侧面 SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,BAC=90 ,O 为 BC 中点 . (1)证明 SO平面 ABC; (2)求二面角ASCB 的余弦值 . 图 18 图 19 (1)证明： 如图19,由题设 ,知 AB=AC=SB=SC=SA. 连接OA, ABC为等腰直角三角形,所以OA=OB=OC=22SA,且 AOBC.又SBC 为等腰三角形 ,故 SOBC,且 SO=22SA. 从而 OA2+SO2=SA2.所以 SOA 为直角三角形,SOAO. 又 AO B C=O,所以 SO平面 ABC. (2)解:如图 19,取 SC 中点 M,连接 AM 、OM, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页由(1),知 SO=OC,SA=AC, 得 OMSC,AM SC. 所以 OMA 为二面角ASCB 的平面角 . 由 AO BC,AO SO,SO BC=O, 得 AO 平面 SBC. 所以 AO OM.又 AM=23SA,故sinAMO=3632AMAO. 所以二面角ASCB 的余弦值为33. 课堂小结知识总结： 利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等. 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 B 组 3、4. 设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，尤其是线面垂直问题是立体几何的核心，一个立体几何问题能否解决往往取决于能否作出平面的垂线；面面垂直的性质定理恰好能解决这个问题， 因此它是高考考查的重点，本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题以及最新2007 全国各地高考真题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页