2019-2020学年数学北师大版选修4-4检测：1.3 柱坐标系和球坐标系 .docx
3柱坐标系和球坐标系课后篇巩固探究A组1.在空间球坐标系中,方程r=202,0<2表示()A.圆B.半圆C.球面D.半球面解析:由球坐标系的定义知,r=202,0<2表示半球面,故选D.答案:D2.设点M的直角坐标为(-1,-3,3),则它的柱坐标是()A.2,3,3B.2,23,3C.2,43,3D.2,53,3解析:设点M的柱坐标是(r,z),则r=(-1)2+(-3)2=2,=43,z=3,故点M的柱坐标是2,43,3,故选C.答案:C3.设点M的直角坐标为(-1,-1,2),则它的球坐标为()A.2,4,4B.2,4,54C.2,54,4D.2,34,4解析:设点M的球坐标为(r,).由坐标变换公式,得r=(-1)2+(-1)2+(2)2=2,cos =22,得=4.tan =-1-1=1,=54.点M的球坐标为2,4,54,故选B.答案:B4.已知点M的球坐标为4,4,34,则点M到Oz轴的距离为()A.22B.2C.2D.4解析:设点M的直角坐标为(x,y,z).(r,)=4,4,34,x=rsincos=4sin4cos34=-2,y=rsinsin=4sin4sin34=2,z=rcos=4cos4=22,M(-2,2,22).点M到Oz轴的距离为(-2)2+22=22.故选A.答案:A5.若点M的球坐标为3,56,53,则点M的直角坐标为.解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),则x=3sin56cos53=34,y=3sin56sin53=-334,z=3cos56=-332.故点M的直角坐标为34,-334,-332.答案:34,-334,-3326.导学号73144016在柱坐标系中,已知点M的柱坐标为2,23,5,则|OM|=.解析:设点M的直角坐标为(x,y,z).由(r,z)=2,23,5知x=rcos =2cos23=-1,y=2sin23=3.因此|OM|=x2+y2+z2=(-1)2+(3)2+(5)2=3.答案:37.已知点P的柱坐标为2,4,5,点B的球坐标为6,3,6,求这两个点的直角坐标.解设点P的直角坐标为(x,y,z),则x=2cos4=222=1,y=2sin4=1,z=5.设点B的直角坐标为(x,y,z),则x=6sin3cos6=63232=364,y=6sin3sin6=63212=324,z=6cos3=612=62.所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为364,324,62.8.在柱坐标系中,求满足r=1,0<2,0z2的动点M(r,z)围成的几何体的体积.解根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知,满足r=1,0<2,0z2的动点M(r,z)的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱,如图所示.圆柱的底面半径r=1,h=2.所以V=Sh=r2h=2.9.已知在球坐标系中,M6,3,3,N6,23,3,求|MN|.解(方法一)由题意知,|OM|=|ON|=6,MON=3,MON为等边三角形.|MN|=6.(方法二)设点M的直角坐标为(x,y,z),则x=6sin3cos3=332,y=6sin3sin3=92,z=6cos3=3.故点M的直角坐标为332,92,3,同理得点N的直角坐标为332,92,-3,故|MN|=323-3232+92-922+(3+3)2=0+0+62=6.B组1.在空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()A.1,2,2B.2,3,0C.3,4,6D.3,6,2答案:A2.已知空间直角坐标系Oxyz中,点M在平面yOz内,若点M的球坐标为(r,),则应有()A.=2B.=2C.=2或=32D.=2或=32解析:由点M向平面xOy作垂线,垂足N一定在直线Oy上,由极坐标系的意义知=2或=32.答案:D3.若点P的柱坐标为2,6,3,则点P到直线Oy的距离为()A.1B.2C.3D.6解析:由于点P的柱坐标为2,6,3,故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为2cos6=3,故点P到直线Oy的距离为(3)2+(3)2=6.答案:D4.已知点M的球坐标为22,6,4,则点M的柱坐标为()A.22,4,6B.2,6,22C.2,4,6D.2,6,2解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(,z),则x=rsincos=22sin6cos4=1,y=rsinsin=22sin6sin4=1,z=rcos=22cos6=6,所以点M的直角坐标为(1,1,6),又=x2+y2=2,tan=10<<2,所以点M的柱坐标为2,4,6.答案:C5.已知在柱坐标系中,点M的柱坐标为2,23,5,且点M在数轴Oy上的射影为点N,则|OM|=,|MN|=.解析:设点M在平面Oxy上的射影为点P,则PN为线段MN在平面Oxy上的射影.MN直线Oy,MP平面xOy,PN直线Oy.|OP|=2,|PN|=cos23=1.|OM|=2+z2=22+(5)2=3.在RtMNP中,MPN=90,|MN|=|PM|2+|PN|2=(5)2+12=6.答案:366.如图,长方体OABC-DABC中,|OA|=3,|OC|=3,|OD|=2,AC与BD相交于点P,分别写出点C,B,P的柱坐标.解AOC=2,|OC|=3,点C的柱坐标为3,2,0.|OB|=32+32=32,|BB|=2,AOB=4,点B的柱坐标为32,4,2.同理,点P的柱坐标为322,4,2.7.导学号73144017如图,在柱坐标系中,已知点O(0,0,4),A(3,A,4),B1(3,B1,0),其中A-B1=60,求直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角和AB1的长.tan3734解如图,连接O1B1,作OBO1B1,交上底圆周于点B,连接AB,BB1,AOB=60,则OAB为等边三角形.BB1OO1,BB1与AB1所成的角就是AB1与圆柱的轴OO1所成的角.又BB1圆O所在的平面,BB1AB.在RtABB1中,tanAB1B=|AB|B1B|=34,AB1B37,|AB1|=|AB|2+|B1B|2=5,即直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角约为37,AB1的长为5.
