2022年高中数学必修一至必修五知识点总结人教版 .pdf

必修 1 第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明： (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示： 如我校的篮球队员 ，太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法。非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素， 就说 a属于集合 A 记作aA ，相反， a 不属于集合A 记作aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x R| x-32 或x| x-32 4、集合的分类：（1） 有限集含有有限个元素的集合（2） 无限集含有无限个元素的集合（3） 空集不含任何元素的集合例： 5|2xx二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分，； （2）A 与 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A,记作 A B 或 B A 2 “相等”关系(55，且 55，则 5=5) 实例：设A=01|2xxB=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合A 与 B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时 ,集合 B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B，即： A=B 任何一个集合是它本身的子集。AA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 45 页真子集 :如果 AB,且 BA 那就说集合A 是集合 B 的真子集，记作AB(或 BA) 如果AB, BC ,那么AC 如果 AB 同时BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 A B(读作” A 交 B”)，即 A B=x|x A，且 xB 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作： AB(读作” A 并 B”)，即 AB=x|x A，或 x B 3、交集与并集的性质：AA = A, A = , AB = B A，AA = A, A = A ,A B = B A. 4、全集与补集（1）补集：设S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即） ，由 S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）（2） 全集：如果集合 S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。四、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作：y=f(x) ，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域注意：如果只给出解析式y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（ 6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意： （1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例2) 值域补充(1)、 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x A) 中的 x 为横坐标， 函数值 y 为纵坐标的点P(x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 45 页y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(x A) 的图象集合 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x) ，反过来，以满足y=f(x) 的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 (x，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA , 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线 ),也可能是由与任意平行与Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法A、描点法： 根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 (x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4 三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间； （3）区间的数轴表示5什么叫做映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素 x，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f： A B 为从集合A 到集合 B 的一个映射。记作“f：A B”给定一个集合A 到 B 的映射，如果aA,b B.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素 a 的象，元素a 叫做元素b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B 及对应法则f 是确定的；对应法则有“方向性” ，即强调从集合A 到集合 B 的对应，它与从B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射 f：AB 来说，则应满足：（）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象， 并且象是唯一的； （）集合 A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B 中的每一个元素在集合A中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值. 补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(x A),则 y=fg(x)=F(x) ，(xA) 称为 f、g 的复合函数。例如 : y=2sinx y=2cos(2x+1) 7函数单调性（1） 增函数设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量a，b，当 ab 时，都有 f(a)f(b) ，那么就说f(x) 在区间 D 上是增函数。区间D 称为 y=f(x) 的单调增区间（睇清楚课本单调区精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 45 页间的概念）如果对于区间D 上的任意两个自变量的值a，b，当 ab 时，都有f(a)f(b) ，那么就说f(x) 在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间. 注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量a，b；当 ab 时，总有f(a)f(b) 。（2） 图象的特点如果函数y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法： 任取 a，bD，且 a1，且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数此时，a的n次方根用符号na表示式子na叫做根式（ radical） ，这里n叫做根指数（radical exponent） ，a叫做被开方数（ radicand） 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示正的n次方根与负的n次方根可以合并成na（a0） 由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作00n。注意：当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(|aaaaaann2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,0(*nNnmaaanmnm，) 1,0(11*nNnmaaaanmnmnm0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1）rasrraa),0(Rsra；（2）rssraa )(),0(Rsra；（3）srraaab)(), 0(Rsra（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数（exponential function ） ，其中 x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a1 0a L AB公理 1作用：判断直线是否在平面内. （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为： A、B、C 三点不共线= 有且只有一个平面，使 A、 B、 C。公理 2作用：确定一个平面的依据。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为： P= =L ，且 PL 公理 3作用：判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c 是三条直线a b c b 强调：公理4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4 注意点： a与 b所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0，)； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a b； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内有无数个公共点（2）直线与平面相交有且只有一个公共点（3）直线在平面平行没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示LA C B A P L共面直线=ac2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 45 页a a =A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aa b 2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b a b = P =ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a a = ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示： = a = ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 45 页1、定义：如果直线L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面互相垂直，记作L，直线L 叫做平面的垂线，平面叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或 -AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第三章 直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0 180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90, k 不存在 . 当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 x2）注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k 与 P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 45 页点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx注意：当直线的斜率为0时， k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y 轴上的截距为b 两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11, yx，22, yx截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点( ,0)a,与y轴交于点(0, )b,即l与x轴、y轴的截距分别为,a b。一般式：0CByAx（A，B 不全为 0）注意： 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如：平行于 x 轴的直线：by（b 为常数）；平行于 y 轴的直线：ax（ a为常数）；（6）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,/bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21/ ll；方程组有无数解1l与2l重合（8）两点间距离公式：设1122(,),A x yB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121|()()ABxxyy（9）点到直线距离公式：一点00, yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd（10）两平行直线距离公式已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd第四章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 45 页2、圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；点00(,)M xy与圆222()()xaybr的位置关系：当2200()()xayb2r，点在圆外当2200()()xayb=2r，点在圆上当2200()()xayb2r，点在圆内（2）一般方程022FEyDxyx当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出D， E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（ 1） 设 直 线0:CByAxl， 圆222:rbyaxC， 圆 心baC,到l的 距 离 为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0， y0)， 则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 45 页当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点必修 3 第一章：算法初步1：算法的概念（1）算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. （2）算法的特点 : 有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. 确定性： 算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可. 顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. 不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. 普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 2： 程序框图（1）程序框图基本概念：程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 45 页输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“ Y” ；不成立时标明“否”或“N” 。学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。3：算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。（1）顺序结构： 顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间， 框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和 B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执行B 框所指定的操作。（2）条件结构： 条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件 P 是否成立而选择执行A 框或 B 框。 无论 P条件是否成立，只能执行A 框或 B 框之一，不可能同时执行A 框和 B 框，也不可能A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。（3）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件， 反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体， 显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：一类是当型循环结构，如下左图所示， 它的功能是当给定的条件P 成立时，执行 A 框， A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行A 框，如此反复执行A 框，直到某一次条件P 不成立为止，此时不再执行 A 框，离开循环结构。 另一类是直到型循环结构，如下右图所示， 它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立， 如果 P仍然不成立，则继续执行A 框， 直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。当型循环结构直到型循环结构注意： 1 循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。 因此， 循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记A B p A 成立不成立P 不成立成立A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 45 页录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。4：输入、输出语句和赋值语句（1）输入语句输入语句的一般格式输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。（2）输出语句输出语句的一般格式输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。（3）赋值语句赋值语句的一般格式赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；赋值语句中的“”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；对于一个变量可以多次赋值。注意： 赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X 是错误的。 赋值号左右不能对换。如“ A=B ” “B=A ”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）赋值号“=”与数学中的等号意义不同。5：条件语句（1）条件语句的一般格式有两种：IFTHEN ELSE 语句； IFTHEN 语句。IFTHEN ELSE 语句IFTHEN ELSE 语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。图 1 图 2 分析：在 IFTHEN ELSE 语句中，“条件”表示判断的条件，“语句 1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合， 则执行 THEN 后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE 后面的语句2。IFTHEN 语句IFTHEN 语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。图形计算器格式INPUT “提示内容”；变量INPUT “提示内容”，变量PRINT “提示内容”；表达式图形计算器格式Disp “提示内容” ，变量变量表达式图形计算器格式表达式变量IF 条件THEN语句 1 ELSE 语句 2 END IF 否是满足条件？语句 1 语句 2 满足条件？语句是否（图 4）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 45 页注意： “条件”表示判断的条件； “语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。6：循环语句循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE 型）和直到型（UNTIL 型）两种语句结构。即WHILE 语句和 UNTIL 语句。（1）WHILE 语句WHILE 语句的一般格式是对应的程序框图是当计算机遇到WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE 与 WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND 语句后，接着执行WEND 之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。（2）UNTIL 语句UNTIL 语句的一般格式是对应的程序框图是直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）（1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在 WHILE 语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL 语句中，是当条件不满足时执行循环7：辗转相除法与更相减损术（1）辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商0S和一个余数0R； 若0R 0，则 n 为 m，n 的最大公IF 条件 THEN语句END IF （图 3）WHILE 条件循环体WEND 满足条件？循环体否是满足条件？循环体是否DO 循环体LOOP UNTIL 条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 45 页约数；若0R0，则用除数n 除以余数0R得到一个商1S和一个余数1R；若1R0，则1R为 m，n 的最大公约数； 若1R 0， 则用除数0R除以余数1R得到一个商2S和一个余数2R； 依次计算直至nR0，此时所得到的1nR即为所求的最大公约数。（2）更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译为：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2 约简；若不是，执行第二步。以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。（3）辗转相除法与更相减损术的区别：都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到8：秦九韶算法与排序（1）秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0求值问题f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0 =( anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0 =.=(.( anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 .vn=vn-1x+a0 这样，把n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题。（2）两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序直接插入排序基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第个数放入数组的第个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中（由于算法简单，可以举例说明）冒泡排序基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面 ,小的放后面 .即首先比较第1 个数和第 2 个数 ,大数放前,小数放后 .然后比较第2 个数和第3 个数 .直到比较最后两个数.第一趟结束 ,最小的一定沉到最后.重复上过程 ,仍从第1 个数开始 ,到最后第2 个数 . 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后 ,相当气泡上升,所以叫冒泡排序. 9：进位制（1）概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称 n 进位制，简称n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为 111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。一般地，若k 是一个大于一的整数，那么以k 为基数的k 进制可以表示为：110()110.(0,0,.,)nnknna aa aakaa ak，而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数第二章：统计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 45 页1：简单随机抽样（1）总体和样本在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体把每个研究对象叫做个体把总体中个体的总数叫做总体容量为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，研究，我们称它为样本其中个体的个数称为样本容量（2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。（3）简单随机抽样常用的方法：抽签法随机数表法计算机模拟法使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑： 总体变异情况；允许误差范围；概率保证程度。（4）抽签法 : 给调查对象群体中的每一个对象编号；准备抽签的工具，实施抽签；对样本中的每一个个体进行测量或调查（5）随机数表法：2：系统抽样（1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重